Центральное растяжение-сжатие возникает в случае, когда на концах стержня вдоль его оси действуют две равные противоположно направленные силы. При этом в каждом сечении по длине стержня возникает внутреннее усилие ( $N$ кН), которая численно равна сумме всех сил, которые действуют вдоль оси стержня и расположены с одной стороны от сечения.

Из условий равновесия отсеченной части стержня $N = F$.

Продольная сила при растяжении считается положительной, при сжатии - отрицательной .

Пример определения внутренних сил.

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения.

Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами.

На представленном рисунке 3 участка нагружения.

Воспользуемся методом сечений и определим внут-ренние силовые факторы внутри каждого участка.

Расчет начинаем со свободного конца бруса, что-бы не определять величины реакций в опорах.

Продольная сила положи-тельна, участок 1 растянут.

Продольная сила положительна, участок 2 растянут.

Продольная сила отрицательна, участок 3 сжат.

Полученное значение N 3 равно реакции в заделке.

Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис. 20.2, б).

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллельна продольной оси.

Нулевая линия про-водится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз.

В пределах одного участка значение силы не меняется, поэто-му эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.

Напряжения. Действующие и допускаемые напряжения

Величина внутренней силы дает представление о сопротивлении поперечного сечения в целом (интегрально), но не дает представления об интенсивности работы материала в отдельных точках сечения. Так, при равной продольной силе материал в стержне с большим сечением будет работать менее интенсивно, менее напряженно чем меньший.

Напряжения - внутренние силы, приходящиеся на единицу площади сечения. Напряжения, направленные перпендикулярно (по нормали) к сечению называются нормальными .

$\sigma = \frac{N}{A}$

Единицы измерения напряжений - Па, кПа, МПа.

Знаки напряжений принимают так, как и для продольной силы.

Действующие напряжения - напряжения, которые возникают в рассматриваемом сечении.

Любой стержень в момент разрушения имеет определенные напряжения, которые зависят только от материала стержня и не зависят от площади сечения.

Допускаемые напряжения $\left[ \sigma \right]$ - такие напряжения, которые не должны быть превышены в запроектированных конструкциях. Допустимые напряжения зависят от прочности материала, характера его разрушения, степени ответственности конструкции.

Принцип Сен-Венана : в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, распределение напряжений не зависит от способа приложения нагрузки, а зависит только от его равнодействующей.

то есть, распределение напряжений в сечении I-I для трех различных случаев, показанных на рисунке, принимается одинаковым.

Рисунок - иллюстрация принципа Сен-Венана

Абсолютная и относительная деформация

При растяжении возникает удлинение стержня - разница между длиной стержня до и после погрузки. Эта величина называется абсолютной деформацией .

$\Delta l = {l_1} - l$

Относительная деформация - отношение абсолютной деформации к первоначальной длине.

$\varepsilon = \frac{{\Delta l}}{l}$

$\sigma = E \cdot \varepsilon $

Таблица - физико-механические характеристики материалов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ НИКИТЫ ДЕМИДОВА

Е. В. МЕЛЬНИКОВА

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ СТЕРЖНЯ

ПРАКТИКУМ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ОСВАИВАЮЩИХ ПО ДНЕВНОЙ ФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 220703 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ (ПО ОТРАСЛЯМ); 151901 ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ; 051001 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ; 150401 МЕТАЛЛУРГИЯ ЧЕРНЫХ МЕТАЛЛОВ

Тула, 2012

1 Аннотация 3

2 Теоретическое обоснование 4

3 Контрольные вопросы 5

4 Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил

и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения

стержня 7

5 Примеры решения задач на построение эпюр продольных сил

и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения

стержня 8

6 Анализ наиболее часто встречающихся ошибок. Методические

7 Индивидуальные варианты заданий для выполнения

8 Литература 13

Аннотация

Данное пособие составлено в соответствии с требованиями государственного стандарта для специальностей «Технология машиностроения», «Автоматизация технологических процессов и производств», «Литейное производство черных и цветных металлов» и содержит теоретическое обоснование по разделу «Деформации растяжения – сжатия»; методические рекомендации по решению задач; примеры построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчетов абсолютного удлинения стержня; вариантов заданий для выполнения практических работ.

Пособие позволяет выполнить практическую работу абсолютно самостоятельно, не используя учебники и справочную литературу , практически без консультаций преподавателя.

