§6. Свойства определителей
§7. Обратная матрица
Невырожденная и вырожденная матрицы
Обратная матрица
Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы
Алгоритм вычисления обратной матрицы по формуле
Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
§ 6. Свойства определителей
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.
Следствие 1. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
Следствие 2. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число, ее определитель умножится на это число.
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель какой-либо строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить лишь общий множитель всех элементов.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
4. При перестановке местами двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель матрицы не измениться, если к какой либо строке (столбцу) прибавить другую строку 9столбец), умноженную на число.
6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е.
Замечание.
Даже если А
∙В
≠ В
∙А
, 
.
Итак, используя свойства определителей, можно всякий определитель свести к треугольному виду. Рассмотрим этот процесс на примере.
Пример.
Вычислить определитель 
Решение .
§ 7. Обратная матрица
Для каждого числа а ¹ 0 существует обратное число а –1 такое, что а · а –1 = 1. Для квадратных матриц вводиться аналогичное понятие.
Рассмотрим квадратную матрицу
.
Квадратная матрица А называется невырожденной , если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной если ее определитель равен нулю.
Квадратная матрица А –1 называется обратной для квадратной матрицы А , если их произведение как слева, так и справа равное единичной матрице:
А · А –1 = А –1 · А = Е .
В отличие от чисел, не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденная.
Матрица, обратная для данной.
Не всякая матрица имеет обратную.
Теорема 1 . Простейшие свойства обратной матрицы.
1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.
2°. E –1 = E .
3°. (A –1) –1 = A .
4°. (AB ) –1 = B –1 A –1 .
Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
Теорема 2 . Критерий обратимости матрицы.
Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Лемма 1 . Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.
Лемма 2 . Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.
Лемма 3 . Если строки (столбцы) матрицы A (B ) линейно зависимы и C = AB , то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С .
Практический способ вычисления обратной матрицы:
A |E ... E |A –1 .
Матричные уравнения.
Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.
Перестановки и подстановки
Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.
Теорема . Свойства транспозиций.
1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.
2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.
Подстановки. S n . Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1) s (p) .
Определение определителя
Определение определителя.
Примеры вычисления определителей матриц второго и третьего порядков, определителя верхней (нижней) треугольной матрицы, определителя матрицы, у которой все элементы ниже (выше) побочной диагонали равны нулю.
Свойства определителя
Теорема . Свойства определителя.
1°. det t A = detA .
2°.det = det + det .
3°. det = l×det .
4°. det = –det .
5°. Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель матрицы равен нулю.
6°. Если какие-либо две строки матрицы равны, то определитель матрицы равен нулю.
7°. Если какие-либо две строки матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.
8°. Если одну из строк матрицы умножить на число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.
9°. Определитель вырожденной матрицы равен нулю.
10°. Определитель невырожденной матрицы отличен от нуля.
Примечание . Свойства 1°–4° доказываются по определению, остальные свойства выводятся с помощью свойств 1°–4°.
Следствие 1 . Критерий невырожденности матрицы.
Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.
Следствие 2 . Однородная система линейных уравнений, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу
Минор M ij квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij квадратной матрицы.
Теорема о разложении.
det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn , det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk
для любых k =
Этапы доказательства
1. Для матрицы, в которой A n = e n , по определению det.
2. Для матрицы, в которой A i = e j , путём сведения к случаю 1, учётом знака A i и неизменности M ij .
3. Общий случай путём представления A i в виде суммы n векторов и сведения к случаю 2.
Ещё одно свойство определителя
11°. a k 1 A p 1 +a k 2 A p 2 + ... +a kn A pn , a 1 k A 1 p +a 2 k A 2 p + ... +a nk A np , если k ¹ p .
Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной .
Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.
Доказательство.
Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .
Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .
Значит, , что и требовалось доказать.
12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С - задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.
Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.
13. Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре - это система уравнений вида
 |
Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c 1 , c 2 , …, c n справедливо равенство:
Система линейных уравнений:
