Тема «Квадратный трехчлен и его корни» изучается в курсе алгебры 9 класса. как и любой другой урок математики, урок по этой теме требует иособых средств и методов обучения. Необходима наглядность. К таковой можно отнести данный видеоурок, который разработан специально для того, чтобы облегчить труд учителя.
Данный урок длится 6:36 минут. За это время автор успевает раскрыть тему полностью. Учителю останется только подобрать задания по теме, чтобы закрепить материал.
Урок начинается с демонстрации примеров многочленов с одной переменной. Затем на экране появляется определение корня многочлена. Это определение подкрепляется примером, где необходимо найти корни многочлена. Решив уравнение, автор получает корни многочлена.
Далее следует замечание, что к квадратным трехчленам относятся и такие многочлены второй степени, у которых второй, третий или оба коэффициента, кроме старшего, равны нулю. Эта информация подкрепляется примером, где свободный коэффициент равен нулю.
Затем автор поясняет, как найти корни квадратного трехчлена. Для этого необходимо решить квадратное уравнение. И проверить это автор предлагает на примере, где дан квадратный трехчлен. Нужно найти его корни. Решение строится на основе решения квадратного уравнения, полученного из данного квадратного трехчлена. Решение расписано на экране подробно, четко и понятно. По ходу решения данного примера автор вспоминает, как решается квадратное уравнение, записывает формулы, и получает результат. На экране записывается ответ.
Нахождение корней квадратного трехчлена автор объяснил на основе примера. Когда обучающиеся поймут суть, то можно переходить к более общим моментам, что автор и делает. Поэтому он далее обобщает все вышесказанное. Общими словами на математическом языке автор записывает правило нахождения корней квадратного трехчлена.
Далее следует замечание, что в некоторых задачах удобнее квадратный трехчлен записывать немного иначе. На экране дается эта запись. То есть получается, что из квадратного трехчлена можно выделить квадрат двучлена. Такое преобразование предлагается рассмотреть на примере. Решение данного примера приводится на экране. Как и в прошлом примере, решение строится подробно со всеми необходимыми пояснениями. Затем автор рассматривает задачу, где используется только что выданная информация. Это геометрическая задача на доказательство. В решении присутствует иллюстрация в виде чертежа. Решение задачи расписано подробно и понятно.
На этом урок завершается. Но учитель может подобрать по способностям обучающихся задания, которые будут соответствовать данной теме.
Данный видеоурок можно использовать в качестве объяснения нового материала на уроках алгебры. Он отлично подойдет для самостоятельной подготовки обучающихся к уроку.
Разработка урока по технологии одноуровневого цикла по теме:
« Квадратный трехчлен и его корни» в 9 классе по учебнику авторов Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. (автор разработки – Е.А.Бесхмельная)
Тема урока : «Квадратный трехчлен и его корни».
Цель урока : познакомить обучающихся с понятием квадратного трехчлена и его корней, совершенствовать их умения и навыки в решении заданий на выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.
Урок включает четыре основных этапа :
- Контроль знаний
- Объяснение нового материала
- Репродуктивное закрепление.
- Тренировочное закрепление.
- Рефлексия.
1 этап. Контроль знаний.
Учитель проводит математический диктант «под копирку» по материалу предыдущего цикла. Для диктанта используется карточки двух цветов: синего - для 1 варианта, красного –2 варианта.
Задания.
- Из данных аналитических моделей функций выберите только квадратичные.
Вариант 1. у=ах+4, у=45-4х, у=х²+4х-5, у=х³+х²-1.
Вариант 2. у=8х-в, у=13+2х, у= -х²+4х, у=-х³+4х²-1.
- Изобразите схематично квадратичные функции. Можно ли однозначно определить положение квадратичной функции на координатной плоскости. Ответ попытайтесь аргументировать.
- Решите квадратные уравнения.
Вариант 1. а) х² +11х-12=0
Б) х² +11х =0
Вариант 2. а) х² -9х+20=0
Б) х² -9 х =0
4. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни.
Вариант 1. А) х² + х +12=0
Вариант 2. А) х² + х - 12=0
Полученные ответы учитель проверяет у первых двух пар. Полученные неправильные ответы обсуждаются всем классом.
Ответы.
2 этап . Давайте составим кластер. Какие ассоциации у вас возникают при рассмотрении квадратного трехчлена?
Составление кластера.
? ?
Квадратный трехчлен
Возможные ответы:
- квадратный трехчлен используют для рассмотрения кв. функции;
- можно найти нули кв. функции
- по значению дискриминанта оценить количество корней.