Теоретическое обоснование

Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями.

Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений, т. е. она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.

Правила построения эпюр продольных сил:

1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.

2 В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т. е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т. е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.

3 Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.

4 Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.

При растяжении – сжатии в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Если они по длине бруса не постоянны, то строят эпюру «s». При этом используют две гипотезы:

1 Гипотеза Бернулли – сечения плоские и нормальные к продольной оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными и после деформации.

2 Принцип Сен – Венана.

Распределение напряжений зависит от способа приложения внешних сил лишь в местах, близких к месту расположения сил. На участках, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений зависит лишь от статического эквивалента этих сил, а не от способа приложения.

Правила построения эпюр нормальных напряжений:

1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.

2 На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле

3 Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.

При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.

∆l = l – l0 - абсолютное удлинение.

e = --- - относительное удлинение или продольная деформация.

Закон Гука при растяжении – сжатии: для большинства конструкционных материалов в известных пределах нагружения продольная деформация прямо пропорциональна нормальным напряжениям.

Е – модуль упругости первого рода, величина, постоянная для каждого материала, характеризует жесткость материала, измеряется в тех же единицах, что и напряжение.

Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:

Контрольные вопросы

1 Какой вид деформации называется растяжением – сжатием?

2 Какие напряжения возникают в поперечных сечениях детали, и как они распределяются по сечению?

3 Для чего строятся эпюры продольных сил и нормальных напряжений?

4 Где проходят границы участков на эпюрах продольных сил и нормальных напряжений?

5 Как определяется величина продольной силы на каждом участке эпюры?

6 Как определяется величина нормального напряжения на каждом участке?

7 Как определяется знак продольной силы и нормального напряжения?

8 В каком случае деталь или участок детали испытывают деформации растяжения, в каком – сжатия?

9 Где находится опасное сечение детали при растяжении – сжатии?

10 Что называется абсолютным удлинением?

11 Что называется относительным удлинением?

12 Сформулируйте закон Гука при растяжении – сжатии.

13 Какой формулой выражается закон Гука при растяжении – сжатии?

14 Что такое модуль упругости первого рода?

15 Напишите формулу Гука.

Если ответы на контрольные вопросы не вызвали у Вас затруднений, это свидетельствует о том, что Вы достаточно хорошо усвоили теоретический материал. Далее внимательно ознакомьтесь с алгоритмом решения задач на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня, рассмотрите примеры решения задач и приступайте к выполнению практической работы.

УСПЕХОВ И ОТЛИЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ!!!

Индивидуальные варианты заданий к практической работе прилагаются в конце данного пособия.

Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и

нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня

1 Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.

2 На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.

3 Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность построения контролируется следующим образом: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.

4 Разбить нулевую линию на участки для построения Эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.

5 На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле

В эту формулу значение продольной силы подставляется с эпюры продольных сил с учетом знака, а значение площади - с чертежа.

6 Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.

7 Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука. В эту формулу значение продольной силы подставляют с эпюры продольных сил с учетом знака; значения длины участка и площади сечения – с чертежа детали.

8 Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом. Для этого нужно найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image002_67.jpg" width="683" height="871 src=">

Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.

Раздел «Растяжение – сжатие» в целом, и непосредственно решение задач подобного типа не является самым сложным в разделе «Сопротивление материалов», но, в то же время, при решении задач студентами встречается и немало трудностей. Наиболее часты следующие ошибки:

1 Неверные расчеты из – за незнания формул или их неверного применения.

Чтобы избежать подобных ошибок, прежде чем приступать к решению задач, необходимо выучить теорию деформации растяжения – сжатия, а также формулы расчета нормальных напряжений и формулу Гука.

2 Неправильно разбиты на участки нулевые линии при построении эпюр.

Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.

3 При построении эпюры продольных сил неправильно определен знак продольной силы.

Правило знаков следующее: если внешняя сила направлена от сечения, т. е. растягивает оставленную часть стержня – продольная сила положительна; если внешняя сила направлена к сечению, т. е. сжимает оставленную часть стержня – продольная сила отрицательна.

4 Неправильно подставлены значения в формулу нормальных напряжений.

Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.

5 Неправильно рассчитаны значения нормальных напряжений из – за неправильного перевода единиц измерения величин, входящих в формулу напряжений.

