ЕГЭ 2017. Математика. Задание 18. Задачи с параметром. Садовничий Ю.В.

М.: 2017. - 128 с.

Данная книга посвящена задачам, аналогичным задаче 18 ЕГЭ по математике (задача с параметром). Рассматриваются различные методы решения таких задач, также большое внимание уделяется графическим иллюстрациям. Книга будет полезна учащимся старших классов, учителям математики, репетиторам.

Формат: pdf

Размер: 1,6 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
§1. Линейные уравнения и системы линейных уравнений 5
Задачи для самостоятельного решения 11
§2. Исследование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта 12
Задачи для самостоятельного решения 19
§3. Теорема Виета 20
Задачи для самостоятельного решения 26
§4. Расположение корней квадратного трехчлена 28
Задачи для самостоятельного решения 43
§5. Применение графических иллюстраций
к исследованию квадратного трехчлена 45
Задачи для самостоятельного решения 55
§6. Ограниченность функции. Нахождение области значений 56
Задачи для самостоятельного решения 67
§7. Другие свойства функций 69
Задачи для самостоятельного решения 80
§8. Логические задачи с параметром 82
Задачи для самостоятельного решения 93
Иллюстрации на координатной плоскости 95
Задачи для самостоятельного решения 108
Метод «Оха» 110
Задачи для самостоятельного решения 119
Ответы 120

Данная книга посвящена задачам, аналогичным задаче 18 ЕГЭ по математике (задача с параметром). Наряду с задачей 19 (задача, при решении которой используются свойства целых чисел) задача 18 является наиболее сложной в варианте. Тем не менее, в книге предпринята попытка систематизировать задачи данного типа по различным методам их решения.
Несколько параграфов посвящены казалось бы такой популярной теме, как исследование квадратного трехчлена. Однако подчас подобные задачи требуют разных, порой самых неожиданных подходов к их решению. Один из таких нестандартных подходов продемонстрирован в примере 7 параграфа 2.
Часто при решении задачи с параметром необходимо исследовать данную в условии функцию. В книге формулируются некоторые утверждения, касающиеся таких свойств функций, как ограниченность, четность, непрерывность; после на примерах демонстрируется применение этих свойств к решению задач.

Двадцать пять выпускников одного из одиннадцатых классов школы №4 города N сдавали профильный уровень ЕГЭ по математике. Самый низкий балл, полученный ровно двумя из этих выпускников - 18, а самый высокий - 82. Порог равен 27 баллам. Выберите утверждения, которые следуют из этой информации.

1) Среди этих выпускников есть хотя бы один, получивший 82 балла за ЕГЭ по математике.
2) Среди этих выпускников есть ровно двое, не набравшие пороговый балл.
3) Среди этих выпускников есть хотя бы два человека с равными баллами за ЕГЭ по математике.
4) Баллы за ЕГЭ по математике любого из этих выпускников не выше 82.

В 1312 году в городе Блавикен цена на обереги от тёмных сил повысилась на 12% по сравнению с 1311 годом, а в 1314 году - на 38% по сравнению с 1312 годом. Какие из приведённых утверждений следуют из этих данных?

1) В 1315 году цена на обереги от тёмных сил вырастет, но несильно по сравнению с 1314 годом.
2) За три года цена выросла в полтора раза по сравнению с 1311 годом.
3) В городе много тёмных сил.
4) Ни одно из предложенных.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В паблике Мифология древних киргизов 36 подписчиков, из них 25 знают английский язык, 14 - немецкий язык и лишь четверо - французский. Выберете утверждения, которые следуют из приведенных данных.