- Описать реальные процессы и т.д.
Объяснение нового материала.
Параграф 2. п.3 стр.19-22.
Рассматриваются выражения, и дается определение квадратного трехчлена и корня многочлена (в ходе обсуждения ранее рассмотренных выражений)
- Формулируется определение корня многочлена.
- Формулируется определение квадратного трехчлена.
- Разбираются примеры решения трехчлена:
- Найти корни квадратного трехчлена.
3х²+4х-5=0
- Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена.
3х²-36х+140=0.
- Составляется схема ориентировочной основы действия.
Алгоритм выделения двучлена из квадратного трехчлена.
1.Опрелелить числовое значение старшего коэффициента квадратного трехчлена.
А≠1 а=1
2. Выполнить тождественные и 2. Преобразовать выражение,
Равносильные преобразования использовав формулы
(вынести общий множитель за скобки; квадрата суммы и разности.
преобразовать выражение, в скобках
Достроив его до формулы квадрата суммы
Или разности)
Вспомни!
А²+2ав+в²= (а+в)² а²-2ав+в²= (а-в)²
3 этап . Решение типовых заданий из учебника (№ 60 а,в; 61 а, 64 а,в) Делаются у доски и комментируются.
4 этап . Самостоятельная работа на 2варианта (№ 60а,б; 65 а,б). Учащиеся сверяются с образцами решения на доске.
Домашнее задание : П.3 (теорию выучить, № 56, 61г, 64 г)
Рефлексия . Учитель дает задание: оценить свои успехи на каждом этапе урока с помощью рисунка и сдать учителю. (задание выполняется на отдельных листах, образец выдается).
Образец: незнание
1 этап урока
2 этап урока
3 этап урока
4 этап урока
Используя, порядок расположения элементов на рисунке, определите на каком этапе урока ваше незнание преобладало. Выделите этот этап красным цветом.
Конструктор урока математики: МИКРОМОДУЛИ.
п\п | Разделы урока | Основные функциональные блоки-микромодули |
Начало урока | Математический диктант |
|
Устная работа. Актуализация опорных знаний. Постановка целей урока | Составление кластера |
|
Объяснение нового материала | Проблемный диалог (обсуждение результатов составления кластера) |
|
Закрепление, тренировка | Взаимоопрос |
|
Отработка умений и навыков | Комментированное решение задач |
|
Систематическое повторение | Показательный ответ |
|
Контроль | Работа с оперативной проверкой |
|
Домашнее задание | Обсуждаем домашнее задание |
|
Конец урока(рефлексия) | Опрос-итог |
Проект учебной ситуации
Общие данные | ||
Фамилия Имя Отчество | Бесхмельная Елена Александровна |
|
Учебный предмет | Математика |
|
Учебная тема (при выборе темы сделайте ссылку на № стр. документа «Фундаментальное ядро…») | Квадратный трехчлен и его корни |
|
Возраст учащихся (класс) | 9 класс |
|
Планируемые результаты изучения учебной темы (при описании/конкретизации планируемых результатов можно использовать формулировки умений качеств человека 21 века) | ||
|
||
Метапредметные |
|
|
Предметные |
|
|
Учебные ситуации, деятельность учащихся в рамках которых, приведет к достижению планируемых результатов | ||
(ниже напишите краткую аннотацию учебной ситуации) | (конкретизируйте планируемые результаты изучения темы для предложенной учебной ситуации) |
|
6.1. Начало урока: Ситуация 1. Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим знакомство с квадратным трехчленом. А чтобы наша работа была продуктивной, давайте вспомним все, что нам сегодня понадобиться. На каждом ряду лежат конверты с заданиями. Задания на повторение пройденного материала. | Личностные : продуктивная работа в паре; коммуникативные умения. Метапредметные : креативность и любознательность; способность анализировать и решать поставленную проблему Предметные: представление о квадратном трехчлене |
|
6.2. Ситуация 2. На основе полученных и озвученных обучающимися результатов своей работы, учитель и обучающиеся составляют кластер. В ходе этой работы учащиеся вспоминают все сведения о квадратном трехчлене. Далее учитель формулирует понятие квадратного трехчлена и его корней. Ситуация 3. Учащиеся совместно с учителем схема алгоритма выделения квадрата двучлена из кв. трехчлена. | Личностные: продуктивная работа в коллективе; коммуникативные умения; направленность на саморазвитие. Предметные: представление о квадратном трехчлене и его корнях; знание алгоритма нахождения корней кв. трехчлена и выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена; умение применять теоретические знания на практике. |
|
