Исследовательские умения можно разделить на общие и специальные. К числу общих исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения задач с параметрами, относятся: умение увидеть за данным уравнением с параметром различные классы уравнений, характеризующиеся общностью наличия количества и вида корней; умение владеть аналитическим и графоаналитическим методами....

Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7-9 классах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Дипломная работа

п о теме: Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7 — 9 классах

Развитие творческих мыслительных способностей невозможно вне проблемных ситуаций, поэтому особое значение в обучении имеют нестандартные задачи. К ним относятся и задачи, содержащие параметр. Математическое содержание этих задач не выходит за пределы программы, тем не менее, их решение, как правило, вызывает у учащихся затруднения.

До реформы школьного математического образования в 60-х годах в школьной программе и учебниках были специальные разделы: исследование линейных и квадратных уравнений, исследование систем линейных уравнений. Где ставилась задача исследования уравнений, неравенств и систем в зависимости от каких-либо условий или параметров.

В настоящее время программа не содержит специальных упоминаний об исследованиях или параметрах в уравнениях или неравенствах. А ведь именно они и есть одно из эффективных средств математики, помогающих решить задачу формирования интеллектуальной личности, ставящуюся программой. Для устранения этого противоречия возникла необходимость создания элективного курса по теме «Уравнения и неравенства с параметрами». Именно этим и определяется актуальность данной работы.

Уравнения и неравенства с параметрами — прекрасный материал для настоящей исследовательской работы, но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема.

Решение большей части задач школьного курса математики направлено на формирование у школьников таких качеств как владение правилами и алгоритмами действий в соответствии с действующими программами, умение проводить элементарные исследования.

Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования применяется накопленный опыт, имеющиеся знания, а так же методы и способы изучения объектов. Итогом исследования должно стать получение новых знаний. В процессе учебного исследования синтезируются накопленные учеником знания и опыт в изучении математических объектов.

В применении к параметрическим уравнениям и неравенствам можно выделить следующие исследовательские умения:

1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;

2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;

3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;

4) В случае наличия корней (решений) уметь выражать условия наличия того или иного количества корней (решений);

5) Умение выражать через параметры сами корни параметрические уравнения (решения неравенства).

Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

Выработка определенных алгоритмов мышления, Умение определить наличие и количество корней (в уравнении, системе);

Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного;

Выражение одной переменной через другую;

Нахождение области определения уравнения;

Повторение большого объема формул при решении;

Знание соответствующих методов решения;

Широкое применение словесной и графической аргументации;

Развитие графической культуры учащихся;

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики.

В настоящее время класс задач с параметрами пока четко методически не отработан. Актуальность выбора темы элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» определяется значимостью темы «Квадратный трехчлен и его свойства» в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение задач, связанных с исследованием квадратного трехчлена, содержащего параметр.

В своей работе мы хотим показать, что задачи с параметра не должны быть трудным дополнением к основному изучаемому материалу, которым могут овладеть только способные дети, а могут и должны использоваться в общеобразовательной школе, что обогатит обучение новыми методами и идеями, поможет учащимся развивать мышление.

Цель работы заключается в изучении места уравнений и неравенств с параметрами в курсе алгебры 7−9 классов, разработке элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» и методических рекомендаций по его проведению.

Объект исследования — процесс обучения математике в 7−9 классах общеобразовательной школы.

Предмет исследования — содержание, формы, методы и средства решения уравнений и неравенств с параметрами в средней общеобразовательной школе, обеспечение разработки элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Гипотеза исследования заключается в том, что данный элективный курс поможет обеспечить более углубленное изучение содержательной линии раздела математики «Уравнения и неравенства с параметрами», устранить расхождения в требованиях по математике, предъявленных к подготовке выпускников в школе и абитуриентов в вузе, расширить возможности развития мыслительной деятельности учащихся, если в процессе его изучения будут использованы:

· рассмотрение графических приемов решения квадратных уравнений и неравенств с параметром с помощью работы школьников с учебной литературой;

· решение задач на исследование квадратного трехчлена, содержащего параметр, с использованием самоконтроля школьников и взаимоконтроля;

· таблицы для обобщения материала по темам «Знак корней квадратного трехчлена», «расположение параболы относительно оси абсцисс»;

· использование разнообразных способов оценивания результатов обучения и накопительной системы баллов;

· изучение всех тем курса с предоставлением ученику возможности самостоятельно находить путь решения задачи.

В соответствии с целью, объектом, предметом и гипотезой исследования выдвигаются следующие задачи исследования:

· рассмотреть общие положения по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7−9 классах;

· разработать элективный курс по алгебре «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» и методику его проведения.

В ходе исследования были использованы следующие методы:

· анализ литературы;

· анализ опыта разработки элективных курсов.

Глава 1. Психолого-педагогические особенности изучения темы « Уравнения и неравенства с параметрами» в курсе алгебры 7−9 класса

§ 1. Возрастные, физиологические и психологические осо бенности школьников 7−9 классов

Средний школьный возраст (подростковый) характеризуется бурным ростом и развитием всего организма. Наблюдается интенсивный рост тела в длину (у мальчиков за год наблюдается прирост на 6 — 10 сантиметров, а у девочек до 6 — 8 сантиметров). Продолжается окостенение скелета, кости приобретают упругость и твердость, возрастает сила мышц. Однако развитие внутренних органов происходит неравномерно, рост кровеносных сосудов отстает от роста сердца, что может вызвать нарушение ритма его деятельности, учащению сердцебиения. Развивается легочный аппарат, дыхание в этом возрасте учащенное. Объем мозга приближается к объему мозга взрослого человека. Улучшается контроль коры головного мозга над инстинктами и эмоциями. Однако процессы возбуждения все еще преобладают над процессами торможения. Начинается усиленная деятельность ассоциативных волокон.

В данном возрасте происходит половое созревание. Усиливается деятельность желез внутренней секреции, в частности половых желез. Появляются вторичные половые признаки. Организм подростка обнаруживает большую утомляемость, обусловленную кардинальными переменами в нем. Восприятие подростка более целенаправленно, организованно и планомерно, чем у младшего школьника. Определяющее значение имеет отношение подростка к наблюдаемому объекту. Внимание произвольно, избирательно. Подросток может долго сосредотачиваться на интересном материале. Запоминание понятий, непосредственно связанное с осмысливанием, анализом и систематизацией информации, выдвигается на первый план. Для подросткового возраста характерна критичность мышления. Для учащихся данного возраста свойственна большая требовательность к сообщаемой информации. Улучшается способность к абстрактному мышлению. Проявление эмоций у подростков часто бывает достаточно бурное. Особенно сильно проявляется гнев. Для данного возраста достаточно характерны упрямство, эгоизм, уход в себя, острота переживаний, конфликты с окружающими. Данные проявления позволили педагогам и психологам говорить о кризисе подросткового возраста. Формирование идентичности требует от человека переосмысления своих связей с окружающими, своего места среди других людей. В подростковом возрасте происходит интенсивное нравственное и социальное формирование личности. Идет процесс формирования нравственных идеалов и моральных убеждений. Часто они имеют неустойчивый, противоречивый характер.

