Решение неравенств с параметром.
Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .
Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.
Пример 1.
Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение.
Для начала преобразуем исходное неравенство:
5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:
(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Пример 3.
Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:
{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.
Преобразуем к виду:
{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :
При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
При а = 0 x = -1.
При 0 < а ≤ 1 решений нет.
Графический метод решения неравенств
Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.
Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).
Пример 1.
Решить неравенство |x + 5| < bx.
Решение.
Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2)
. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.
На рисунке видно:
1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.
2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.
Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.
Пример 2.
Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).
Решение.
1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).
a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;
b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;
c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;
e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.
Пример 3.
Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.
Решение.
Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3)
и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.
Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.
При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.
Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решение неравенств с параметром.
Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .
Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.
Пример 1.
Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение.
Для начала преобразуем исходное неравенство:
5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:
(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Пример 3.
Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:
{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.
Преобразуем к виду:
{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :
При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
При а = 0 x = -1.
При 0 < а ≤ 1 решений нет.
Графический метод решения неравенств
Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.
Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).
Пример 1.
Решить неравенство |x + 5| < bx.
Решение.
Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2)
. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.
На рисунке видно:
1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.
2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.
Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.
Пример 2.
Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).
Решение.
1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).
a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;
b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;
c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;
e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.
Пример 3.
Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.
Решение.
Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3)
и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.
Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.
При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.
Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Предварительный просмотр:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОУ НПО профессиональное училище № 37
ПРОЕКТ:
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»
Выполнила –
Мацук Галина Николаевна,
Преподаватель математики ГОУ НПО
профессионального училища № 37 МО.
Г.Ногинск, 2011
1. Введение
4. Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами в общем виде.
7. Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
8.Заключение.
9.Литература.
- Введение.
Основная задача обучения математике в профессиональном училище заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.
Профилированное обучение математике осуществляется через решение задач прикладного характера, связанных с профессиями по металлообработке, электромонтажным работам, деревообработке. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля общения, проявляющегося в определенных умственных навыках. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов элементарной математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской работы.
Обучение задачам с параметрами требует от обучающихся больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд. Задачи с параметрами ориентированы для изучения во время обобщающего повторения на 2 курсе в период подготовки к итоговой государственной аттестации и на 3 курсе на дополнительных занятиях при подготовке обучающихся, изъявивших желание сдавать выпускные экзамены в форме ЕГЭ.
Основным направлением модернизации математического образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение ЕГЭ. В заданиях по математике в последние годы вводятся задачи с параметрами. Обязательны такие задания на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких задач очень актуально, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления абитуриента. Анализ предыдущих результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают к ним. Большинство либо вовсе не справляются с такими заданиями, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в проведении в выпускных группах при подготовке к экзаменам специальных тем по решению задач с параметрами и задач прикладного характера, связанных с профессиональной направленностью.
Изучение данных тем предназначено для обучающихся 3 курса, которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Решение таких задач вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.
В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Так как в учебном плане в профессиональных училищах предусмотрено проведение консультаций по математике, которые имеются в расписании учебных занятий, то для обучающихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью поступление в вуз, целесообразно использовать указанные часы для решения задач с параметрами для подготовки к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Особенно актуально решение таких задач для прикладного и практического характера, которое поможет при проведении различных исследований.
2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.
Цели проекта:
- Формирование умений и навыков по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.
- Формирование интереса к предмету, развитие математических способностей, подготовка к ЕГЭ.
- Расширение математических представлений о приемах и методах решения уравнений и неравенств.
- Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.
- Приобщение к творческой, исследовательской и познавательной деятельности.
- Обеспечение условий для самостоятельной творческой работы.
- Воспитание у обучающихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, активности, творческой инициативы, умений коллективно-познавательного труда.
Основные задачи проекта:
- Предоставить обучающимся возможность реализовать свой интерес к математике и индивидуальные возможности для его освоения.
- Способствовать усвоению фактических знаний и умений.
- Показать практическую значимость задач с параметрами в сфере прикладного исследования.
- Научить способам решения стандартных и нестандартных уравнений и неравенств.
- Углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого интереса к предмету.
- Выявить и развить математические способности обучающихся.
- Обеспечить подготовку к поступлению в вузы.
- Обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
- Организовать исследовательскую и проектную деятельность, способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.
Методы, используемые при проведении занятий:
- Лекция – для передачи теоретического материала, сопровождающаяся беседой с обучающимися.
- Семинары – для закрепления материла по обсуждению теории.
- Практикумы – для решения математических задач.
- Дискуссии – для аргументации вариантов своих решений.
- Различные формы групповой и индивидуальной деятельности.
- Исследовательская деятельность, которая организуется через: работу с дидактическим материалом, подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ.
- Лекции – презентации с использованием компьютера и проектора.
Используемые технологии:
- Лекционно-семинарская система обучения.