Чтобы получить значение напряжений в мегапаскалях, в формулу нормальных напряжений продольную силу подставляют в Ньютонах, площадь сечения – в миллиметрах квадратных. Продольную силу также подставляют в формулу с учетом знака.

6 Неправильно рассчитано значение абсолютного удлинения из – за неправильной подстановки значений в формулу Гука.

При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.

7 В формулу нормальных напряжений и формулу Гука вместо продольных сил подставлено значение внешних сил.

Следует помнить, что напряжение – это величина внутреннего усилия, приходящегося на единицу площади. Поэтому в формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.

Задание к практической работе

Для заданной схемы нагружения построить эпюру продольных сил, эпюру изгибающих моментов, рассчитать абсолютное удлинение стержня.

Литература

1 Руководство к решению задач по теоретической механике, М.: - «Высшая школа», 2002

2 , Детали машин – М.: «Высшая школа», 2001

2 = -30 + 20(z 2 – 1) – 10(z 2 – 1)2 = -10 z 2 2 + 40z 2 – 60

(квадратная парабола, у которой выпуклость – вниз, а касательная горизонтальна при z 2 = 2, где Q у = 0);

при z 2 = 2 м М х = -10 . 22 + 40 . 2 – 60 = -20 кНм, при z 2 = 1 м М х = -10 . 12 + 40 . 1 – 60 = -30 кНм.

3-й участок . (0 ≤ z 3 ≤ 1 м)

Q у = 0

М х = - М z = - 30 кНм (горизонтальная прямая) ; Эпюры построены.

3.4. Построение эпюры продольных сил

Центральным растяжением-сжатием (ЦРС) называется вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных компонент усилий присутствует только одна – продольная сила N .

Построение эпюры продольной силы N выполняется гораздо проще, чем эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балок.

Покажем это на примере.

Задача . Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рисунке при следующих значениях нагрузок:

F 1 = 40 кН, F 2 = 10 кН, F 3 = 20 кН, q 1 = 30 кН/м, q 2 = 5 кН/м.

2. Пронумеруем участки стержня (по направлению к заделке). В произвольном месте на каждом участке отметим поперечное сечение. Рассматривая либо левую, либо правую части стержня, запишем выражение для продольной силы N на каждом участке.

На участке 1, 2, 5 (рис. 3.21) усилие N постоянно и не зависит от того, в каком месте находится рассматриваемое сечение. На участке 2, 3, где приложена распределенная нагрузка, от расположения сечения зависит, какая часть распределенной нагрузки придется на отсеченную часть стержня.

Другими словами, усилие N будет зависеть от расположения сечения (в данном случае линейно). Чтобы это учесть, расположение сечения будем отмечать переменным расстоянием, которое можно отсчитывать от края рассматриваемой части стержня (z 3 – для 3-го участка и z 4 – для 4-го участка).

В данном случае несколько проще отсчитывать их от границы участка

При рассмотрении участков 1, 2, 3, 4 будем отбрасывать левую часть стержня.

1 участок . N 1 = F 1 = +20 кН (растяжение).

Строим график функции N 3 = -10 – 5z 3 (наклонная прямая).

График наклонной прямой обычно строят сосчитав значения функции при двух значениях аргумента, то есть проводя ее через две точки. В данном случае удобно определять ее значения на границах участка.

5 участок . N 5 = +R = +35 кН

3. Откладываем вычисленные значения продольной силы от горизонтальной оси («+» – вверх, «-» – вниз).

На участках с распределенной нагрузкой подсчитанные значения соединяем наклонными линиями, на остальных – усилие N не зависит от z и изображается горизонтальными линиями. Расставляем знаки, делаем штриховку. Эпюра построена.

Когда стержень имеет опору только с одной стороны, усилия на участках можно определять, отбрасывая всегда ту часть стержня, к которой приложена неизвестная реакция. В этом случае неизвестная реакция никогда не потребуется для определения усилий и эпюра может быть построена без определения реакций.

3.5. Построение эпюры крутящих моментов

Кручением называют простой вид сопротивления, при котором в сечении присутствуют (из шести возможных) одно единственное усилие – крутящий момент М z , который в технической литературе часто обозначают про-

сто М кр .

Построение эпюры крутящего момента выполняется аналогично тому, как строится эпюра продольных сил в случае центрального растяжения – сжатия.

Рассмотрим это на примере.

