Y x 2 4x 3 график модуль. Квадратичная и кубическая функции

План построения квадратичной функции.

1. Область определения функции (D (y )).

2. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (вниз), т.к. а = __ > 0 (а = __ < 0).

3. Координаты вершины параболы.

4. Уравнение оси симметрии.

5. Точка пересечения графика с осью OY .

6. Нули функции.

7. Таблица значений функции.

8. График.

Пример построения графика функции y = x 2 – 4 x + 3

1. D (y ) = (- ∞; + ∞).

2. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т. к. а = 1 > 0.

3. Координаты вершины параболы:

x 0 = - , y 0 = 2 2 - 4·2 + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1.

4. Уравнение оси симметрии x = 2.

5. Точка пересечения с осью OY (0; 3).

6. Нули функции:

x 2 – 4 x + 3 = 0 D = (- 4) 2 – 4 ·1·3 = 16 -12 = 4 = 2 2

x 1 = = 1 x 2 = = 3

7. Составим таблицу значений функции:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. Построим график

Свойства функции:

1. Множество значений функции (E (y )).

2. Промежутки знакопостоянства функции (y >0, y <0).

3. Промежутки монотонности функции (возрастает, убывает).

4. Точки максимума и минимума функции.

Свойства функции y = x 2 – 4 x + 3.

1. E (y ) = [-1; + ∞).

2. y < 0, при x (1; 3).

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке Решая уравнение \(x"\left(t \right) = 0,\) определяем стационарные точки функции \(x\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 2t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{6} = - 1;\;\frac{1}{3}.} \] При \(t = 1\) функция \(x\left(t \right)\) достигает максимума, равного \ а в точке \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) она имеет минимум, равный \[ {x\left({\frac{1}{3}} \right) } = {{\left({\frac{1}{3}} \right)^3} + {\left({\frac{1}{3}} \right)^2} - \left({\frac{1}{3}} \right) } = {\frac{1}{{27}} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = - \frac{5}{{27}}.} \] Рассмотрим производную \(y"\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = {\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 4t - 4.} \] Находим стационарные точки функции \(y\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 4t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {64} }}{6} = - 2;\;\frac{2}{3}.} \] Здесь, аналогично, функция \(y\left(t \right)\) достигает максимума в точке \(t = -2:\) \ и минимума в точке \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize:\) \[ {y\left({\frac{2}{3}} \right) } = {{\left({\frac{2}{3}} \right)^3} + 2{\left({\frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{2}{3} } = {\frac{8}{{27}} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} } = { - \frac{{40}}{{27}}.} \] Графики функций \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) схематически показаны на рисунке \(15a.\)

Заметим, что так как \[ {\lim\limits_{t \to \pm \infty } x\left(t \right) = \pm \infty ,}\;\;\; {\lim\limits_{t \to \pm \infty } y\left(t \right) = \pm \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот. Более того, поскольку \[ {k = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{y\left(t \right)}}{{x\left(t \right)}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{{t^3} + 2{t^2} - 4t}}{{{t^3} + {t^2} - t}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{2}{t} - \frac{4}{{{t^2}}}}}{{1 + \frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}}} = 1,} \] \[ {b = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \left[ {y\left(t \right) - kx\left(t \right)} \right] } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\cancel{\color{blue}{t^3}} + \color{red}{2{t^2}} - \color{green}{4t} - \cancel{\color{blue}{t^3}} - \color{red}{t^2} + \color{green}{t}} \right) } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\color{red}{t^2} - \color{green}{3t}} \right) = + \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет также и наклонных асимптот.