- Информационно-коммуникационные технологии.
- Исследовательский метод в обучении, направленный на развитие мыслительных способностей.
- Проблемное обучение, предусматривающую мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов проблемы.
- Технология деятельностного метода, помогающая вывить познавательные интересы обучающихся.
Требования к знаниям обучающихся.
В результате изучения различных способов решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами обучающиеся должны приобрести умения:
- Прочно усвоить понятие параметра в квадратном уравнении и квадратном неравенстве;
- Уметь решать квадратные уравнения с параметрами.
- Уметь решать квадратные неравенства с параметрами.
- Находить корни квадратичной функции.
- Строить графики квадратичных функций.
- Исследовать квадратичный трехчлен.
- Применять рациональные приемы тождественных преобразований.
- Использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.
- Уметь применять полученные знания при работе на персональном компьютере.
Формы контроля.
- Уроки – самооценки и оценки товарищей.
- Презентация учебных проектов.
- Тестирование.
- Рейтинг – таблица.
- Домашние задачи из сборников по ЕГЭ прошлых лет.
- Контрольные работы.
3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.
Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего при решении уравнений и неравенств с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения и неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, сократить, вынести множитель за скобки и т.д. Встречаются задачи, которые можно разделить на два больших класса.
В первый класс можно отнести примеры, в которых надо решить уравнение или неравенство при всех возможных значениях параметра.
Ко второму классу отнесем примеры, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Класс таких задач неисчерпаем.
Наиболее понятный для обучающихся способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в обычной плоскости (х,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а «а» – параметр. Это прежде всего возможно в задаче, где приходится строить знакомые элементарные графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения.
При решении уравнений f (х,а) = 0 и неравенств f (х,а) › 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f (х,а), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х 2 + В(а) х + С(а) = 0 при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.
Вспомним основные формулы для работы с квадратными уравнениями.
Уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х R – неизвестные, а, в, с – выражения, зависящие только от параметров, причем а ≠ 0, называется квадратным уравнением, а D = b 2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D
Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня
х 1 = , х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) (х – х 2 ).
Эти корни через коэффициенты уравнения связаны формулами Виета
Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х 1 = х 2 = , и тогда ах 2 + вх + с = а (х – х 1 ) 2 . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.
Когда , т.е. = 2к, корни квадратного уравнения определяются по формуле х 1,2 = ,
Для решения приведенного квадратного уравнения х 2 + pх + q = 0
Используется формула х 1,2 = - , а также формулы Виета
Примеры. Решить уравнения:
Пример 1. + =
Решение:
При а ≠ - 1, х ≠ 2 получаем х 2 + 2ах – 3в + 4 = 0 и корни
х 1 = - а - , х 2 = -а + , существующие при
А 2 + 2а – 4 0, т.е. при
Теперь проверим, нет ли таких а, при которых либо х 1 , либо х 2 равен 2. Подставим в квадратное уравнение х = 2, при этом получим а = - 8.
Второй корень в таком случае равен (по теореме Виета) и при а = - 8 равен 14.
Ответ: при а = - 8 единственное решение х = 14;
Если а (- ∞; - 8) (- 8; - 4) (1; + ∞) – два корня х 1 и х 2 ;
Если а = - единственное решение х = соответственно;
Если а (- 4; 1), то х .
Иногда уравнения с дробными членами приводятся к квадратным. Рассмотрим следующее уравнение.
Пример 2. - =
Решение: При а = 0 оно не имеет смысла, значение х должно удовлетворять условиям: х -1, х -2. Умножив все члены уравнения на а (х + 1) (х +2) 0,
Получим х 2 – 2(а – 1)х + а 2 – 2а – 3 = 0, равносильное данному. Его корни:
х 1 = а + 1, х 2 = - 3. Выделим из этих корней посторонние, т.е. те, которые равны – 1 и – 2:
Х 1 = а + 1 = - 1, а = - 2, но при а = - 2 х 2 = - 5;
Х 1 = а + 1 = - 2, а = - 3, но при а = - 3 х 2 = - 6;
Х 2 = а - 3 = - 1, а = 2, но при а = 2 х 1 = 3;
Х 2 = а - 3 = - 2, а = 1, но при а = 1 х 1 = 2.
Ответ: при а ≠ 0, а ≠ 2, а ≠ - 3, а ≠ 1 х 1 = а + 1, х 2 = а – 3;
При а = - 2 х = - 5; при а = - 3 х = - 6.
4.Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, нужно найти значение параметра при котором корни: положительны, отрицательны, имеют разные знаки, больше или меньше какого-либо числа и т.д. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Если D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с
Если D = 0, а > 0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которого противоположен знаку коэффициента в.
Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а
- Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.
- Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента в, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.
- Если в квадратном уравнении коэффициенты а и с имеют разные знаки, то оно имеет действительные корни.