Общение подростков с взрослыми существенно отличается от общения младших школьников. Подростки зачастую не рассматривают взрослых как возможных партнеров по свободному общению, они воспринимают взрослых как источник организации и обеспечения их жизни, причем организаторская функция взрослых воспринимается подростками чаще всего лишь как ограничительно — регулирующая.

Сокращается количество вопросов, обращенных к учителям. Задаваемые вопросы касаются, в первую очередь, организации и содержания жизнедеятельности подростков в тех случаях, в которых они не могут обойтись без соответствующих сведений и инструкций взрослых. Уменьшается число вопросов этического характера. По сравнению с предыдущим возрастом авторитет педагога как носителя социальных норм и возможного помощника в решении сложных жизненных проблем существенно снижается.

§ 2. Возрастные особенности учебной деят

Учение для подростка является главным видом деятельности. В учебной деятельности подростка имеются свои трудности и противоречия, но есть и свои преимущества, на которые может и должен опираться педагог. Большим достоинством подростка является его готовность ко всем видам учебной деятельности, которые делают его взрослым в собственных глазах. Его привлекают самостоятельные формы организации занятий на уроке, сложный учебный материал, возможность самому строить свою познавательную деятельность за пределами школы. Однако подросток эту готовность не умеет реализовать, так как он не владеет способами выполнения новых форм учебной деятельности.

Подросток эмоционально реагирует на новый учебный предмет, а у некоторых эта реакция исчезает довольно быстро. Нередко у них снижается и общий интерес к учению, к школе. Как показывает психологические исследования, основная причина заключена в несформированности у учащихся навыков учебной деятельности, что не дает возможности удовлетворить актуальную потребность возраста — потребность в самоутверждении.

Одним из способов повышения эффективности обучения является целенаправленное формирование мотивов учения. Это непосредственно связано с удовлетворением преобладающих потребностей возраста. Одна из таких потребностей — познавательная. При ее удовлетворении у него формируется устойчивые познавательные интересы, которые определяют его положительное отношение к учебным предметам. Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить свои знания, проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинно-следственные связи. Они испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Неудовлетворение познавательной потребности и познавательных интересов вызывает не только состояние скуки, безразличия, но порой и резко отрицательное отношение к «неинтересным предметам». При этом в равной степени имеет значение как содержание, так и процесс, способы, приемы овладения знаниями.

Интересы подростков различаются по направленности их познавательной деятельности. Одни учащиеся предпочитают описательный материал, их привлекают отдельные факты, другие стремятся разобраться в сущности изучаемых явлений, объяснить их с точки зрения теории, третьи проявляют большую активность при использовании знаний в практической деятельности, другие — к творческой, исследовательской деятельности. 15]

Наряду с познавательными интересами существенное значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание значимости знаний. Для них очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний и, прежде всего, их значение для развития личности. Многие учебные предметы нравятся подростку потому, что они отвечают его потребностям всесторонне развитого человека. Убеждения и интересы, сливаясь воедино, создают у подростков повышенный эмоциональный тонус и определяют их активное отношение к учению.

Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у него могут сформировать негативные убеждения и отрицательное отношение к существующим учебным предметам. Существенно значение при отрицательном отношении подростков к учению имеет осознание и переживание ими неуспеха в овладении теми или иными учебными предметами. Страх перед неуспехом, боязнь поражения порой приводит подростков к поиску благовидных причин, чтобы не пойти в школу или уйти с урока. Эмоциональное благополучие подростка во многом зависит от оценки его учебной деятельности взрослыми. Нередко смысл оценки для подростка выступает в стремлении добиться успеха в учебном процессе и тем самым получить уверенность в своих способностях и возможностях. Это связано с такой доминирующей потребностью возраста, как потребность осознать, оценить себя как личность, свои сильные и слабые стороны. Как показывают исследования, именно в подростковом возрасте доминирующую роль играет самооценка. Для эмоционального благополучия подростка очень важно, чтобы оценка и самооценка совпадали. В противном случае возникает внутренний, а иногда и внешний конфликт.

В средних классах учащиеся приступают к изучению и освоению основ наук. Учащимися предстоит овладеть большим объемом знаний. Материал, подлежащий усвоению, с одной стороны требует более высокого, чем раньше уровня учебно-познавательной и мыслительной деятельности, а с другой стороны направлен на их развитие. Учащиеся должны овладеть системой научных понятий и терминов, поэтому новые учебные предметы предъявляют новые требования к способам усвоения знаний и направлены на развитие интеллекта высшего уровня — теоретического, формального, рефлексивного мышления. Такое мышление характерно для юношеского возраста, но начинает оно развиваться у младших подростков.

Новое в развитии мышления подростка заключается в его отношении к интеллектуальным задачам как к таким, которые требуют их предварительного мысленного решения. Умение оперировать гипотезами в решении интеллектуальных задач — важнейшее приобретение подростка в анализе действительности. Мышление предположениями является отличительным инструментом научного рассуждения, поэтому такое мышление называется рефлексивным. Хотя усвоение научных понятий в школе уже само по себе создаёт ряд объективных условий для формирования у школьников теоретического мышления, однако, оно формируется не у всех: у разных учащихся может быть разный уровень и качество его реальной сформированности.

Теоретическое мышление может формироваться не только при овладении школьными знаниями. Контролируемой и управляемой становится речь, причём в некоторых лично значимых ситуациях подростки особенно стремятся говорить красиво, правильно. В процессе и в результате усвоения научных понятий создаётся новое содержание мышления, новые формы интеллектуальной деятельности. Существенным показателем неполноценного усвоения теоретических знаний является неумение подростка решать задачи, требующие использования этих знаний.

Центральное место начинает занимать анализ содержания материала, его своеобразия и внутренней логики. Для одних подростков характерна гибкость в выборе путей заучивания, другие предпочитают какой-либо один способ, а некоторые стараются упорядочить и логически обработать любой материал. Умение логически обрабатывать материал часто развивается у подростков стихийно. От этого зависит не только успеваемость, глубина и прочность знаний, но и возможность дальнейшего развития интеллекта и способностей подростка.

§ 3. Организация учебной деят ельности школьников 7−9 классов

Организация учебной деятельности подростков — важнейшая и сложнейшая задача. Ученик среднего школьного возраста вполне способен понять аргументацию педагога, родителя, согласиться с разумными доводами. Однако в виду особенностей мышления, характерных для данного возраста, подростка уже не удовлетворит процесс сообщения сведений в готовом, законченном виде. Ему захочется проверить их достоверность, убедиться в правильности суждений. Споры с учителями, родителями, приятелями — характерная черта данного возраста. Их важная роль заключается в том, что они позволяют обменяться мнениями по теме, проверить истинность своих воззрений и общепринятых взглядов, проявить себя. В частности, в обучении большой эффект дает внедрение проблемных задач. Основы данного подхода в обучении были разработаны еще в 60 — 70 — е годы XX века отечественными педагогами. В основе всех действий при проблемном подходе лежит осознание отсутствия знаний для решения конкретных задач, разрешение противоречий. В современных условиях данный подход должен реализовываться в контексте уровня достижений современной науки, задач социализации учащихся.

