При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные правила дифференцирования , которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.
При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x) дифференцируемыми на некотором промежутке X .
То есть, для любого справедливо , где - приращения соответствующих функций.
В другой записи .
К основным правилам дифференцирования относят:
Вынесение постоянного множителя за знак производной.
Докажем формулу . По определению производной имеем:
Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому
На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.
Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.
Пример.
Выполнить дифференцирование функции 
.
Решение.
По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи . Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:
Пример.
Решение.
Преобразуем исходную функцию 
.
Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:
Производная суммы, производная разности.
Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .
Пример.
Найти производную функции 
.
Решение.
Упростим вид исходной функции .
Используем правило производной суммы (разности):
В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому
Осталось воспользоваться таблицей производных:
Производная произведения функций.
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать.
Пример.
Продифференцировать функцию 
.
Решение.
В данном примере . Применяем правило производной произведения:
Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:
Пример.
Найти производную функции .
Решение.
В этом примере 
. Следовательно,
Давайте рассмотрим случай нахождения производной произведения трех функций. В принципе, по этой же системе можно дифференцировать произведение и четырех, и пяти, и двадцати пяти функций.
Пример.
Выполнить дифференцирование функции .
Решение.
Будем исходить из правила дифференцирования произведения двух функций. В качестве функции f(x)
будем считать произведение (1+x)sinx
, а в качестве g(x)
возьмем lnx
:
Для нахождения 
вновь применяем правило производной произведения:
Используем правило производной суммы и таблицу производных:
Подставляем полученный результат:
Как видите, порой приходится применять несколько правил дифференцирования в одном примере. Сложного в этом ничего нет, главное действовать последовательно и не мешать все в кучу.
Пример.
Найти производную функции .
Решение.
Функция представляет собой разность выражений и , поэтому
В первом выражении выносим двойку за знак производной, а ко второму выражению применяем правило дифференцирования произведения:
Производная частного двух функций (производная дроби).
Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) 
. Стоит оговориться, что g(x)
не обращается в ноль ни при каких x
из промежутка X
.
Пусть и являются функциями от независимой переменной x
.
Пусть они дифференцируемы в некоторой области значений переменной x
.
Тогда, в этой области, производная от суммы (разности) этих функций равна сумме (разности) производных этих функций
:
(1)
.
Доказательство
Поскольку функции и дифференцируемы при ,
то существуют следующие пределы, которые являются производными этих функций:
;
.
Рассмотрим функцию y
от переменной x
,
которая является суммой функций и :
.
Применим определение производной.
.
Тем самым мы доказали, что производная от суммы функций равна сумме производных:
.
Тем же способом можно показать, что производная от разности функций равна разности производных:
.
Это можно показать и другим способом, применяя только что доказанное правило дифференцирования суммы и :
.
Эти два правила можно записать в виде одного уравнения:
(1)
.
Следствие
Выше мы рассмотрели правило нахождения производной от суммы двух функций. Это правило можно обобщить на сумму и разность от любого числа дифференцируемых функций.
Производная от суммы (разности) любого конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) их производных
. С учетом правила вынесения постоянной за знак производной , это правило можно записать так:
.
Или в развернутом виде:
(2)
.
Здесь - постоянные;
- дифференцируемые функции от переменной x
.
Доказательство следствия
При n = 2
,
применим правило (1) и правило вынесения постоянной за знак производной . Имеем:
.
При n = 3
применим формулу (1) для функций и :
.
Для произвольного числа n
применим метод индукции. Пусть уравнение (2) выполняется для .
Тода для имеем:
.
То есть из предположения, что уравнение (2) выполняется для следует, что уравнение (2) выполняется для .
А поскольку уравнение (2) выполняется для ,
то оно выполняется для всех .
Следствие доказано.
Примеры
Пример 1
Найдите производную
.
Решение
Раскрываем скобки. Для этого применим формулу
.
Также используем свойства степенных функций .
;
;
.
Применяем формулу (2) для производной от суммы и разности функций.
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
;
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
Пример 2
Найти производную от функции от переменной x
.
Решение
Приведем корни к степенным функциям .
.
Применяем правило дифференцирования суммы и разности.
.
Применяем формулы из таблицы производных .
;
;
;
;
;
.
Подставляем:
.
Приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы учли, что заданная функция определена при .
.
Ответ
Пример 3
Найти производную функции
.
Решение
Преобразуем функцию. Для этого применим свойства степенной функции и корней :
;
;
;
.
Находим производную, применяя правило (2):
.
Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы . Также оттуда нам потребуется Таблица производных , ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.
Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная . Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы , например, освоить труднее.
Советую следующий порядок изучения темы : во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции . Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная . Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной . Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций .
Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.
Собственно, сразу рассмотрим пример:
Пример 1
Найти производную функции
Решение: 
Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .
Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию . Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием .
Обозначения : Производную обозначают или .
ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!
Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть : правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:
производную константы:
, где – постоянное число;
производную степенной функции:
, в частности: , , .
Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.
В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования :
1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
Где – постоянное число (константа)
Пример 2
Найти производную функции
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
2) Производная суммы равна сумме производных
Пример 3
Найти производную функции
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Пример 4
Найти производную функции 
Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.
3) Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:
Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной . Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:
Пример 5
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.
Пример 6
Найти производную функции 
В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
Готово.
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что 
.
Пример 7
Найти производную функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
4) Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:
Пример 8
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной.
Теорема 10.1.
Пусть функцияu
=
φ
(x)
имеет в данной точкеx
0 производную.