- Если а > 0 и D = 0, то левая часть квадратного уравнения – есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то а > 0 и D = 0.
- Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает полный квадрат, то корни уравнения рациональны.
- Если рассматривается расположение корней относительно нуля, то применяем теорему Виета.
Отбор корней квадратного трехчлена по условиям и расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой.
Пусть f (х) = ах 2 + вх + с, а 0, корни х 1 ˂ х 2 , ˂ .
Расположение корней на числовой прямой. | Необходимое и достаточное условие. |
|
х 1 , х 2 | а f ( ) > 0, D 0, х 0 |
|
х 1 , х 2 > | а f ( ) > 0, D 0, х 0 > |
|
х 1 2 | а f ( ) |
|
1 ,х 2 . | а f ( ) > 0, D 0, а f ( ) > 0 0 . |
|
1 2 | а f ( ) > 0, а f ( ) |
|
х 1 2 | а f ( ) ) > 0 |
|
х 1 2 | а f ( ) ) |
Пример 3. Установить, при каких значениях а уравнение
х 2 – 2 (а – 1) х + 2а + 1 = 0
- не имеет корней:
необходимое и достаточное условие D
D = (а – 1) 2 – 2а – 1 = а 2 – 4а
- имеет корни:
D 0, D = (а – 1) 2 – 2а – 1 0, а
- имеет один корень:
- имеет два корня:
D > 0, т.е. а
- имеет положительные корни:
2(а – 1) > 0 а 4
Если вопрос будет «имеет два положительных корня», то в системе следует заменить D > 0;
- имеет отрицательные корни:
2(а – 1)
- имеет корни разного знака, т.е. один положительный, а другой отрицательный:
а ;
Условие
использовать не обязательно, достаточно х
1
х
2
- имеет один из корней, равный 0:
необходимое достаточное условие – равенство нулю свободного члена уравнения, т.е. 2а + 1 = 0, а = -1/2.
Знак второго корня определяется или подстановкой в исходное уравнение а = -1/2, или, проще, по теореме Виета х 1 + х 2 = 2 (а – 1), и после подстановки а = -1/2 получаем х 2 = - 3, т.е. при а = -1/2 два корня: х 1 = 0, х 2 = - 3.
Пример 4 . При каких значениях параметра а уравнение
(а – 2) х 2 – 4ах +3 -2а = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству х
Решение.
Дискриминант 2 – (а – 2)(3 – 2а)
4а 2 – 3а + 6 + 2а 2 – 4а = 6а 2 – 7а + 6
Так как 49 – 144 = - 95 и первый коэффициент 6 то 6а 2 – 7а + 6 при всех х R.
Тогда х 1,2 = .
По условию задачи х 2, тогда получим неравенство
Имеем:
верно при всех а R.
6а 2 – 7а + 6 6а 2 – 7а - 10 2
А 1,2 = 1/12 (7 17), а 1 = 2, а 2 = - 5/6.
Следовательно, -5/6
Ответ: -
5. Параметр как равноправная переменная.
Во всех разобранных задачах параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f (х; а) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует еще один тип (а точнее метод решения, определяющий этот тип) задач с параметрами. Покажем аналитическое решение такого типа.
Пример 5. На плоскости ху укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства у = х 2 – 4рх + 2р 2 – 3, где р – параметр.
Решение: Если (х 0 ;у 0 ) – точка, через которую не проходит ни одна из кривых заданного семейства, то координаты этой точки не удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, задача свелась к тому, чтобы найти зависимость между х и у, при которой данное в условии уравнение не имело бы решений. Нужную зависимость несложно получить, сосредоточив внимание не на переменных х и у, а на параметре р. В этом случае возникает продуктивная идея: рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно р. Имеем
2р 2 – 4рх+ х 2 – у – 3 = 0. Дискриминант = 8х 2 + 8у + 24 должен быть отрицательным. Отсюда получаем у ˂ - х 2 – 3, следовательно, искомое множество – это все точки координатной плоскости, лежащие «под» параболой у = - х 2 – 3.
Ответ : у 2 – 3
6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами
В общем виде.
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
Допустимыми являются те значения параметров, при которых а,в,с – действительны. Квадратные неравенства удобно решать либо аналитическим способом, либо графическим. Так как графиком квадратичной функции является парабола, то при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а
Различное положение параболы f (х) = ах 2 + вх + с, а 0 при а > 0 показано на рис.1
А) в) с)
а) Если f (х) > 0 и D R;
б) Если f (х) > 0 и D = 0, то х ;
в) Если f (х) > 0 и D > 0, то х (- ; х 1 ) (х 2 ; + ).
Аналогично рассматриваются положения параболы при а
Например, один из трех случаев, когда
при а 0 и f (х) > 0 х (х 1 ; х 2 );
при а 0 и f (х) (- ; х 1 ) (х 2 ; + ).