Важно поощрять самостоятельность мышления, высказывание школьником собственной точки зрения, умение сравнивать, находить общие и отличительные черты, выделять главное, устанавливать причинно — следственные связи, делать выводы.

Для подростка большое значение будет иметь информация интересная, увлекательная, которая стимулирует его воображение, заставляет задуматься. Хороший эффект дает периодическая смена видов деятельности — не только на уроке, но и при подготовке домашних заданий. Разнообразие видов работы способно стать весьма результативным средством повышения внимания и важным способом предотвращения общей физической утомляемости, связанной, как и с учебной нагрузкой, так и с общим процессом кардинальной перестройки организма в период полового созревания. 20]

Учащиеся до изучения соответствующих разделов школьной программы часто уже располагают определенными житейскими представлениями и понятиями, которые позволяют им достаточно хорошо ориентироваться в повседневной практике. Это обстоятельство в тех случаях, когда их внимание специально не обращено на связь получаемых знаний с практической жизнью, лишает многих учащихся потребности в приобретении и усвоении новых знаний, так как последние не имеют для них практического смысла.

Нравственные идеалы и моральные убеждения подростков складываются под влиянием многочисленных факторов, в частности, усиления воспитательного потенциала обучения. В решении сложных жизненных проблем большее внимание следует уделять косвенным методам воздействия на сознание подростков: не преподносить готовую моральную истину, а подводить к ней, не высказывать категоричных суждений, которые подростки могут воспринять в «штыки».

§ 4. Учебное исследование в системе основных требований к содержанию математического образования и уровню подготовки учащихся

Уравнения и неравенства с параметрами — это прекрасный материал для настоящей исследовательской работы. Но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема.

Проанализируем различные разделы учебного стандарта школ России с точки зрения выявления вопросов, связанных с обучением решению задач с параметрами.

Изучение программного материала дает возможность учащимся основной школы «получить начальные представления о задаче с параметрами, сводящийся к линейным и квадратным» и научиться строить графики функций, исследовать расположение этих графиков в координатной плоскости в зависимости от значений параметров, входящих в формулу.

В линии «функция» не упоминается слово «параметр», но говорится, что учащиеся имеют возможность «систематизировать и развить знания о функции; развить графическую культуру, научиться свободно „читать“ графики, отражать свойства функции на графике».

Проанализировав школьные учебники по алгебре таких коллективов авторов как: Алимов Ш. А. и др., Макарычев Ю. Н. и др., Мордкович А. Г. и др., приходим к выводу, что задачам с параметрами в данных учебных пособиях уделяется мало внимания. В учебниках для 7-х классов есть несколько примеров на исследование вопроса о числе корней линейного уравнения, на исследования зависимости расположения графика линейной функции у = kх и у = kх + b в зависимости от значений k. В учебниках для 8−9 классов в разделах типа «Задачи для внеклассной работы» или «Упражнения на повторение» дано по 2−3 задания на исследование корней в квадратных и биквадратных уравнениях с параметрами, расположения графика квадратичной функции в зависимости от значений параметров.

В программе по математике для школ и классов с углубленным изучением в объяснительной записке написано «раздел «Требования к математической подготовке учащихся» задает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этом объем, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых всеми учащимися предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы; однако предлагается иное, более высокой качество их сформированности. Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач…"

Проанализируем некоторые учебные пособия для учащихся с углубленным изучением математики.

Формулировки таких задач и их решения, не выходят за рамки школьной программы, но сложности, с которыми сталкиваются учащиеся, объясняются, во-первых, наличием параметра, во-вторых, ветвлением решения и ответов. Однако, практика решения задач с параметрами полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения математической культуры.

В школе в общеобразовательных классах таким задачам уделяется, как правило, ничтожно мало внимания. Так как решение уравнений и неравенств с параметрами является, пожалуй, самым трудным разделом курса элементарной математики, то вряд ли целесообразно обучать решению таких задач с параметрами массового школьника, но сильных учащихся, проявляющих интерес, склонности и способности к математике, стремящихся действовать самостоятельно, учить решать такие задачи, безусловно, необходимо. Поэтому наряду с такими традиционными содержательно-методическими линиями школьного курса математики, как функциональная, числовая, геометрическая, линия уравнений и линия тождественных преобразований, должна занять определенное положение и линия параметров. Содержание материала и требования к учащимся по теме «задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности.

Учитель должен способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к предмету. По интересующим учащихся вопросам можно организовать консультации, кружки, дополнительные занятия и факультативы. В полной мере это относится и к вопросу о задачах с параметрами.

§ 5. Учебное исследование в структуре познавательной деятельности школьников

В настоящий момент особенно остро встает вопрос подготовки ученика, стремящегося действовать самостоятельно, за рамками требований учителя, не ограничивающего сферу своих интересов и активного исследования предлагаемым ему учебным материалом, умеющего представлять и аргументировано отстаивать свое решение той или иной проблемы, умеющего конкретизировать или, наоборот, обобщать рассматриваемый результат, выявлять причинно-следственные связи и т. п. В связи с этим большое значение приобретают исследования, в которых анализируются основы психологии математического творчества детей школьного возраста, рассматривается проблема управления процессом мыслительной деятельности учеников, формирование и развитие у них умений самостоятельно приобретать знания, применять знания, пополнять и систематизировать их, проблема повышения активности познавательной деятельности школьников (Л.С. Выготский, П. Я. Крутецкий, Н. А. Менчинская, С. Л. Рубинштейн, Л.M. Фридман и др).

К исследовательскому методу обучения можно отнести два исследовательских метода: учебное и научное.

Решение существенной части задач школьного курса математики предполагает сформированными у учеников такие качества, как владение правилами и алгоритмами действий в соответствии с действующими программами, умение проводить элементарные исследования. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития преобразования. В процессе исследования применяется накопленный предшествующий опыт, имеющиеся знания, а также методы и способы (приемы) изучения объектов. Итогом исследований должно стать получение новых научных знаний.

В применении к процессу обучения математике в средней школе важно отметить следующее: к основным компонентам учебного исследования относят постановку проблемы исследования, осознание его целей, предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу, условия и методы решения задач, близких к проблеме исследования, выдвижение и формулировка исходной гипотезы, анализ и обобщение полученных в ходе исследования результатов, проверка исходной гипотезы на основе полученных фактов, окончательная формулировка новых результатов, закономерностей, свойств, определение места найденного решения поставленной проблемы в системе имеющихся знаний. Основное место среди объектов учебного исследования занимают те понятия и отношения школьного курса математики, в процессе изучения которых выявляются закономерности их изменения и преобразования, условий их осуществления, единственности и т. п.