Тогда функцияy
=c
∙u
имеет в точкеx
0 производную
.
Здесь c – произвольная постоянная.
x приращение ∆ x . Тогда
∆ y =y (x 0 +∆ x ) ─y (x 0) =c ∙ φ (x 0 +∆ x ) ─c ∙ φ (x 0) =c ∙[φ (x 0 +∆ x ) ─ φ (x 0)] =c ∙∆φ .
Теорема доказана.
Теорема 10.2. Пусть функцииu (x ) иv (x ) имеют в данной точкеx 0 производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функцииu (x ) +v (x ),u (x ) ─v (x ),
u
(x
)
∙v
(x
),
а также (еслиv
(x
0)≠0)
функция
,
причём (
,
,
.
Доказательство. Пусть f (x ) =u (x ) +v (x ). Тогда ∆ f =f (x 0 +∆ x ) ─f (x 0) =
= u (x 0 +∆ x ) ─u (x 0) +v (x 0 +∆ x ) ─v (x 0).
(x
0)
=
=
+
=
.
Таким образом,
.
Совершенно аналогично доказывается,
что
.
Пусть теперь f (x ) =u (x ) ∙v (x ). Тогда
∆ f =f (x 0 +∆ x ) ─f (x 0) =u (x 0 +∆ x ) ∙v (x 0 +∆ x ) ─u (x 0) ∙v (x 0).
Введём для удобства обозначения: ∆u = u (x 0 +∆ x ) ─u (x 0), ∆v =v (x 0 +∆ x ) ─v (x 0),
u = u (x 0),v = v (x 0). Тогдаu (x 0 +∆ x ) =u + ∆u ,v (x 0 +∆ x ) =v + ∆v ,
∆f = (u + ∆u ) ∙ (v + ∆v ) ─u ∙v = ∆u ∙ (v + ∆v ) +u ∙ ∆v .
Так как функция v (x ) дифференцируема (имеет производную) в точкеx 0 , то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→ 0 и ∆v → 0. Поэтому
=
∙v
+
u
∙
+
∙
∆v
=
Таким образом,
.
∆ f
=
─
=
(здесь обозначенияu
,v
, ∆u
,
∆v
имеют тот же смысл,
что и выше).
=
.
Так как
∆v
= 0, то
=
=
.
Таким образом,
.
Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной.
Пример 10.1. Найти производную функции .
Решение.
Пример 10.2. Найти производную функции
.
Решение.
.
Пример 10.3. Найти производную функции
.
Решение.
§ 11. Производная обратной функции.
Справедлива следующая теорема.
Пусть
функцияy
=
f
(x
)
строго монотонна (т.е. является либо
возрастающей, либо убывающей) и непрерывна
на интервале (a
;b
)
и в точке x 0 из этого интервала
имеет отличную от нуля производную
(x 0).
Тогда на множестве значений этой функции,
соответствующем интервалу (a
;b
),
определена непрерывная обратная функцияx
=φ
(y
),
которая в точкеy
0 =
f
(x
0
)
имеет производную
,
причём
.
Пример. Функция y
=
sin
x
удовлетворяет условиям последней
теоремы на интервале
и всюду на этом интервале имеет отличную
от нуля производную:
.
Поэтому на соответствующем интервале
значений этой функции (
)
определена и дифференцируема обратная
функция
x = arcsin y , причём.
Здесь перед корнем взят знак плюс, так
как на интервале
функция
положительна. Итак,
,
или, если аргументy
обозначить
через x
,
.
§ 12. Производная сложной функции.
Теорема 12.1
Пусть функция
u
=
φ
(x
)
имеет в некоторой точкеx
0
производную
,
а функция
имеет в соответствующей точке
производную
.
Тогда сложная функция
в точкеx
0
также имеет производную, равную
произведению производных функций
иφ
(x
):
Коротко это соотношение можно записать в виде .
Доказательство. Дадим аргументу x
приращение ∆ x
. Тогда функция
u
=
φ
(x
)
получит приращение ∆
u
,
а функция
получит приращение ∆
y
.
Так как функцииφ
(x
)
и
имеют производные, то есть дифференцируемы,
то,
а,
где
при
и
при
.
Подставим выражение для ∆u в выражение для ∆y :
Разделим это равенство на ∆x :
Если
,
то
и (как следует из выражения для ∆
u
)
.
Но тогда и
.
Поэтому
=
.
Теорема доказана.
Остановимся на одном частном случае
применения этой теоремы. Пусть
,
гдеC
– константа.
Тогда
,
.
Пусть, например,
.
Здесь
,
.
Введём обозначение
,
тогда
,.
Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции.
Пример 12.1. Найти производную функции
.
Решение. Введём промежуточную функцию
.
Тогда
.
Пример 12.2. Найти производную функции
.
Решение. Здесь
,
.
Пример 12.3. Найти производную функции
.
Решение. Здесь
,
.
Пример 12.4. Найти производную функции
.
Решение. Здесь
,
.
Пример 12.5. Найти производную функции
.
Решение.
(здесь подразумевается промежуточная
функция
).
Пример 12.6. Найти производную функции
.
Решение
Пример 12.7. Найти производную функции
.
Решение.
.
Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то есть если она содержит несколько промежуточных аргументов, то теорема о производной сложной функции применяется последовательно требуемое число раз. Пусть, например,
,
,
а
,
то есть
.
Тогда
.
То же самое можно записать иначе:
.
Пример 12.8. Найти производную функции
.
Решение. Здесь
,
,
тогда
.