Задача . Построить эпюру крутящего момента для стержня, изображенного на рис. 3.22.

Иногда возникает необходимость при известных размерах и форме поперечного сечения определить из расчета на прочность нагрузку, которую сможет выдержать данный стержень. В этом случае изначально значения нагрузок неизвестны и они могут быть представлены лишь в буквенном выражении. При этом, естественно, и эпюры внутренних сил приходится строить, указывая не численные, а символические значения.

1. Нумеруем участки. На каждом из них показываем сечение (рис. 3.23).

2. Выбрав сечение на каждом участке, станем рассматривать правую часть стержня, отбрасывая левую, поскольку к ней приложен неизвестный реактивный момент, возникающий в жесткой заделке и препятствующий свободному вращению стержня относительно оси z .

Чтобы определить значение крутящего момента в сечении необходимо сосчитать все расположенные до него моменты, глядя на сечение вдоль оси z

и принимая их положительными, если они направлены против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой.

1 участок. М z = -2М

2 участок. М z = -2М + 5М = 3М

3 участок. М z = -2М + 5М – 7М = - 4М

4 участок. М z = -2М + 5М – 7М + 3М = - М

3. Поскольку в пределах одного участка значение крутящего момента оказалось не зависящим от расположения сечения, на эпюре соответствующие графики будут являться горизонтальными прямыми. Подписываем найденные значения и расставляем знаки. Эпюра построена.

Задание на выполнение расчетно-графической работы №2 по сопротивлению материалов

Для заданных двух схем балок (рис. 3.24) требуется написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М , найти М max и подобрать: а) для схемы «а» деревянную балку круглого поперечного сечения при [α ] = 8 МПа; б) для схемы «б» – стальную балку двутаврового поперечного сечения при [α ] = 8 МПа. Данные взять из табл. 2.

Т а б л и ц а 3.2

Студент обязан взять из таблицы данные в соответствии со своим личным номером (шифром) и первыми шестью буквами русского алфавита, которые следует расположить под шифром, например:

шифр – 2 8 7 0 5 2

буквы – а б в г д е Если личный номер состоит из семи цифр, вторая цифра шифра не учи-

тывается.

Из каждого вертикального столбца таблицы, обозначенного внизу определенной буквой, надо взять только одно число, стоящее в той горизонтальной строке, номер которой совпадает с номером буквы. Например, вертикальные столбцы табл. Обозначены буквами «е», «г», и «д». В этом случае при указанном выше личном номере 287052 студент должен взять из столбца «е» вторую строку, из столбца «г» – нулевую строку, и из столбца «д» – пятую строку.

Работы, выполненные с нарушением этих указаний, не зачитываются.