Серьезным потенциалом в формировании таких исследовательских умений, как умение целенаправленно наблюдать, сравнивать, выдвигать, доказывать или опровергать гипотезу, умение обобщать и др., обладают задачи на построение в курсе геометрии, уравнения и неравенства с параметрами в курсе алгебры, так называемые динамические задачи, в процессе решения которых учащиеся осваивают основные приемы мыслительной деятельности: анализ, синтез (анализ через синтез, синтез через анализ), обобщение, конкретизация и др., целенаправленно наблюдает изменяющиеся объекты, выдвигает и формулирует гипотезу относительно свойств рассматриваемых объектов, проверяет выдвинутую гипотезу, определяет место подученного результата в системе полученных ранее знаний, его практическую значимость. Решающее значение имеет организация учебного исследования учителем. Обучение приемам мыслительной деятельности, умение осуществлять элементы исследования — эти цели постоянно привлекают внимания учителя, побуждая его находить ответы на многие методические вопросы, связанные с решением рассматриваемой проблемы.

Изучение многих вопросов программы предоставляет прекрасные возможности для создания более цельной и полной картины, связанной с рассмотрением той или иной задачи.

В процессе учебного исследования синтезируются накопленные учеником знания, опыт в изучении математических объектов. Решающее значение в организации учебного исследования школьника имеет привлечение его внимания (сначала непроизвольного, а затем и произвольного), создание условий для наблюдения: обеспечение глубокого осознания, необходимого отношения ученика к работе, объекту изучения ("https://сайт", 9).

В школьном обучении математике имеют место тесно связанные между собой два уровня учебного исследования: эмпирический и теоретический. Первый характеризуется наблюдением за отдельными фактами, их классификации, установлению проверяемой на опыте закономерной связи между ними. Теоретический уровень учебного исследования отличается тем, что в результате ученик формулирует общие математические закономерности, на основе которых более глубоко интерпретируются не только новые факты, но и полученные на эмпирическом уровне.

Проведение учебного исследования требует от ученика применения как частных методов, характерных только для математики, так и общих; анализ, синтез, индукция, дедукция и др., применяемых при изучении объектов и явлений различных школьных дисциплин.

Решающее значение имеет организация учебного исследования учителем. В применении к процессу обучения математике в средней школе важно отметить следующее: к основным компонентам учебного исследования мы относим постановку проблемы исследования, осознание его целей, предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу, условия и методы решения задач, близких к проблеме исследования, выдвижение и формулировка исходной гипотезы, анализ и обобщение полученных в ходе исследования результатов, проверка исходной гипотезы на основе полученных фактов, окончательная формулировка новых результатов, закономерностей, свойств, определение места найденного решения поставленной проблемы в системе имеющихся знаний. Основное место среди объектов учебного исследования занимают те понятия и отношения школьного курса математики, в процессе изучения которых выявляются закономерности их изменения и преобразования, условия их осуществления, единственности и т. п.

Подходящим для проведения учебного исследования является материал, относящийся к исследованию изучаемых в курсе алгебры функций. В качестве примера рассмотрим линейную функцию.

Задание: Исследуйте линейную функцию на четность и нечетность. Указание: рассмотрите случаи:

2) a = 0 и b? 0;

3) a? 0 и b = 0;

4) a? 0 и b? 0.

В результате исследования заполните таблицу, указав на пересечении соответствующей строки и столбца полученный результат.

В результате решения школьники должны получить следующую таблицу:

Ее симметричность вызывает чувство удовлетворения, уверенности в правильности заполнения.

Формирование приемов мыслительной деятельности играет существенную роль как в общем развитии школьников, так и в целях привития им навыков проведения учебного исследования (в целом или фрагментарно).

Итогом учебного исследования служат субъективно новые знания о свойствах рассматриваемого объекта (отношения), об их практических приложениях. Эти свойства могут быть включены в программу по математике для средней школы, а могут и не входить в нее. Важно отметить, что новизна результата деятельности школьника определяется как характером поиска способа осуществления деятельности, самим способом деятельности, так и местом полученного результата в системе знаний того ученика.

Метод обучения математике с использованием учебного исследования носит название исследовательского, независимо от того, реализуется ли схема учебного исследования в полном объеме или фрагментарно.

При реализации каждого этапа учебного исследования обязательно присутствуют элементы как исполнительской, так и творческой деятельности. Наиболее четко это наблюдается в случае самостоятельного проведения учеником того или иного исследования. Также при учебном исследовании одни этапы могут быть реализованы учителем, другие — самим учеником. Уровень самостоятельности зависит от многих факторов, в частности, от уровня сформированности, умения наблюдать тот или иной объект (процесс), от умения сосредоточить свое внимание на одном и том же предмете иногда в течение довольно длительного времени, умения увидеть проблему, четко и недвусмысленно ее сформулировать, умения находить и использовать подходящие (порой неожиданные) ассоциации, умения сосредоточенно анализировать имеющиеся знания с целью отбора нужной информации и т. п.

Также невозможно переоценить влияние воображения, интуиции, вдохновения, способности (а может быть и талантливости или гениальности) ученика на успешность его исследовательской деятельности.

§ 6 . Исследование в системе методов обучения

Методам обучения, от которых зависит немалый успех работы учителя и школы в целом, посвящен не один десяток фундаментальных исследований. И, несмотря на это проблема методов обучения, как в теории обучения, так и в педагогической практике остается весьма актуальной. Понятие метода обучения является весьма сложным. Это обуславливается исключительной сложностью того процесса, который призвана отражать эта категория. Многие авторы считают метод обучения способом организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

Слово «метод» греческого происхождения и в переводе на русский язык означает исследование, способ. «Метод — в самом общем значении — способ достижения цели, определенным образом упорядоченная деятельность» . Очевидно, что в процессе обучения метод выступает как связь деятельности учителя и учащихся по достижению определенных учебно-воспитательных целей. С этой точки зрения каждый метод обучения органически включает в себя обучающую работу учителя (изложение, объяснение изучаемого материала) и организацию активной учебно-познавательной деятельности учащихся. Таким образом, понятие метода обучения отражает:

1 .Способы обучающей работы учителя и способы учебной работы учащихся в их взаимосвязи.

2. Специфику их работы по достижению различных целей обучения. Таким образом, методы обучения — это способы совместной деятельности учителя и учащихся, направленные на решение задач обучения, то есть дидактических задач.

То есть под методами обучения следует понимать способы обучающей работы учителя и организации учебно-познавательной деятельности учащихся по решению различных дидактических задач, направленных на овладение изучаемым материалом. Одной из острых проблем современной дидактики является проблема классификации методов обучения. В настоящее время нет единой точки зрения по этому вопросу. В связи с тем, что разные авторы в основу подразделения методов обучения на группы и подгруппы кладут разные признаки, существует ряд классификаций. Но в 20-е годы в советской педагогике велась борьба против методов схоластического обучения и механической зубрежки, процветавших в старой школе и предпринимались поиски таких метод, которые обеспечивали бы сознательное, активное и творческое овладение знаниями учащимися. Именно в те годы педагог Б. В. Виевятский развивал положение о том, что в обучении может быть только два метода: метод исследовательский и метод готовых знаний. Метод готовых знаний, естественно, подвергался критике. В качестве важнейшего метода обучения и раньше и сейчас признавался исследовательский метод, суть которого сводилась к тому, что учащиеся якобы все должны познавать на основе наблюдения и анализа изучаемых явлений, самостоятельно подходя к необходимым выводам. Тот же исследовательский метод на занятиях может применяться далеко не по всем темам.