В паблике:
1) нет ни одного человека, знающего все три указанных языка
2) хотя бы двое подписчиков знают и английский, и немецкий языки
3) каждый подписчик знает хотя бы один иностранный язык
4) хотя бы один подписчик знает и немецкий, и французский языки

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Среди четверых самых высоких мальчиков в классе Петя выше Саши, Миша выше Андрея, Андрей ниже Пети, а Саша толще Андрея. Выберете утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Петя самый высокий в классе.
2) Андрей самый низкорослый из данных четырёх мальчиков.
3) Андрей не самый высокий в классе.
4) Если сложить рост Пети и Саши, то результат будет больше, нежели сумма ростов Миши и Андрея.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Выпускник Баранкин сдавал ЕГЭ по четырём предметам. Самый низкий результат он показал по математике - 33 балла(по остальным экзаменам баллы выше). Средний балл Баранкина по четырём сданным ЕГЭ равен 45 баллов. Выберете утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Средний балл по трём экзаменам, кроме математики, равен 49.
2) Все предметы, кроме математики, Баранкин сдал на 45 баллов или лучше.
3) Ни по одному предмету из этих четырёх Баранкин не получил даже 80 баллов.
4) По какому-то предмету Баранкин получил больше 48 баллов.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В квартире Антонины Петровны проживает 14 кошек. Возраст каждой кошки больше года, но меньше 17 лет. Выберите утверждения, которые следуют из данной информации.

1) 7 кошек в этой квартире младше 9 лет.
2) В этой квартире есть кошка, возраст которой больше 11 лет.
3) Самая старая кошка в этой квартире старше самой молодой менее чем на 22 года.
4) В этой квартире нет 6-месячных котят.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

На зимней олимпиаде в Сочи сборная Зимбабве завоевала меньше медалей, чем сборная Казахстана, сборная Камеруна - меньше, чем сборная Дании, а сборная России - больше, чем сборные всех указанных четырёх стран вместе. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)Сборная России завоевала впятеро больше медалей, чем сборные Камеруна и Зимбабве вместе.
2)Сборная Дании завоевала больше медалей, чем сборная Казахстана.
3)Сборные Камеруна и Зимбабве завоевали одинаковое количество медалей.
4)Сборная России завоевала больше медалей, чем каждая из остальных четырёх сборных.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Когда Иван Валерьевич ловит рыбу, он обязательно переводит свой телефон на беззвучный режим. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если телефон Ивана Валерьевича на беззвучном режиме, значит, он ловит рыбу.
2) Если Иван Валерьевич находится на сомовьей рыбалке, то его телефон на беззвучном режиме.
3) Если телефон Ивана Валерьевича не на беззвучном режиме, значит, он не ловит рыбу.
4) Если телефон Ивана Валерьевича не на беззвучном режиме, значит, его жена не отпустила его на рыбалку.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Среди жителей дома №23 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не работает и не учится. Некоторые жители дома №23, которые учатся, ещё и работают. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Хотя бы один из работающих жителей дома №23 учится.
2) Все жители дома №23 работают.
3) Среди жителей дома №23 нет тех, кто не работает и не учится.
4) Хотя бы один из жителей дома №23 работает.

Перед волейбольным турниром измерили рост игроков волейбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из волейболистов этой команды больше 190 см и меньше 210 см. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) В волейбольной команде города N обязательно есть игрок, рост которого равен 220 см.
2) В волейбольной команде города N нет игроков с ростом 189 см.
3) Рост любого волейболиста этой команды меньше 210 см.
4) Разница в росте любых двух игроков волейбольной команды города N составляет более 20 см.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали на даче, а некоторые - на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 года или на даче, или на море, или там, и там.
2) Сотрудник этой фирмы, который летом 2014 года не отдыхал на море, не отдыхал и на даче.
3) Если Фаина не отдыхала летом 2014 года ни на даче, ни на море, то она является сотрудником этой фирмы.
4) Если сотрудник этой фирмы не отдыхал на море летом 2014 года, то он отдыхал на даче.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В стране «Доталандия» мужчин больше, чем женщин. Наиболее распространенное мужское имя - Иван, женское - Мария. Выберите утверждения, которые следуют из приведенных данных.
В стране «Доталандия»:

1) женщин с именем Мария больше, чем с именем Авдотья
2) мужчин с именем Евсикакий больше, чем с именем Евстафий
3) хотя бы одна женщина имеет имя Мария
4) мужчин с именем Антон больше, чем женщин с именем Дульсинея