a) q M

l1 =10a

	Пример 1. Построить эпюру для колонны переменного сечения (рис. а ). Длины участков 2 м. Нагрузки: сосредоточенные =40 кН, =60 кН, =50 кН; распределенная =20 кН/м. Рис. 1. Схема построения эпюры продольных сил N Решение: Пользуемся методом сечений. Рассматриваем (поочередно) равновесие отсеченной (верхней) части колонны (рис. 1 в ). Из уравнения для отсеченной части стержня в произвольном сечении участка продольная сила (), при =0 кН; при =2 м кН, в сечениях участков имеем соответственно: КН, КН, КН, Итак, в четырех сечениях продольные силы отрицательны, что указывает на деформацию сжатия (укорочения) всех участков колонны. По результатам вычислений строим эпюру продольных сил (рис. 1б ), соблюдая масштаб. Из анализа эпюры следует, что на участках, свободных от нагрузок, продольная сила постоянна, на нагруженных – переменна, в точках приложения сосредоточенных сил – изменяется скачкообразно. Пример 2. Построить эпюру N z для стержня, приведенного на рисунке 2. Рис. 2. Схема нагружения стержня Решение: Стержень нагружен только сосредоточенными осевыми силами, поэтому продольная сила в пределах каждого участка постоянна. На границе участков N z претерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е ) к защемлению (сеч. А ). На участке DE продольная сила положительна, так как сила вызывает растяжение, т.е. N ED = + F . В сечении D продольная сила меняется скачком от N DE = N ED = F до N D С = N D Е – 3 F = – 2 F (находим из условия равновесия бесконечно малого элемента dz , выделенного на границе двух смежных участков CD и DE ). Заметим, что скачок равен по величине приложенной силе 3 F и направлен в сторону отрицательных значений N z , так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CD имеем N СD = N DС = – 2 F . В сечении C продольная сила изменяется скачком от N СD = – 2 F до N СВ = N СD + 5 F = 3 F . Величина скачка равна приложенной силе 5 F . В пределах участка CВ продольная сила опять постоянна N СВ = N ВС =3 F . Наконец, в сечении В на эпюре N z опять скачок: продольная сила меняется от N ВС = 3 F до N ВА = N ВС – 2 F = F . Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2 F вызывает сжатие стержня. Эпюра N z приведена на рисунке 2. Построение эпюр продольных усилий при растяжении (сжатии) Растяжение (сжатие) - деформация, вызванная силами или системами сил, равнодействующая которых или сами силы приложены в центре тяжести сечения и перпендикулярны сечению. При растяжении (сжатии) в каждом сечении стержня действует только один внутренний силовой фактор - продольная сила N . Продольная сила представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении стержня, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е. При растяжении продольную силу принято считать положительной , а при сжатии - отрицательной (рис. 1.3). Рисунок 1.3 Внешние нагрузки, действующие на стержень могут быть сосредоточенными и распределенными. Сосредоточенные нагрузки передают свое действие через относительно небольшие участки стержня. Распределенные нагрузки действуют на все сечения стержня (силы веса, инерции - объемные нагрузки), либо на достаточно большие участки стержня (силы трения - поверхностные нагрузки). Интенсивность распределенной нагрузки - нагрузка, приходящаяся на единицу длины стержня (выражается в Н/м): При учете собственного веса стержня определяется интенсивность распределенной нагрузки от собственного веса (вес единицы длины стержня) (Н/м): q = G/l = Fl/l = F, где G - вес стержня; F - площадь поперечного сечения стержня; l - длина стержня; - удельный вес материала стержня. Задача 1.1. Для стержня, рисунок 1.4, построить эпюру продольных сил. 1. В данной задаче не обязательно определять реакцию в заделке, так как, рассматривая нагрузки от свободного конца стержня, можно определить во всех сечениях продольную силу. Продольная сила, полученная для крайнего левого сечения стержня (т.е. для заделки), и будет представлять собой реакцию в заделке. Однако для контроля правильности расчета продольных сил полезно в начале определить реакцию R из условия равновесия т. е. сумма проекций всех сил на продольную ось стержня должка быть равна нулю: =R-3P+2P-P=0 R=2P. Рисунок 1.4 Полученный знак плюс для реакции свидетельствует о правильности выбранного направления вектора R . Если бы реакция получалась отрицательной, то следовало бы изменить направление вектора R на противоположное. 