Определим точки пересечения графика \(y\left(x \right)\) с осями координат. Пересечение с осью абсцисс происходит в следующих точках: \[ {y\left(t \right) = {t^3} + 2{t^2} - 4t = 0,}\;\; {\Rightarrow t\left({{t^2} + 2t - 4} \right) = 0;} \]

1. \({{t^2} + 2t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left({ - 4} \right) = 20,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 2 \pm \sqrt {20} }}{2}\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .} \)

1. \({{t^2} + t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left({ - 1} \right) = 5,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 1 \pm \sqrt {5} }}{2}\normalsize.} \)

На втором промежутке \(\left({ - 2, - 1} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({ - 2} \right) = - 2\) до \(x\left({ - 1} \right) = 1,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({ - 2} \right) = 8\) до \(y\left({ - 1} \right) = 5.\) Здесь мы имеем участок убывающей кривой \(y\left(x \right).\) Она пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 + 2\sqrt 5 } \right).\)

На третьем интервале \(\left({ - 1,\large\frac{1}{3}\normalsize} \right)\) обе переменные убывают. Значение \(x\) изменяется от \(x\left({ - 1} \right) = 1\) до \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize.\) Соответственно, значение \(y\) уменьшается от \(y\left({ - 1} \right) = 5\) до \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize.\) Кривая \(y\left(x \right)\) при этом пересекает начало координат.

На четвертом интервале \(\left({\large\frac{1}{3}\normalsize,\large\frac{2}{3}\normalsize} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize\) до \(x\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = \large\frac{2}{{27}}\normalsize,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize\) до \(y\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{40}{{27}}\normalsize.\) На этом участке кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 - 2\sqrt 5 } \right).\)

Наконец, на последнем интервале \(\left({\large\frac{2}{3}\normalsize, + \infty } \right)\) обе функции \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) возрастают. Кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось абсцисс в точке \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)

Для уточнения формы кривой \(y\left(x \right)\) вычислим точки максимума и минимума. Производная \(y"\left(x \right)\) выражается в виде \[ {y"\left(x \right) = {y"_x} } = {\frac{{{y"_t}}}{{{x"_t}}} } = {\frac{{{{\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}} } = {\frac{{\cancel{3}\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\cancel{3}\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}} } = {\frac{{\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}}.} \] Изменение знака производной \(y"\left(x \right)\) показано на рисунке \(15c.\) Видно, что в точке \(t = - 2,\) т.е. на границе \(I\)-го и \(II\)-го интервалов кривая имеет максимум, а при \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize\) (на границе \(IV\)-го и \(V\)-го интервалов) существует минимум. При переходе через точку \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) производная также меняет знак с плюса на минус, но в этой области кривая \(y\left(x \right)\) не является однозначной функцией. Поэтому указанная точка экстремумом не является.

Исследуем также выпуклость данной кривой. Вторая производная \(y""\left(x \right)\) имеет вид: \[ y""\left(x \right) = {y""_{xx}} = \frac{{{{\left({{y"_x}} \right)}"_t}}}{{{x"_t}}} = \frac{{{{\left({\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} = \frac{{\left({6t + 4} \right)\left({3{t^2} + 2t - 1} \right) - \left({3{t^2} + 4t - 4} \right)\left({6t + 2} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{18{t^3} + 12{t^2} + 12{t^2} + 8t - 6t - 4 - \left({18{t^3} + 24{t^2} - 24t + 6{t^2} + 8t - 8} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{\cancel{\color{blue}{18{t^3}}} + \color{red}{24{t^2}} + \color{green}{2t} - \color{maroon}{4} - \cancel{\color{blue}{18{t^3}}} - \color{red}{30{t^2}} + \color{green}{16t} + \color{maroon}{8}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - \color{red}{6{t^2}} + \color{green}{18t} + \color{maroon}{4}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 6\left({t - \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right)\left({t - \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right)}}{{{{\left({t + 1} \right)}^3}{{\left({3t - 1} \right)}^3}}}. \] Следовательно, вторая производная меняет свой знак на противоположный при переходе через следующие точки (рис.\(15с\)): \[ {{t_1} = - 1:\;\;x\left({ - 1} \right) = 1,}\;\; {y\left({ - 1} \right) = 5;} \] \[ {{t_2} = \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,24;}\;\; {y\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,91;} \] \[ {{t_3} = \frac{1}{3}:}\;\; {x\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{5}{{27}},}\;\; {y\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{{29}}{{27}};} \] \[ {{t_4} = \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,1;}\;\; {y\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,8.} \] Поэтому указанные точки представляют собой точки перегиба кривой \(y\left(x \right).\)

Схематический график кривой \(y\left(x \right)\) показан выше на рисунке \(15b.\)

«Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а < 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.