6.3. Учитель предлагает учащимся выполнить задания из учебника, используя составленную схему. | Личностные: коммуникативные умения; направленность на саморазвитие. Метапредметные: креативность и любознательность; способность анализировать и решать поставленную проблему; критическое и системное мышление Предметные: знание алгоритма; умение применять теоретические знания на практике |
|
Разработка одной из учебных ситуаций | ||
Название | Составление схемы-алгоритма для выделения квадрата двучлена из кв. двучлена |
|
Планируемые результаты обучения | Формирование у учащихся креативности и любознательности; способности анализировать и решать поставленную проблему. Развитие критического и системного мышления. Формирование умения анализировать полученные результаты и составлять схемы. |
|
Краткое описание ситуации | Учитель акцентирует внимание учащихся на свойствах старшего коэффициента кв. трехчлена напоминает о необходимости знания формул сокращенного умножения. Учащиеся анализируют полученные ответы и составляют схемы. |
|
Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов (воспользуйтесь помощью конструктора задач. Файл « Конструктор задач » находится в Портфеле кампуса) |
|
|
Действия учителя для создания условий достижения запланированных результатов (используйте глаголы действия : сделать, записать, использовать, организовать, спланировать, составить, предложить, подготовить, провести, раздать, попросить, разработать, обеспечить, создать возможность и т.д . Например: подготовить схему для…, предложить учащимся…., использовать фотоаппарат для… и т.п.) | 1. Подготовить карточки с заданиями. 2. Создать возможность для учащихся свободно обраться, обсуждая задание с участником своей группы. |
|
Критерии оценивания задания «Приведите описания своего (составленного ранее) алгоритма в виде блок-схемы» |
Алгоритм не содержит блоков | Алгоритм содержит один из обязательных блоков. | Алгоритм содержит все обязательные блоки. |
Элементы блок-схемы не соединены стрелками | Некоторые элементы блок-схемы соединены стрелками. | Все элементы схемы последовательно соединены стрелками. |
Дано описание выполнения каких -либо преобразований с квадратным трехчленом | Дано описание выполнения преобразований с квадратным трехчленом, без учета последовательности | Дано описание выполнения преобразований с квадратным трехчленом с учетом всех этапов. |
Блок-схема выполнена неаккуратно и не имеет вертикальное расположение. | Блок-схема выполнена неаккуратно, но имеет вертикальное расположение. | Блок-схема выполнена аккуратно и имеет вертикальное расположение. |
Личностные и метапредметные цели/планируемые результаты тщательно продумываются и прописываются в учебных программах, относящихся к изучению школьных предметов. При изучении учебных тем они могут быть конкретизированы и достигаться частично, либо в определенном контексте. Иными словами, достижение личностных и метапредметных результатов не может быть полностью и адекватно оценено при освоении только части учебной программы.
При конкретизации личностных и метапредметных результатов возможно использование следующих формулировок: нацелены на …, способствуют..., позволяют… и т.п. Также в рамках одной учебной темы для разных учебных ситуаций эти планируемые результаты, естественно, могут повторяться.
Разделы: Математика
Цель урока. Обобщить знания учащихся по применению трехчлена и решению различных задач.
Ход урока.
1. Оргмомент
2. Квадратный трехчлен.
а). Продолжите или дополните утверждение:
- Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax 2 +…, надо решить уравнение вида …
- Дискриминант квадратного уравнения находится по формуле D=…
1 o) Квадратным трехчленом называется многочлен вида …,где х – переменная, … – некоторые числа, причем a…
2) а Корни квадратного уравнения находятся по формуле х=…
3) Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значения этого трехчлена …
4) Если известны х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена, его можно разложить на множители по формуле …
б). С/р с элементами тестирования.
Ответ: да, нет, не знаю.
- D<0. Уравнение имеет 2 корня.
- Число 2 является корнем уравнения х 2 +3х-10=0.
- Существуют ли такие значения t, при которых квадратный трехчлен 4t 2 -11t+16 принимает значение, равное 10?
Ответ: а) не сущ.; б) да; x 1 =3/4, x 2 =2; в) да; t 1 =-2, t 2 =-3/4.
- D>0. Уравнение имеет 2 корня.
- Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 -х-12=0.
- Существуют ли такие значения х, при которых трехчлены 2х 2 -7х-54 и х 2 -8х-24 принимают равные значения.