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Школа приобрела стол, доску, магнитофон и принтер. Известно, что принтер дороже магнитофона, а доска дешевле магнитофона и дешевле стола. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Магнитофон дешевле доски.
2) Принтер дороже доски.
3) Доска - самая дешёвая из покупок.
4) Принтер и доска стоят одинаково.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают кружок по биологии, а 16 - кружок по географии. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
2) Каждый ученик из этого класса посещает оба кружка.
3) Найдутся 11 человек, которые не посещают ни один кружок.
4) Не найдётся 17 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Хозяйка к празднику купила торт, ананас, сок и мясную нарезку. Торт стоил дороже ананаса, но дешевле мясной нарезки, сок стоил дешевле торта. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Ананас стоил дешевле мясной нарезки.
2) За сок заплатили больше, чем за мясную нарезку.
3) Мясная нарезка - самая дорогая из покупок.
4) Торт - самая дешёвая из покупок.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) Стол дешевле ксерокса.
2) Стеллаж дороже ксерокса.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Витя выше Коли, но ниже Маши. Аня не выше Вити. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Маша самая высокая из указанных четырёх человек.

2) Аня и Маша одного роста.

3) Витя и Коля одного роста.

4) Коля ниже Маши.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Двадцать выпускников одного из одиннадцатых классов сдавали ЕГЭ по обществознанию. Самый низкий полученный балл был равен 36, а самый высокий - 75. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Среди этих выпускников есть двадцать человек с равными баллами за ЕГЭ по обществознанию.
2) Среди этих выпускников есть человек, который получил 75 баллов за ЕГЭ
по обществознанию.
3) Баллы за ЕГЭ по обществознанию любого из этих двадцати человек
не ниже 35.
4) Среди этих выпускников есть человек, получивший 20 баллов за ЕГЭ по обществознанию.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1)Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.
2)Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
3)Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.
4)Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В зоомагазине в один из аквариумов запустили 30 рыбок. Длина каждой рыбки больше 2 см, но не превышает 8 см. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Семь рыбок в этом аквариуме короче 2 см.
2) В этом аквариуме нет рыбки длиной 9 см.
3) Разница в длине любых двух рыбок не больше 6 см.
4) Длина каждой рыбки больше 8 см.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Фирма приобрела стеллаж, стол, проектор и ксерокс. Известно, что стеллаж дороже стола, а ксерокс дешевле стола и дешевле проектора. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Стол дешевле ксерокса.
2) Стеллаж дороже ксерокса.
3) Ксерокс - самая дешёвая из покупок.
4) Стеллаж и ксерокс стоят одинаково.

Оля младше Алисы, но старше Иры. Лена не младше Иры. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)Алиса и Ира одного возраста.
2)Среди указанных четырёх человек нет никого младше Иры.
3)Алиса старше Иры.
4)Алиса и Оля одного возраста.

Если спортсмен, участвующий в Олимпийских играх, установил мировой рекорд, то его результат является и олимпийским рекордом.

Выберите утверждение, которые верны при приведённом условии.

1) Если результат спортсмена, участвующего в Олимпийских играх, не является олимпийским рекордом, то он не является и мировым рекордом.

2) Если результат спортсмена, участвующего в Олимпийских играх, не является олимпийским рекордом, то он является мировым рекордом.

3) Если результат спортсмена, участвующего в Олимпийских играх, является мировым рекордом, то он не является олимпийским рекордом.

4) Если спортсмен, участвующий в Олимпийских играх, установил мировой рекорд в беге на 100 м, то его результат является и олимпийским рекордом.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов,
запятых и других дополнительных символов.

