Как найти радиус сферы. Площадь сферы

Задача

Решение .
Площадь сферы найдем по формуле:

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы (180-60) / 2 = 60 , то есть все углы равны).

Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть

Таким образом площадь сферы

S = 4π(√3/3 l) 2
S = 4/3πl 2

Ответ : площадь сферы равна 4/3πl 2 .

Задача

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?

Решение .
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π

Откуда площадь основания равна
S = πR 2
S = π (23/π) 2
S = 529 / π

Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr 2

Соответственно площадь полусферы
S = 4πr 2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058 / π

Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
1587 / π * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г

Задача

Решение. Рiшення .

	Для пояснения решения прокомментируем каждую из приведенных формул Воспользуемся формулой нахождения поверхности шара и запишем ее для первого шара, предположив, что его радиус равен R 1 Площадь поверхности второго шара запишем с помощью точно такой же формулы, предположив, что его радиус равен R 2 Найдем соотношение их площадей, разделив первое выражение на второе. Сократим полученную дробь. Нетрудно заметить, что соотношение площадей двух шаров равно соотношению квадратов их радиусов. По условию задачи это соотношение равно m/n Из полученного равенства найдем соотношение радиусов шаров путем извлечения квадратного корня. Полученное равенство запомним Воспользуемся формулой нахождения объема шара и запишем ее для первого шара с радиусом R 1 Объем второго шара запишем с помощью той же самой формулы, подставив в нее радиус R 2	Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з приведених формул Скористаємося формулою знаходження поверхні кулі і запишемо її для першої кулі, передбачивши, що його радіус рівний R 1 Площу поверхні другої кулі запишемо за допомогою точний такої ж формули, передбачивши, що його радіус рівний R 2 Знайдемо співвідношення їх площ, розділивши перше вираження на друге. Скоротимо отриманий дріб. Неважко відмітити, що співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. По умові завдання це співвідношення рівне m/n З отриманої рівності знайдемо співвідношення радіусів куль шляхом витягання квадратного кореня. Отриману рівність запам"ятаємо Скористаємося формулою знаходження об"єму кулі і запишемо її для першої кулі з радіусом R 1 Об"єм другої кулі запишемо за допомогою тієї ж самої формули, підставивши в неї радіус R 2
	8. Разделим объемы первого и второго шара друг на друга 9. Сократим получившуюся дробь. Заметим, что соотношение объема двух шаров равно соотношению кубов их радиусов. Учтем выражение, полученное нами ранее в формуле 4 и подставим его. Поскольку корень квадратный - это число в степени 1/2, преобразуем выражение 10. Раскроем скобки и запишем полученное соотношение в виде пропорции. Ответ получен .	8. Розділимо об"єми першої і другої кулі один на одного 9. Скоротимо дріб, що вийшов. Відмітимо, що співвідношення об"єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираження, отримане нами раніше у формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний - це число в мірі 1/2, перетворимо вираження 10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. Відповідь отримана .

Определение.

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 - m 2 ,

Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh

Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей .

§ 92. Площадь сферы и ее частей.

Теорема 1. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Сфера радиуса R может быть получена вращением вокруг оси Ох полуокружности, заданной уравнением

у = √R 2 - х 2 , х [- R; R ]

Тогда по формуле для площади поверхности вращения получаем

Аналогично выводится формула для площади сферического пояса, который получается вращением вокруг оси Ох дуги окружности (рис. 276) у = √R 2 - х 2 , х [a; b ].

Действительно,

Теорема 2. Площадь сферического пояса радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле

Формула (3) получается из формулы (2), так как Н = b - а .

Сферический сегмент можно получить вращением дуги окружности

у = √R 2 - х 2 , a < x < R

вокруг оси Ох . Следовательно, сферический сегмент есть частный случай сферического пояса (b = R).

Следствие. Площадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле (3).

3 а д а ч а. В сферу вписан куб с ребром а (рис. 277).

Найти площади:
а) сферы;
б) сферического пояса, отсекаемого плоскостями верхней и нижней граней куба;

а) Диагональ куба с ребром а равна √3 а . Следовательно, | АС 1 | = √3 а . С другой стороны, если R - радиус сферы, то | АС 1 | = 2R. Поэтому 2R = √3 а , т. е. R= √ 3 / 2 a .

По формуле (1) находим площадь S сферы: S = 4πR 2 = 4π 3 / 4 а 2 = 3π а 2 .

б) Высота сферического пояса в данном случае, очевидно, равна а . Положив в формуле (3) Н = а и R = √ 3 / 2 a , найдем площадь S 1 сферического пояса

S 1 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 а 2 = π√3 а 2 .

в) Высота сферического сегмента равна длине отрезка O 1 K. Вычислим ее:

| О 1 К| = |OK| - |OO 1 | = R- a / 2 = √ 3 / 2 a - a / 2 = √ 3 -1 / 2 a

Положив в формуле (3) Н = √ 3 -1 / 2 a и R= √ 3 / 2 a , найдем площадь S 2 сферического сегмента:

S 2 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 а √ 3 -1 / 2 a = π 3-√ 3 / 2 a 2

Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще

лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена - примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.

Лемма. Объем многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением

Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса и его периметр (рис. 17.6):

Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него граней Разобьем Р на пирамиды с общей вершиной в центре О и с гранями в основаниях (рис. 17.7).

Каждая такая грань лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды Поэтому ее объем будет:

где - площадь грани Сумма этих площадей дает площадь поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид - его объем Поэтому

Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:

Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник описанный вокруг сферы. Пусть - объем многогранника - площадь его поверхности, V - объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S - ее площадь.