Системы линейных алгебраических уравнений
1. Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида
(4.1)
Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел
При подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.
Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.
Например, система уравнений
совместная и определенная, так как имеет единственное решение
; система
несовместная, а система
совместная и неопределенная, так как имеет
более одного решения
.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.
Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть
.
Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):
Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:
С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде или
.(4.2)
2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы
Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы () и , то есть основная матрица системы невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами и . Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу :
Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем
Так как , а , тогда
.(4.3)
Убедимся, что найденное значение является решением
исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим 
, откуда имеем .
Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение , которое удовлетворяет равенству
Покажем, что матрица равна матрице
С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .
В результате получим
Такое решение системы уравнений с неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.
Пример. Найти решение системы
.
Выпишем матрицу системы:
,
Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:
или
Здесь мы вынесли общий множитель , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение .
Ищем решение по формуле: .
3. Правило и формулы Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными
От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.
Учитывая равенство , или в развернутом виде
.
Таким образом, после перемножения матриц получаем:
или
.
Заметим, что сумма есть разложение определителя
по элементам первого столбца, который получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Таким образом, можно сделать вывод, что
Аналогично: , где получен из путем замены второго
столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, 
.
Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам
, , ,
известным и как формулы Крамера.
Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:
.(4.4)
Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:
- по матрице системы вычисляется определитель системы ;
-
если , то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется
столбцом свободных членов и вычисляются определители 
получаемых при этом
матриц;
- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).
Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений
Решение. Определитель данной системы
.
Так как , то формулы Крамера имеют смысл, то есть система имеет единственное решение. Находим определители:
, 
, 
.
Следовательно, по формулам (4.4) получаем:
, 
, 
.
Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.
Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.
Критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)
Расширенной матрицей системы (4.1) называется матрица, получаемая добавлением к основной матрице А справа столбца свободных членов с отделением его вертикальной чертой, то есть матрица
.
Заметим, что при
появлении у матрицы новых столбцов ранг может увеличиться, следовательно 
. Расширенная матрица играет очень важную роль в вопросе совместности
(разрешимости) системы уравнений. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает
теорема Кронекера-Капелли.
Сформулируем теорему Кронекера-Капелли (без доказательства).
Система линейных
алгебраических уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы 
. Если 
– число неизвестных
системы, то система имеет единственное решение, а если 
, то система имеет бесчисленное множество решений.
Опираясь на теорему Кронекера-Капелли, сформулируем алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:
1.
Вычисляют ранги
основной и расширенной матриц СЛАУ. Если 
, то система не имеет решений (несовместна).
2.
Если 
, система совместна. В этом случае берут любой отличный от
нуля минор основной матрицы порядка и рассматривают уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор,
а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные коэффициенты, которые входят в
этот базисный минор, объявляют главными или базисными, а остальные свободными
(неосновными). Новую систему переписывают, оставляя в левых частях уравнений
только члены, содержащие базисных неизвестных, а все остальные члены уравнений, содержащих
неизвестных, переносят
в правые части уравнений.
3. Находят выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные решения новой системы с базисными неизвестными называются общим решением СЛАУ (4.1).
4. Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, находят так называемые частные решения.
Проиллюстрируем применение теоремы Кронекера-Капелли и вышеприведенного алгоритма на конкретных примерах.
Пример. Определить совместность системы уравнений
Решение. Запишем матрицу системы и определим ее ранг.
Имеем:
Так как матрица имеет порядок , то наивысший порядок миноров равен 3. Число различных миноров третьего порядка Нетрудно убедиться, что все они равны нулю (проверьте самостоятельно). Значит, . Ранг основной матрицы равен двум, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например,
Ранг расширенной матрицы этой системы равен трем, так как существует отличный минор третьего порядка этой матрицы, например,
Таким образом, согласно критерию Кронекера-Капелли, система несовместна, то есть не имеет решений.
Пример. Исследовать совместность системы уравнений
Решение. Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как, например, минор второго порядка равен
а все миноры третьего порядка основной матрицы равны нулю. Ранг расширенной матрицы также равен двум, например,
а все миноры третьего порядка расширенной матрицы равны нулю (убедиться самостоятельно). Следовательно, система совместна.
Возьмем за базисный минор, например . В этот базисный минор не входят элементы третьего уравнения, поэтому ее отбрасываем.
Неизвестные и объявляем базисными, так как их коэффициенты входят в базисный минор, неизвестную объявляем свободной.
В первых двух
уравнениях члены, содержащие переменную , перенесем в правые части. Тогда получим систему 
Решаем эту систему с помощью формул Крамера.
,
.
Таким образом, общим решением исходной
системы является бесконечное множество наборов вида 
,
где – любое действительное число.
Частным решением данного уравнения будет,
например, набор 
, получающийся при .
4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса. Метод Гаусса состоит из однотипных циклов, позволяющихпоследовательно исключать неизвестные СЛАУ. Первый цикл направлен на то, чтобы во всех уравнениях, начиная со второго, обнулить все коэффициенты при . Опишем первый цикл. Полагая, что в системе коэффициент (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x 1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему (4.1) следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x 1 с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, на последнем шаге цикла умножим обе части первого уравнения на и сложим с последним уравнением системы. Первый цикл завершен, в результате получим эквивалентную систему
(4.5)
Замечание. Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы. После первого цикла данная матрица принимает следующий вид:
(4.6)
Второй цикл является повторением первого цикла. Предположим, что коэффициент . Если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что . Первое и второе уравнение системы (4.5) перепишем в новую систему (в дальнейшем будем оперировать только расширенной матрицей).
Умножим второе уравнение (4.5) или вторую строку матрицы (4.6) на , сложим с третьим уравнением системы (4.5) или третьей строкой матрицы (4.6). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. В результате получим эквивалентную систему:
(4.7)
Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, после шага, получим расширенную матрицу
(4.8)
Последние
уравнений для совместной системы
(4.1) являются тождествами
. Если хотя бы одно из чисел
не
равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, следовательно, система
(4.1) несовместна. В совместной системе при ее решении последние
уравнений можно не рассматривать.
Тогда полученная эквивалентная система (4.9) и соответствующая расширенная
матрица (4.10) имеют вид
(4.9)
(4.10)
После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами, число оставшихся уравнений может быть либо равно числу переменных , либо быть меньше числа переменных. В первом случае матрица имеет треугольный вид, а во втором – ступенчатый. Переход от системы (4.1) к равносильной ей системе (4.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (4.9) – обратным ходом.
Пример. Решить систему методом Гаусса:
.
Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид
.
Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: умножим первую строку на и сложим со второй строкой, а также умножим первую строку на и сложим с третьей строкой. Результатом будет расширенная матрица первого цикла (в дальнейшем все преобразования будем изображать в виде схемы)
.
|
|
Системы линейных уравнений. Лекция 6.
Системы линейных уравнений.
Основные понятия.
Система видa
называется системой - линейных уравнений с неизвестными .
Числа , , называются коэффициентами системы .
Числа , называются свободными членами системы , – переменными системы . Матрица
называется основной матрицей системы , а матрица
– расширенной матрицей системы . Матрицы - столбцы
И - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы . Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде . Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца . Тогда справедливо матричное равенство .
Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.
Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение
Теорема Кронекера – Копелли.
Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными
(1)
Теорема 2 . Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.
Теорема 3 . Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4 . Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Правила решения систем.
3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.
4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.
Методы решения систем линейных уравнений.
Метод обратной матрицы.
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде
где
,
,
.
Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу
Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных
Пример
27.
Методом
обратной матрицы решить систему линейных
уравнений
Решение. Обозначим через основную матрицу системы
.
Пусть , тогда решение найдем по формуле .
Вычислим .
Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения
,
,
,
,
,
,
,
,
Таким образом
.
Сделаем проверку
.
Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных .
.
Сравнивая значения матриц, получим ответ: .
Метод Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или
Обозначим
. . . . . . . . . . . . . . ,
Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера .
Пример
28.
Решить
методом Крамера следующую систему
линейных уравнений
.
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы
.
Так как , то , система имеет единственное решение.
Найдем остальные определители для формул Крамера
,
,
.
По формулам Крамера находим значения переменных
Метод Гаусса.
Метод заключается в последовательном исключении переменных.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
,
где , которой соответствует система
После
этого переменные
считаются свободными и в каждом уравнении
переносятся в правую часть.
На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения
выражается
переменная
.
Этот процесс продолжается до первого
уравнения. В результате получается
выражение главных переменных
через
свободные переменные
.
Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду
.
Так
как
больше числа неизвестных, то система
совместна и имеет бесконечное множество
решений. Запишем систему для ступенчатой
матрицы
Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные
Будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть
Из последнего уравнения выражаем
Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим
откуда
.
Подставив значения переменных
и
в первое уравнение, найдем
.
Ответ запишем в следующем виде
Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.
Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.
Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему
Параметры aij называют коэффициентами , а bi – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m уравнений и n неизвестных.
Если все свободные члены bi=0 то СЛАУ называют однородной . Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной .
Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел (α1,α2,…,αn), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x1,x2,…,xn, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. x1=x2=…=xn=0.
Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной , если же решений нет – несовместной . Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой , если бесконечное множество решений – неопределённой .
Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.
С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:
Матрица A называется матрицей системы . Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.
Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы . Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,...,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.
Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов , а матрица-столбец X – матрицей неизвестных .
Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.
Примечание
Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.
Система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
Если rangA=rangA˜ Если rangA=rangA˜=n,
то СЛАУ является определённой (имеет
ровно одно решение).
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.
Методы решения СЛАУ
Метод Крамера
Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода Крамера можно выразить в трёх пунктах:
Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ≠0.
Для каждой переменной xi необходимо составить определитель Δ X i , полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
Найти значения неизвестных по формуле xi= Δ X i /Δ
Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
Записать три матрицы: матрицу системы A, матрицу неизвестных X, матрицу свободных членов B.
Найти обратную матрицу A -1 .
Используя равенство X=A -1 ⋅B получить решение заданной СЛАУ.
Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных.
Преобразования, допустимые в методе Гаусса:
Смена мест двух строк;
Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.
Вычеркивание повторяющихся строк.
Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.
Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.
Пусть для матрицы А
порядка n
на n
существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X
и В
позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем 
. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как 
, а по определению обратной матрицы (E
– единичная матрица порядка n
на n
), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
К началу страницы
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.
Пример.
С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений 
.
Решение.
В матричной форме исходная система запишется как , где 
. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем 
, следовательно, для матрицы А
может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы 
обратная матрица может быть найдена как 
, где - алгебраические дополнения элементов .
В нашем случае
Тогда
Выполним проверку полученного решения 
, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
или в другой записи 
.
Пример.
Решите СЛАУ матричным методом.
Решение.
Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x 2
, второе –x 1
, третье – x 3
. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как 
. От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ 
. Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :
Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
тогда,
Осталось найти решение СЛАУ:
Ответ:
.
При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ 
НЕЛЬЗЯ записать как 
. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
или 
Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместоx 1 , x 2 , …, x n
могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ 
в матричной форме запишется как 
.
Разберем пример.
Пример.
с помощью обратной матрицы.
Решение.
Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме 
. Вычислим определитель основной матрицы:
Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как 
. Найдем обратную матрицу по формуле 
:
Получим искомое решение:
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3 .
Пример.
Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений 
матричным методом.
Решение.
Определитель основной матрицы системы равен нулю
поэтому, мы не можем применить матричный метод.
Нахождение решения подобных систем описано в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пример.
Решите СЛАУ 
матричным методом, - некоторое действительное число.
Решение.
Система уравнений в матричной форме имеет вид 
. Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:
Квадратных трехчлен не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен , поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных . По матричному методу имеем 
. Построим обратную матрицу по формуле :
Тогда
Ответ:
.К началу страницы
Подведем итог.
Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.