Ответы на задания написаны на тыльной стороне доски.
в) Разложите на множители квадратный трехчлен:
- х 2 -6х-7;
- 3х 2 +11х-4;
- х 2 +7х-8;
- 3х 2 -4х-4.
г) Сократите дробь:
д) Выделите квадрат двучлена:
- х 2 -2х-3;
- х 2 +6х+7.
3. Квадратичная функция, ее график и свойства.
- Какая функция называется квадратичной? Как называется график функции?
- Как проходит график квадратичной функции, если a<0.
- Ветви параболы направлены вверх. Каким является число a?
- В одной системе координат изобразите схематически график
5 а) Принадлежат ли графику y=20x 2 B(0,5;5), y=-50x 2 A(-0,2; -2).
5) Параболу y=2x 2 сдвинули вниз на 4 ед. и вправо на 3 ед., а ветви направили вниз. Напишите уравнение полученной пораболы.
6)С/р с элементами тестирования.
а) Запишите координаты вершины:
б) Построить график функции
y=-x 2 -8x-14; y=x 2 -6x+8;
4. Неравенства с одной переменной.
1) Решите неравенство:
I. -5a 2 +6a+8<0
II. 4x 2 +x-3≥0
2) Решите методом интервалов:
- 2x 2 -18x>0
- x 2 -0,25≤0
- x(2x+9)(7-x)<0
3) Найдите области определения функции
.
Верно ли неравенство?
при x(-1; 2/5)
при x[-3; 1/2]
5. Решение уравнений и систем.
1) При каком значении а уравнение ax 2 +4x+4=0 не имеет корней?
2) Решите уравнение:
а) 2x 4 -19x 2 +12=0;
б) 
;
3) Изобразив схематически графики, выясните, сколько корней имеет уравнение
4) Решите систему уравнений наиболее рациональным способом.
2 Цели урока: Обобщение свойств квадратичной функции Установление связи с наиболее трудными вопросами теории (решение неравенств, уравнений, содержащих модуль, параметр) Показать примеры использования изученного материала в ходе решения заданий Проверить знания и умения с помощью теста
« Тропинка к истине сложна и потому в мышленье чистом отвага дерзкая нужна не менее, чем альпинистам». План 1 этап. История квадратных уравнений. 1 этап. История квадратных уравнений. 2 этап. Воспроизведение повторяемого материала. 2 этап. Воспроизведение повторяемого материала. 3 этап. Систематизация и обобщение ранее изученного. 3 этап. Систематизация и обобщение ранее изученного. 4 этап. Углубление и расширение знаний. 4 этап. Углубление и расширение знаний. 3
История квадратных уравнений Общий метод решения квадратных уравнений был открыт индийскими математиками. Так, в 12 веке н.э. индийский математик Бхаскара для общего уравнения ax 2 +bx+c=0 нашел решение в виде: X= Причем отрицательных корней он в расчет не принимал.
2 этап. Воспроизведение пройденного материала 1.Разложить на множители квадратный трехчлен: 2х 2 -х-1, получим: а) 2(х-0,5)(х+1); б) (х+0,5)(х-1); в) (2х+1)(х-1); г) (х-0,5)(х+1); д) (2х+1)(2х-2). 2. Обозначим через х 1 и х 2 соответственно больший и меньший корни уравнения 108х 2 -21х+1=0. Тогда х 1 -х 2 равно: е) 1/12; ж) 5/12; з) 1/36; и) 36; к) График функции у=-х 2 -4 расположен в координатных четвертях: о) 1 и 2; п) 2; р) 3 и 4; с) 1 и Вершина параболы у=-х 2 -4х+1 – это точка с координатами: к) (2;-5); л) (-4;1); н) (-2;5). 5. Решить неравенство: -х 2 +7х-120 о) (-;3] U р) (-;-4] U [-3;+) 8 ВЕРНО
3 этап. Систематизация и обобщение ранее изученного. 1. Найти координаты точек пересечения параболы у=5х 2 +10х+7 с осями координат и координаты вершины параболы. 3. Найти наибольшее значение выражения 3-(5+х) 2 4. Составить квадратное уравнение, корни которого вдвое больше корней уравнения х 2 +х+2=0 2. Вычислить значение выражения х 2 -36х+63 при х=37.
Ответы: Ось Ох не пересекает; ось Оу в точке (0;7). Координаты вершины (-1;2) Требуемого уравнения составить нельзя, так как исходное не имеет корней.