Так же суть этого метода состоит в том, что учитель расчленяет проблемную задачу на подпроблемы, а учащиеся осуществляют отдельные шаги поиска ее решения. Каждый шаг предполагает творческую деятельность, но целостное решение проблемы пока отсутствует. При исследовании учащиеся овладевают методами научного познания, формируется опыт исследовательской деятельности. Деятельность учащихся, обучаемых с использованием этого метода, заключается в освоении ими приемов самостоятельной постановки проблем, нахождения способов их решения, исследовательские задания, постановки и разработки проблем, которые предъявляют им учителя.

Можно также отметить, что психология устанавливает некоторые закономерности с возрастной психологией. Прежде, чем с учащимися начинать работу с использованием методов, надо хорошо изучить методы исследования его возрастной психологии. Знакомство с этими методами может оказать практическую пользу непосредственно организаторам этого процесса, так как эти методы пригодны не только для собственного научного исследования, но и для организации углубленного изучения детей в практических учебно-воспитательных целях. Индивидуальный подход в обучении и воспитании предполагаем хорошее знание и понимание индивидуально-психологических особенностей учащихся, своеобразия их личности. Следовательно, учителю необходимо овладеть умением изучать учащихся, видеть не серую, однородную ученическую массу, а коллектив, в котором каждый представляет собой нечто особое, индивидуальное, своеобразное. Такое изучение входит в задачу каждого учителя, но его нужно еще правильно организовать.

Один из основных методов организации — метод наблюдения. Разумеется, психику непосредственно наблюдать нельзя. Этот метод предполагает опосредованное познание индивидуальных особенностей психики человека через изучение его поведения. То есть, здесь нужно судить учащегося по индивидуальным особенностям (действиям, поступкам, речи, внешнему облику и т. д.), психическому состоянию учащегося (процессам восприятия, памяти, мышления, воображения и т. д.), и по чертам его личности, темперамента, характера. Все это необходимо для учащегося, с которым работает учитель с применением исследовательского метода обучения при выполнении каких-то заданий.

Решение существенной части задач школьного курса математики предполагает сформированными у учеников такие качества как владение правилами и алгоритмами действий в соответствии с действующими программами, умение проводить элементарное исследование. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта для выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования применяется накопленный предшествующий опыт, имеющиеся знания, а также методы и способы (приемы) изучения объектов. Итогом исследования должно стать получение новых научных знаний. Обучение приемам мыслительной деятельности, умение осуществлять элементы исследования — эти цели постоянно привлекают внимание учителя, побуждая его находить ответы на многие методические вопросы, связанные с решением рассматриваемой проблемы. Изучение многих вопросов программы предоставляет прекрасные возможности для создания более цельной и полной картины, связанной рассмотрением той или иной задачи. Исследовательский метод обучения математике естественно вписывается в классификацию метод обучения в зависимости от характера деятельности школьников, степени их познавательной самостоятельности. Для успешной организации исследовательской деятельности школьника учитель должен понимать и учитывать как его личностные качества, так и процессуальные особенности этого вида деятельности, а также уровень владения школьником изученным материалом курса. Невозможно переоценить влияние воображения, интуиции, вдохновения, способности ученика на успешность его исследовательской деятельности.

Формы заданий при исследовательском методе могут быть различны. Это могут быть задания, поддающиеся быстрому решению в классе и дома или задания, требующие целого урока. Большинство исследовательских заданий должны представлять собой небольшие поисковые задания, требующие прохождения всех или большинства этапов процесса исследования. Целостное их решение обеспечит выполнение исследовательским методом его функций. Этапами процесса исследования являются следующие:

1 Целенаправленное наблюдение и сравнение фактов и явлений.

Выявление непонятных явлений, подлежащих исследованию.

Предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу.

4. Выдвижение и формулировка гипотезы.

5. Построение плана исследования.

Осуществление плана, выяснения связей изучаемого явления с другими.

Формулирование новых результатов, закономерностей, свойств, определение места найденного решения поставленных исследований в системе имеющихся знаний.

Проверка найденного решения.

Практические выводы о возможном применении новых знаний.

§ 7 . Умение исследовать в сист еме специальных знаний

Умение — это сознательное применение имеющихся у ученика знаний и навыков для выполнения сложных действий в различных условиях, т. е. для решения соответствующих задач, ибо выполнение каждого сложного действия выступает для ученика как решение задачи.

Исследовательские умения можно разделить на общие и специальные. К числу общих исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения задач с параметрами, относятся: умение увидеть за данным уравнением с параметром различные классы уравнений, характеризующиеся общностью наличия количества и вида корней; умение владеть аналитическим и графоаналитическим методами.

К числу специальных исследовательских умений можно отнести умения, формирование и развитие которых происходит в процессе решения конкретного класса задач.

При решении линейных уравнений, содержащих параметр, формируются следующие специальные умения:

§ Умение выявлять особые значения параметра, при которых данное линейное уравнение имеет:

Единственный корень;

Бесконечное множество корней;

3) Не имеет корней;

Умение интерпретировать ответ на языке исходного задания. К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения линейных неравенств, содержащих параметр относятся:

§ Умение увидеть коэффициент при неизвестном и свободный член как функцию параметра;

§ Умение выявлять особые значения параметра, при которых данное линейное неравенство имеет в качестве решения:

1) Промежуток;

2) Не имеет решений;

§ Умение интерпретировать ответ на языке исходного задания К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения квадратных уравнений, содержащих параметр, относятся:

§ Умение выявлять особое значение параметра, при котором старший коэффициент обращается в ноль, т. е. уравнение становиться линейным и находить решение полученного уравнения при выявленных особых значениях параметра;

§ Умение решать вопрос о наличии и количестве корней данного квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта;

§ Умение выражать через параметр корни квадратного уравнения (в случае их наличия);

К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр, сводящихся к квадратным, относятся:

§ Умение приводить дробно-рациональное уравнение, содержащее параметр, к квадратному уравнению, содержащему параметр.

К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения квадратных неравенств, содержащих параметр относятся:

§ Умение выявлять особое значение параметра, при котором старший коэффициент обращается в ноль, т. е неравенство становится линейным и находить множество решений полученного неравенства при особых значениях параметра;

§ Умение выражать через параметр множество решений квадратного неравенства.

Ниже перечислены учебные умения, переходящие в учебно-исследовательские, а также исследовательские умения.