Среди дачников в посёлке есть те, кто выращивает виноград, и есть те, кто выращивает груши. А также есть те, кто не выращивает ни виноград, ни груши. Некоторые дачники в этом посёлке, выращивающие виноград, также выращивают и груши. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Если дачник из этого посёлка не выращивает виноград, то он выращивает груши.
2) Среди тех, кто выращивает виноград, есть дачники из этого посёлка.
3) Есть хотя бы один дачник в этом посёлке, который выращивает и груши, и виноград.
4) Если дачник в этом посёлке выращивает виноград, то он не выращивает груши.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Среди тех, кто зарегистрирован в «ВКонтакте», есть школьники из Твери. Среди школьников из Твери есть те, кто зарегистрирован в «Одноклассниках». Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Все школьники из Твери не зарегистрированы ни в «ВКонтакте», ни в «Одноклассниках».
2) Среди школьников из Твери нет тех, кто зарегистрирован в «ВКонтакте».
3) Среди школьников из Твери есть те, кто зарегистрирован в «ВКонтакте».
4) Хотя бы один из пользователей «Одноклассников» является школьником из Твери.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В фирме N работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают
английский язык, а 20 - немецкий. Выберите утверждения, ко¬торые верны при указанных условиях.
1) В фирме N хотя бы три сотрудника знают и английский, и не¬мецкий языки.
2) В этой фирме нет ни одного сотрудника, знающего и англий¬ский, и немецкий языки.
3) Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он зна¬ет и немецкий.
4) Не более 20 сотрудников этой фирмы знают и английский, и немецкий языки.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Когда учитель физики Николай Дмитриевич ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
1.Если телефон Николая Дмитриевича включён, он не ведёт урок.
2.Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит он ведёт урок.
3.Если Николай Дмитриевич проводит на уроке лабораторную работу по физике, значит, его телефон выключен.
4.Если Николай Дмитриевич ведёт урок физики, значит, его телефон включён.

2) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
3) Если в доме больше 17 этажей, то в нём установлены газовые плиты.
4) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём не более 12 этажей.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) В этой компании найдётся 10 человек, которые не пользуются ни сетью Одноклассники, ни сетью ВКонтакте.

2) В этой компании найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями.

3) Не найдётся ни одного человека из этой компании, пользующегося только сетью Одноклассники.

4) Не более 10 человек из этой компании пользуются обеими сетями.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2) Если телефон Ивана Петровича включён, значит, он ведёт урок.

3) Если Иван Петрович проводит контрольную работу по математике, значит, его телефон выключен.

4) Если Иван Петрович ведёт урок математики, значит, его телефон включён.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 - кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.
2) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.
3) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.
1) Витя выше Саши.
2) Саша ниже Ани.
3) Коля и Маша одного роста.
4) Витя самый высокий из всех.
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Формулировка задания ограничивает материал только случаями постановки запятых. Это существенное сужение темы.

Запятые ставятся в следующих случаях:

Придаточное отделяется от главного запятой, если стоит перед или после главного:

Когда она вошла в комнату, я встал.

(Когда…), .

Я встал, когда она вошла в комнату.

, (когда…).

Придаточное отделяется от главного запятыми с двух сторон, если находится внутри главного:

Вчера, когда раздался звонок от Ивана, я был занят.

[ , (когда…), ].

Однородные придаточные, соединённые без союза, разделяются запятой:

Он знал, что учительница позвонит маме, мама будет крайне недовольна, ему влетит.

, (что …), (), ().

Однородные придаточные соединены повторяющимися союзами, запятые ставятся так же, как и при однородных членах:

Он знал, что учительница позвонит маме, и что мама будет крайне недовольна, и что ему влетит.

, (что…), и (что…), и (что …).

Придаточные предложения со сложными подчинительными союзами потому что, благодаря тому что, ввиду того что, вместо того чтобы, для того чтобы, после того как, в то время как и др. подобными отделяются от главного одной запятой, которая ставится на границе главного и придаточного предложения:

По мере того как он рассказывал, я всё более и более недоумевал.

(По мере того как…),.

Я всё более и более недоумевал, по мере того как он рассказывал.

, (по мере того как…).

Я, по мере того как он рассказывал, всё более и более недоумевал.