2. Разбиваем стержень на три участка. Проводим произвольные сечения, задаем координату сечения на каждом участке (рис.1.4, а). В данной задаче на каждом участке начало координат взято в крайнем правом сечении участка. Задание координаты сечения на участке однозначно определяет, с какой стороны от сечения суммировать внешние силы при определении внутреннего силового фактора. Если начало координат находится справа, то рассматриваются все внешние нагрузки, лежащие справа от сечения, и наоборот. Составляем уравнения для продольной силы по участкам. I участок : пределы изменения координаты сечения 0х 1 a . Мысленно отбрасываем часть стержня слева от сечения. Согласно определению, продольная сила равна сумме всех внешних нагрузок, лежащих по одну сторону (справа) от сечения. Справа от сечения имеется только одна сила, которая действует на данное сечение, вызывая сжатие левой от сечения части стержня, поэтому (рис.1.4, б) II участок : 0х 2 a . Продольная сила в сечении равна сумме всех внешних сил, действующих справа от сечения. Справа от сечения действуют сила P , вызывая сжатие, и сила 2P , вызывая растяжение оставшейся левой части стержня, поэтому (рис. 1.4, в) N = -P + 2P = P. III участок : 0х 3 a . Рассуждая аналогично, получим (рис. 1.4, г) N=-P+ 2P- 3P=- 2P. Продольная сила N в заделке совпала по величине и направлению с реакцией Д (знак минус для N на III участке говорит о том, что на этом участке действует сжимающая сила), причем рассмотрение внешних сил справа от сечения позволяет определить продольную силу в каждом сечении, не определяя реакцию в заделке. 4. По полученным уравнениям строим эпюру продольных сил. Так как на каждом участке продольная сила - величина постоянная, то графики продольных сил - прямые, параллельные координатной оси х. Откладываем в произвольном масштабе значения N на каждом участке и строим эпюру (рис.1.4, д). Как видно из эпюры, в каждом сечении, в котором к стержню приложена сосредоточенная сила, продольная сила меняется скачком. Таким образом, на эпюре N в сечении, где приложена сосредоточенная сила, должен быть скачок на значение этой силы. В данной задач на эпюре имеем четыре скачка N , каждый скачок соответствует сосредоточенной силе. Эпюры принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными продольной оси х . Каждая ордината эпюры в принятом масштабе дает значение продольной силы в поперечном сечении бруса с данной координатой. На эпюре иногда указываются знаки продольных сил (плюс - для положительных, минус- для отрицательных сил). Эпюра показывает, что брус под действием внешних сил на I и Ш участках испытывает сжатие, на II - растяжение с усилиями, известными из расчета. Задача 1.2. Построить эпюру N для стержня, нагруженного сосредоточенной и распределенной нагрузками (рис.1.5), если известны величины a, b, c, P 1 = P, P 2 = 3P , q = P/b Рисунок 1.5 1. Разбиваем стержень на три участка, проводим произвольные сечения на каждом участке, задаем координаты этих сечений. 2. Определяем уравнения для N по участкам, рассматривая внешние нагрузки вниз от сечения: I участок: 0х 1 a; N =P 1 =P; II участок: 0х 2 b; N = P 1 + qX 2 = P + P/b X 2 ; III участок: 0х 3 c ; N = P 1 + qb- P 2 = P + P/b b - 3P = -P. 3. Строим эпюру N по полученным уравнениям. На II участке функция N от х представляет собой линейную зависимость, график которой есть наклонная прямая. Строим график по двум крайним значениям в начале и в конце участка: при х 2 =0 N = P; при х 2 =b N = P + P/b * b = 2P. Соединяя эти точки примой, получим график искомой линейной зависимости. Как видно из эпюры, при действии на стержень распределенной осевой нагрузки продольная сила на участке, на котором такая нагрузка приложена, меняется непрерывно. Если интенсивность нагрузки на участке постоянная (q = const ), то на эпюре будет наклонная прямая. На участках, где нет распределенной нагрузки, на эпюре - прямые, параллельные оси х . Эпюра показывает, что участки I н II испытывают растяжение, участок III - сжатие, наиболее нагруженным является сечение с координатой x 2 =b . В этом сечении действует растягивающее усилие, равное 2P . На эпюре три скачка, один соответствует реакции в заделке, второй - силе P 2 , третий - силе P 1 . Задача 1.3. Построить эпюру N для стержня (рис. 1.6) с учетом собственного веса, если заданы a, F, P = 10 Fa . Рисунок 1.6 1. Разбиваем стержень на три участка. 2. Определяем N по участкам. I участок : 0х 1 a. На I участке равно сумме всех сил, лежащих вниз от сечения. Но вниз от сечения действует только вес вышележащей части стержня, который равен произведению удельного веса на объем нижележащей части: 2Fх 1 . Определяем значение N в начале и в конце участка: при х 1 =0 N= 0, при х 1 =a N=2Fa. II участок : 0х 2 a. Продольное усилие в произвольном сечении II участка равно весу I участка плюс вес вышележащей части стержня II участка: N = 2Fa + FX 2 . Определяем значения N в начале и в конце участка: при х 2 =0 N = 2Fa; при х 2 =a N = 3Fa. III участок: 0 х 3 а. Продольное усилие в произвольном сечении III участка равно сумме весов I и II участков, внешней силе и весу нижележащей части III участка: N = 2Fa + Fa - P+ Fх 3 = - 7Fа + Fх 3 . Определяем значения N в начале и в конце участка: при х 3 =0 N = - 7Fa ; при х 3 =a N = - 6Fa. 3. Строим эпюру N. На всех участках это наклонные прямые, причем наклон прямых (коэффициент при х) определяется площадью сечения и удельным весом материала стержня. Наиболее нагруженным является сечение х3=0, оно испытывает сжатие с усилием 7Fa. Понравилось? Нажмите на кнопку, если статья Вам понравилась, это поможет нам развивать проект. Спасибо!