6−7 класс:

— оперативно использовать старые знания в ситуации приобретения новых;

— переносить свободно комплекс умственных действий с одного материала на другой, с одного предмета на другой;

распространять полученные знания на большую совокупность объектов;

сочетать процесс «свертывания» и «развертывания» знаний;

целенаправленно обобщать идеи текста с помощью выделения главных мыслей в его отрезках, частях;

систематизировать и классифицировать информацию;

— сопоставлять информацию по системам признаков с выделением черт сходства и различия;

— уметь связать символический язык с письменной и устной речью;

— анализировать и планировать методы предстоящей работы;

«сцеплять» быстро, свободно компоненты новых знаний;

уметь лаконично излагать основные мысли, факты текста;

— получать новые знания путем движения от системообразующих знаний к конкретному с помощью схем, таблиц, конспектов и т. д. ;

использовать различные формы записей в процессе длительного слушания;

выбирать оптимальные пути решения;

доказывать или опровергать с помощью взаимосвязанных приемов;

— пользоваться различными видами анализа и синтеза;

— рассматривать проблему с разных точек зрения;

— высказывать суждение в виде алгоритма мыслей.

Математическому образованию в процессах формирования мышления или умственного развития учащихся должно отводиться и отводится особое место, потому что средства обучения математике наиболее эффективно воздействуют на многие основные компоненты целостной личности и прежде всего на мышление.

Таким образом, уделяется особое внимание развитию мышления учащегося, так как именно оно связано со всеми другими мыслительными функциями: воображением, гибкостью ума, широтой и глубиной мысли и т. д. Отметим что, рассматривая развитие мышления в контексте личностно-ориентированного обучения, следует помнить, что необходимым условием для реализации такого развития является индивидуализация обучения. Именно оно обеспечивает учет особенностей мыслительной деятельности учащихся различных категорий.

Путь к творчеству индивидуален. Вместе с тем, все учащиеся в процессе изучения математики должны ощутить ее творческий характер, познакомиться в процессе обучения математике с некоторыми умениями и навыками творческой деятельности, которые им будут нужны в их дальнейшей жизни и деятельности. Для решения этой сложной задачи преподавание математики должно быть построено так, чтобы ученик чаще искал новые комбинации, преобразовывая вещи, явления, процессы действительности, искал неизвестные связи между объектами.

Прекрасным способом приобщения учащихся к творческой деятельности при обучении математике является самостоятельная работа во всех ее видах и проявлениях. Весьма принципиальным в этом отношении является высказывание академика П. Л. Капицы о том, что самостоятельность является одним из самых основных качеств творческой личности, так как воспитание творческих способностей в человеке основывается на развитии самостоятельного мышления.

Уровень подготовленности учащихся и учебных групп к самостоятельной творческой деятельности можно определить, ответив на следующие вопросы:

Насколько эффективно школьники могут пользоваться конспектами, опорным конспектом, а также читать схемы и разные виды таблиц?

Умеют ли учащиеся объективно оценивать предложенные идеи при решении проблемной задачи учителем, учитывать возможность их применения? 3) Насколько школьники быстро переходят от одного способа решения проблемы к другому? 4) Проанализировать эффективность ориентирования учащихся в ходе урока на самоорганизацию самостоятельной работы; 5) Исследовать способность учащихся к моделированию и гибкому решению проблем.

Глава 2. Методологический анализ темы «Уравнения и неравенства с параметрами» и разработка элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

§ 1. Роль и место параметрических уравнений и неравенств в формировании исследовательских умени й учащихся

Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не затрагивается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ax2+bx+c=0, у=kх, у=kх+b, ax=b, в которых а, b, с, k не что иное, как параметры. Но в рамках школьного курса не заостряется внимание на таком понятии, параметр, в чем его отличие от неизвестного.

Опыт показывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики, хотя с формальной точки зрения математическое содержание таких задач не выходит за пределы программ. Это вызвано различными точками зрения на параметр. С одной стороны, параметр можно рассматривать как переменную, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной, с другой -- параметр — это величина, численное значение которой не задано, но должно считаться известным, причем параметр может принимать произвольные значения, т. е. параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы ограничивается его неизвестностью.

В каждом из описаний природы параметров имеется неопределенность — на каких этапах решения параметр может рассматриваться в качестве константы и когда играет роль переменной величины. Все эти противоречивые характеристики параметра могут в самом начале знакомства вызвать у учащихся некий психологический барьер.

В связи с этим на начальном этапе знакомства с параметром очень полезно как можно чаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Это не только позволяет преодолеть естественную неуверенность учеников перед параметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики, приучать учеников при решении задач использовать графические приемы доказательства. Не следует также забывать, что использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направление исследований, а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Ведь для определенных типов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, дает возможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получить ответ к уравнению или неравенству.

Решение математических задач вообще является наиболее трудной частью деятельности школьников при изучении математики и объясняется это тем, что для решения задач требуется достаточно высокий уровень развития интеллекта высшего уровня, т. е. теоретического, формального и рефлексивного мышления, а такое мышление, как уже отмечалось, еще только развивается в подростковом возрасте.

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Исследовательская работа

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

Математическое моделирование

Выполнил:

ученик 11 А класса МОАУ

«Лицей №1»

Руководитель:

учитель высшей

Новотроицк

Введение. 3

Параметр. 5

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Заключение. 31

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования : задачи с параметрами.

Цель данной работы :

Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

Решить уравнения с параметрами;

Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

Мои действия:

1. Подобрать и изучить литературу;

2. Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).

- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .

Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

Знаменатели в дроби;

Дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0

у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0

хвÎ(1; 6) 1<-<6

bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

Самарской области

« Уравнения

и

неравенства

с параметрами»

учебное пособие

Клявлино

Учебное пособие

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

Авторы

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна

Введение……………………………………………………………3-4

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18

Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20

Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28

Введение.

Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.

Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

b = 0 является особым значением параметра b .

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

(; +), если a > 0 , и (-;) , если а < 0 . Аналогично для неравенства

ах < b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а < 0.

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Решение : Это линейное уравнение.

Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.

Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.

Ответ : при а ¹ 0, х=

при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:

а= -3 и а ¹ -3.

Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?

Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

2(а - 2) х = а 2 – 4а +4

2(а - 2) х = (а – 2) 2

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ¹ 2 х =
. По условию х > 1 , то есть
>1, а > 4.

Ответ: При а {2} U (4;∞).

Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 – линейное уравнение.

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.

Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

|х| = ах – 1.

y =| х | ,

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1 - один корень

при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.

Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2

Решение : ах + 4 > 2х + а 2
(а – 2) х > а 2 – 4. Рассмотрим три случая.

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,

а, b , с – параметры.

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1 ) дискриминанта квадратного уравнения: D = b ² - 4 ac , (
²- ас)

2) формул корней квадратного уравнения: х 1 =
, х 2 =
,

(х 1,2 =
)

Квадратными называются неравенства вида

a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)

a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .

Если квадратный трехчлен имеет корни (х 1 < х 2 ), то при а > 0 он положителен на множестве (-; х 2 )
(х 2; +) и отрицателен на интервале

(х 1 ; х 2 ). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; х 2 ) и отрицателен при всех х (-; х 1 )
(х 2; +).

Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .

Это квадратное уравнение

Решение : Особое значение а = 0.

При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.

При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Если а = -1, то D = 0 – один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ - 1 , то D >0 . По формуле корней получим: х=
;

х 1 =2, х 2 = -.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и

а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y = х²-2х-8 - графиком является парабола;

y =а - семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.

Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, откуда следует, что a > 6 .

Ответ. a > 6

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение
= 0

Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

х – а = 0, х = а.

Ответ: При а ≠ - 2, х=а

При а = -2 корней нет.

Пример 2 . Решить уравнение
-
=
(1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.

Найдем дискриминант = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х 1 = а + 1, х 2 = а - 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.

Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,

при а= -2 , х 1 -

Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).

Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).

Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,

х 2 - посторонний корень уравнения (1).

В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;

при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;

при а = 1 х =1 + 1= 2;

при а = 2 х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.

Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида
=g (x ) равносильно системе

Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

≤ g(x)


≥g(x)

Пример 1. Решите уравнение
= х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.

При а≠ 2 х=
. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

откуда а ≤ или а > 2.

Ответ: При а≤, а > 2 х=
, при < а ≤ 2 уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение
= а (приложение 4)

Решение. y =

y = а – семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Ответ : при а<0 –решений нет;

при а ≥ 0 – одно решение.

Пример 3 . Решим неравенство (а+1)
<1.

Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то

(а+1)
<1.

<

откуда х (2-
2

Ответ. х (- ;2 при а (-;-1, х (2-
2

при а (-1;+).

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.

tg x = a
x= arctg a + πn, n Z, aR

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, aR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a
arcsin a + 2 πn Z,

при a <-1, xR ; при a ≥ 1, решений нет.

2. . sin x < a
π - arcsin a + 2 πnZ,

при а≤-1, решений нет; при а >1, xR

3. cos x > a
- arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn , n Z ,

при а<-1, xR ; при a ≥ 1 , решений нет.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

при а≤-1 , решений нет; при a > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6. tg x < a, -π/2 + πn Z

Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.

Уравнение cosx = 5- а имеет решения при условии -1≤ 5- а ≤1
4≤ а ≤ 6, а уравнение cosx = - а-1 при условии -1≤ -1- а ≤ 1
-2 ≤ а ≤0.

Ответ. а -2; 0
4; 6

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство
+ b > 0 выполняется при всех х ≠ πn , n Z .

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.

Ответ. b> 0

§ 6. Показательные уравнения и неравенства

1. Уравнение h (x ) f ( x ) = h (x ) g ( x ) при h (x ) > 0 равносильно совокупности двух систем
и

2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

и

3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению

f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f (a x ) > 0 при помощи замены переменной t = a x сводится к решению системы неравенств
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

Пример 1 . При каких а уравнение 8 х =
имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0
8 х >1

>1

>0, откуда a (1,5;4).

Ответ. a (1,5;4).

Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a

Решение . Рассмотрим три случая:

1. а< 0 . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR .

2. a =0. Решений нет.

3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > - log 2 a

Ответ. хR при а > 0; решений нет при a =0; х (- log 2 a ; +) при а> 0 .

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.

1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе

В частности, если а >0, а ≠1, то

log a g (x)= log a h(x)

2. Уравнение log a g (x)=b
g (x)= a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Неравенство log f ( x ) g (x ) ≤ log f ( x ) h (x ) равносильно совокупности двух систем:
и

Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log a f (x) ≤ b

log a f (x) > b

Пример 1. Решите уравнение

Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

logх – 2 = 4 – log a x
logх + log a x – 6 = 0, откуда log a x = - 3

х = а -3 и log a x = 2
х = а 2 . Условие х = а 4
а – 3 = а 4 или а 2 = а 4 не выполняется на ОДЗ.

Ответ: х = а -3 , х = а 2 при а (0; 1)
(1; ).

Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение

2 log -
+ a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену
= t и получим квадратное уравнение 2 t 2 – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8 a . Рассмотрим D ≥0, 1-8 а ≥0
а ≤.

При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.

Ответ. а =

Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3

Решение. Решим систему неравенств

Корни квадратных трехчленов х 1,2 = 1 ±
и х 3,4 = 1 ±
.

Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.

Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х 1
Х 2 = Х – решение исходного неравенства.

При 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), при а > 1 Х 1 = (-;+).

При 0 < a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), при а ≥9 Х 2 – решений нет.

Рассмотрим три случая:

1. 0< a ≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

Задачи ЕГЭ

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение

р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

р ∙ (
- 1) + 2sinx + p = 3, sinx =t , t
, t 0.

- p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Пусть f (y ) = 3 t 2 – 2 t 3 . Найдем множество значений функции f (x ) на


. у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f (-1) = 5, f (1) = 1.

При t
, E (f ) =
,

При t
, E (f ) =
, то есть при t


, E (f ) =
.

Чтобы уравнение 3 t 2 – 2 t 3 = p (следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E (f ), то есть p
.

Ответ.
.

Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение log
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

Найдем а .

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Проверка.

1) a 1 = 1. Тогда уравнение имеет вид: log
(4 x 2 +4) =2. Решаем его

4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.

2) a 2 = 3. Уравнение имеет вид: log
(4 x 2 +4) =2
х = 0 – единственный корень.

Ответ. 1; 3

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.

Решение. Пусть х 1, х 2 – целые корни уравнения х 2 – (р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х 1 + х 2 = р + 3, х 1 ∙ х 2 = 1. Произведение двух целых чисел х 1 , х 2 может равняться единице только в двух случаях: х 1 = х 2 = 1 или х 1 = х 2 = - 1. Если х 1 = х 2 = 1, то р + 3 = 1+1 = 2
р = - 1; если х 1 = х 2 = - 1, то р + 3 = - 1 – 1 = - 2
р = - 5. Проверим являются ли корни уравнения х 2 – (р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = - 1, х 1 = х 2 = 1 имеем

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.

Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = (а
- а
).

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений –

Построим график функции в системе координат хОу.

при неравенство решений не имеет.

при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

Где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

при

при решений нет

при

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

Департамент образования Владимирской области

Управления образования Судогодского района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Мошокская средняя общеобразовательная школа»

« Решение уравнений и неравенств с параметром »

Разработала: Гаврилова Г.В.

учитель математики

моу «Мошокская средняя

общеобразовательная школа»

2009 год

Пояснительная записка
Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.

7 класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.

8 класс – при изучении квадратных уравнений.

Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Основная задача курса – познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами, подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащие параметры.

Решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни, доказать, что неравенство не имеет решений и т.д.- все это варианты параметрических примеров. Поэтому невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, в данном курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.

Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.

Цели курса:

Систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;

Выявить и развить их математические способности;

Создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

Создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

Углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

• 
  обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Учебно-тематический план

Тема 1. Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.
Тема 2. Первоначальные сведения о задачах с параметром.

Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы решения задач с параметром.

Примеры решения линейных уравнений с параметром.
Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.

Примеры решения линейных неравенств с параметром.

Примеры решения квадратных уравнений с параметром.

Дидактический материал к элективному курсу

«Решение уравнений и

неравенств с параметром»
Тема 1. Примеры для этой темы.
Тема 2. Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:

Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные; k – параметр, k ≠ 0);

Функция обратной пропорциональности: у = k / х (х и у – переменные, k – параметр, k ≠ 0)

Линейная функция: у = kх + b (х и у – переменные; k и b – параметры);

Линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);

Квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и c – параметры,

Что такое параметр?