[ (по мере того как…) ].

Сложные союзы могут распадаться на две части, если:

1) перед ними есть отрицательная частица не :

Она не ответила потому, что испугалась.

2) перед ними есть частицы лишь, только, именно и др., выражающие ограничительное значение:

Она ответила только потому, что испугалась.

Внимание:

Союзы тогда как, словно как, даже если, лишь когда не разбиваются.

Если рядом два подчинительных союза, то между ними ставится запятая во всех случаях, кроме тех, когда это сложные союзы с то .

Нужна запятая: Они решили, что, если наутро будет хорошая погода, они поедут за город.
Запятая не ставится: Они решили, что если наутро будет хорошая погода, то они поедут за город.

Придаточные определительные с союзным словом который. Запятая после союзного слова который не ставится. Это правило работает, даже если слово который входит в состав деепричастного оборота:

Я не знаю, как реагировать на ситуацию, выхода из которой не вижу.

Мы расположились на берегу озера, берега которого заросли брусникой.

(Запятая после деепричастного оборота узнав которое не ставится).

Вконтакте

Одноклассники

Справочник для подготовки к ЕГЭ

• Задание 16. Знаки препинания в предложениях с обособленными членами (определениями, обстоятельствами, приложениями, дополнениями)
• Задание 17. Знаки препинания в предложениях со словами и конструкциями, грамматически не связанными с членами предложения

ЕГЭ по математике профильный уровень

Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.

Время выполнения - 3 часа 55 минут.

Примеры заданий ЕГЭ

Решение заданий ЕГЭ по математике.

Для самостоятельного решения:

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек.
Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа.
Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?
Ответ дайте в рублях.

Задача с решением:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ = 5 корней из 3, SC = 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5 sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, EP - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH = 2 AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Треугольники AEP и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и AP = AH/2, и EP = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDP (нас как раз интересует угол EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Тангенс угла EDP = EP/DP = 6/5,
Угол EDP = arctg(6/5)

Ответ:

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек.
Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг.
Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям.
Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей.
Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

В школе есть трехместные туристические палатки.
Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием - степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: - 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: - Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг - один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую - два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

ЕГЭ 2020 по математике задание 18 с решением

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2020 по математике

ЕГЭ по математике 2020 в формате pdf Базовый уровень | Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

Математика: базовый | профильный 1-12 | | | | | | | | Главная

ЕГЭ 2020 по математике задание 18

ЕГЭ 2020 по математике профильный уровень задание 18 с решением

ЕГЭ по математике

Найдите все положительные значения параметра а,
при каждом из которых уравнение а x = x имеет единственное решение.

Пусть f(x) = a x , g(x) = x.

Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области определения и может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.

При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) = g(x) также имеет единственное решение x = 1.

При a > 1:
Производная функции h(x) = (a x - x) равна
(a x - x) = a x ln(a) - 1
Приравняем её к нулю:
a x ln(a) = 1
a x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция h(x) убывает, справа - возрастает.

Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один корень она имеет только в том случае, когда он совпадает с найденным экстремумом.

То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = a x - x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же точке. Иными словами, когда прямая y = x является касательной к графику функции a x .

A x = x
a x ln(a) = 1

Подставляем a x = x во второе уравнение:
x ln(a) = 1, откуда ln(a) = 1/x, a = e (1/x) .

Снова подставляем во второе уравнение:
(e (1/x)) x (1/x) = 1
e 1 = x
x = e.

А это подставляем в первое уравнение:
a e = e
a = e (1/e)

Ответ:

ЕГЭ по математике

Решение:

Раскроем модуль:

При x <= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
при x > a 2: f(x) = x 2 - 10x + a 2 .

Производная левой части: f"(x) = 2x - 8
Производная правой части: f"(x) = 2x - 10

И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a 2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая - убывает (то есть 2x-10 < 0).

То есть, получаем систему:
2x-8 > 0
2x-10 < 0
x = a 2

Откуда
4 < a 2 < 5

Ответ: (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))