Если в уравнение или неравенство некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.

Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а 1 , а 2 , а 3 , … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие – неизвестны-

ми, то используются такие обозначения.

Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

Определить, при каких значениях параметров существует решения;

Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Какие основные типы задач с параметром?
Тип 1. Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».

Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.

Основные способы решения задач с параметром.
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.

Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Рассмотрим примеры. 2.1. Сравнить -а и 5а.

Решение. Надо рассмотреть три случая: если а 5а;

если а = 0, то –а = 5а;

если а > 0, то –а

Ответ. При а 5а; при а = 0 , –а = 5а; при а > 0, -а

1. 
   Решить уравнение ах = 1.

Если а ≠ 0, то х = 1 / а.

Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0, х = 1 / а.

1. 
   Сравнить с и – 7с.
2. 
   Решить уравнение сх = 10

Тема 3.

Линейные уравнения

Уравнения вида

где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Схема исследования линейного уравнения (1).

1.Если а ≠ 0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.

2. Если а=0, в=0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, решением уравнения будет множество всех действительных чисел.

3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений.

Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.
Примеры. 3.1 Решить уравнение (а -3)х = в+2а

Уравнение записано в виде (1).

Решение: Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х = в+2а/ а-3 при любом в.

Значит единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения уравнения, это а=3. В этом случае уравнение (а -3)х = в+2а принимает вид

0 ∙ х = в+6. (2)

Если в≠ - 6, то уравнение (2) не имеет решений.

Если в = - 6, то любое х является решением (2).

Следовательно, в = - 6 единственное значение параметра в, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (х=2 при а ≠3 и х принадлежит множеству действительных чисел при а=3).

Ответ: в = -6.

3.2. Решить уравнение 3(х-2а) = 4(1-х).

3.3. Решить уравнение 3/kx-12=1/3x-k

3.4. Решить уравнение (a 2 -1)x = a 2 – a -2

3.5. Решить уравнение х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1;

б) (а – 1)х = а – 2;

в) (а 2 – 1)х – а 2 + 2а – 1 = 0.

Вариант 2. Решить уравнения: а) – 8 = вх + 1;

б) (а + 1)х = а – 1;

в) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Тема 4.

Линейные неравенства с параметром

Неравенства

ах > в, ах
где а, в – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами.

Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.

Схема решения неравенства а х > в.

1. 
   Если а > 0, то х > в/а.
2. 
   Если а
3. 
   Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в

Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2.

Рассмотрим три случая.

1. 
   а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число.
2. 
   а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1).
3. 
   а а-2, значит х

1. 
   2ах +5 > a+10x .
2. 
   (а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.
3. 
   Х 2 +ах +1 > 0 .

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить неравенства: а) (а – 1)х ≤ а 2 – 1;

б) 3х-а > ах – 2.

Вариант 2. Решить неравенства: а) (а – 1)х – 2а +3 ≥ 0;

б) ах-2в
Тема 5.

Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.

Уравнение вида

ах 2 +вх + с = 0, (1)

где а,в,с – выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования квадратного уравнения (1).

1. 
   Если а = 0, то имеем линейное уравнение вх +с = 0.
2. 
   Если а ≠ 0 и дискриминант уравнения D = в 2 – 4ас
3. 
   Если а ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = - в/ 2а или как еще говорят, совпадающие корни х 1 = х 2 = - В / 2а.
4. 
   Если а ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня х 1,2 = (- В ± √D) / 2а

Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1)х 2 – 2ах + а + 2 = 0.

Решение. 1. а – 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .

2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.

Возможны случаи: а) D 8, а > 2. Уравнение не имеет

б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один

корень х = а / (а – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.

в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а

корня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)

Ответ. При а = 1 х = 3 / 2 ;

при а =2 х = 2;

при а >2 нет корней;

Для всех значений параметра решить уравнения:

1. 
   ах 2 + 3ах – а – 2 = 0;
2. 
   ах 2 +6х – 6 = 0;
3. 
   вх 2 – (в + 1)х +1 = 0;
4. 
   (в + 1)х 2 – 2х + 1 – в = 0.

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнение ах 2 - (а+3)х + 3 = 0.

Вариант 2. Решить уравнение а 2 +(а+1)х + 2а-4 = 0.
Задачи.

1. 
   . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение

Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,

а – 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =

4(4а 2 + 4а + 1 – 4а 2 + а + 3) = 4(5а + 4).

Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > - 4 / 5 уравнение имеет два

различных корня.

2) При а ≠ 1 и D

3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = - 4 / 5 уравнение имеет один корень.

если а = - 4 / 5 , то уравнение имеет один корень.

1. 
   .При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?
2. 
   .При каких значениях параметра а уравнение (а 2 – а – 2)х 2 + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?
3. 
   .При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 имеет два различных корня?

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Найдите все значения параметра а , для которых квадратное уравнение (2а – 1)х 2 +2х – 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Вариант 2. . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 – а )х 2 +4х – 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Теорема Виета.

При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.

Теорема Виета. Если х 1 , х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх +с = 0, а≠0, то х 1 + х 2 = - В /а и х 1 ∙ х 2 = С /а.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 +вх +с были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.

При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х 2 = - В /а > 0, и оба корня будут отрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а
Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.

При этом оба корня будут неотрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х 1 + х 2 = - В /а ≤ 0.

Полезные равенства: х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2 , (1)

х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)

(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 – 4х 1 х 2 , (3)

(5)

5.10.

(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Решение. Уравнение квадратное, значит, а ≠ 1. По теореме Виета имеем

х 1 + х 2 = 2а /(а – 1) , х 1 х 2 = (а + 1) / (а – 1) .

Вычислим дискриминант D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 1) = 4.

а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если

D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 > 0, т.е. (а + 1) / (а – 1) > 0 , 2а / (а – 1) > 0.

Отсюда а є (-1; 0).

б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если

D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)

Отсюда а є (0; 1).

в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х 1 х 2

(а + 1) /(а – 1) Ответ. а) при а є (-1; 0) уравнение имеет положительные корни;

б) при а є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;

в) при а є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.
5.11. При каких значениях параметра а квадратное уравнение

(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

5. 12. Не решая уравнения 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, найдите х 1 -1 + х 2 -1 , где х 1 , х 2 – корни уравнения.

5.13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.

Контрольная работа.
Вариант 1. 1. Решить уравнение (а 2 +4а)х = 2а + 8.

2. Решить неравенство (в + 1)х ≥ (в 2 – 1).

3. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Вариант 2. 1. Решить уравнение (а 2 – 2а)х = 3а.

2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а 2 – 4.

3. При каких значениях параметра в уравнение

х 2 – (2в – 1)х + в 2 – т – 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Литература.

1. 
   В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. – 175с.
2. 
   Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.
3. 
   Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. – 351 с.
4. 
   Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.
5. 
   Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 – 26, № 27 – 28. 2004.
6. 
   Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.
7. 
   Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.
8. 
   С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.