В качестве примера рассмотрим решение неравенства.
Пример 6. Решить неравенство х 2 + 2х + а > 0.
Пусть D – дискриминант трехчлена х 2 + 2х + а > 0. При D = 0, при а = 1, неравенство примет вид:
(х + 1) 2 > 0
Оно верно при любых действительных значениях х, кроме х = - 1.
При D > 0, т.е. при х , трехчлен х 2 + 2х + а имеет два корня: - 1 – и
1 + и решением неравенства служит промежуток
(- ; - 1 – ) (- 1 + ; + )
Это неравенство легко решить графически. Для этого представим его в виде
Х 2 + 2х > - а
и построим график функции у = х 2 + 2х
Абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у = - а и являются корнями уравнения х 2 + 2х = - а.
Ответ:
при –а > - 1, т.е. при а , х (- ; х 1 ) (х 2 ;+ );
при – а = - 1, т.е. при а = 1, х – любое действительное число, кроме - 1;
при – а , т.е при а > 1, х – любое действительное число.
Пример 7 . Решить неравенство сх 2 – 2 (с – 1)х + (с + 2)
При с = 0 оно принимает вид: 2х + 2 решением будет х
Введем обозначение f (х) = сх 2 – 2 (с – 1)х + (с + 2) где с ≠ 0.
В этом случае неравенство f (х)
Пусть и D – дискриминант f (х). 0,25 D = 1 – 4с.
Если D > 0, т.е. если с > 0,25, то знак f (х) совпадает со знаком с при любых действительных значениях х, т.е. f (х) > 0 при любых х R, значит, при с > 0,25 неравенство f (х)
Если D = 0, т.е. с = 0,25, то f (х) = (0,25 х + 1,5) 2 , т.е. f (х) 0 при любом
Х R. Следовательно, при с = 0,25 неравенство f (х)
Рассмотрим случай D 0). f (х) = 0 при двух действительных значениях х:
х 1 = (с – 1 – ) и х 2 = (с – 1 + ).
Здесь могут представиться два случая:
Решить неравенство f (х)
f (х) совпадает со знаком с. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что – , т.е. с – 1 – ˂ с – 1 + ,но так как с (с – 1 – ) (с – 1 + ) и поэтому решением неравенства будет:
(- ; (с – 1 – )) ( (с – 1 + ); + ).
Теперь для решения неравенства достаточно указать те значения с, при которых знак f (х) противоположен знаку с. Так как при 0 1 2 , то х (х 1 ; х 2 ).
Ответ: при с = 0 х R;
При с (- ; х 2 ) (х 1 ; + );
При 0 (х 1 ; х 2 );
При с 0,25 решений нет.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах решения и квадратных неравенств. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом возникает координатная плоскость (х; а). Такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из самых эффективнейших методов решения задач с параметрами.
Удобно, когда в задаче фигурирует один параметр а и одна переменная х. Сам процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.
Отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – «метод областей»
- Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.
Рассмотрим аналитическое решение квадратного неравенства с параметрами, результаты решения которого рассматриваются на числовой прямой.
Пример 8.
Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство
(2-х)а 2 +(х 2 -2х+3)а-3х≥0
выполняется для любого значения а, принадлежащего промежутку [-3;0].
Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:
(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х=ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =
Ах (х - а)-2а(х - а)- 3(х-а) = (x - а)(аx- 2а - 3).
Данное неравенство примет вид: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.
Если а = 0, получаем - Зх ≥ 0 x ≤ 0.
Если а ≠ 0, то -3 а
Так как а 0, то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.
Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие - 3 ≤ а
3 ≤a
A = -1.
Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:
Получим, что только х = -1 является решением данного неравенства при любом значении параметра а .
Ответ: -1
- Заключение.
Почему мной был выбран проект по теме «Разработка методических рекомендаций решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»? Так как при решении любых тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, неравенств, систем мы чаще всего приходим к рассмотрению иногда линейных, а чаще всего квадратных уравнений и неравенств. При решении сложнейших задач с параметрами большинство заданий сводится с помощью равносильных преобразований к выбору решений типа: а (х – а) (х – с) > 0 (
Мы рассмотрели теоретические основы для решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Вспомнили необходимые формулы и преобразования, рассмотрели различные расположения графиков квадратичной функции в зависимости от значения дискриминанта, от знака при старшем коэффициенте, от расположения корней, вершины параболы. Выявили схему решения и выбора результатов, составили таблицу.
В проекте показаны аналитические и графические методы решения квадратных уравнений и неравенств. Обучающимся в профессиональном училище необходимо зрительное восприятие материала для лучшего усвоения материала. Показано, как можно поменять переменную х и принять параметр как равноправную величину.
Для наглядного усвоения данной темы рассмотрено решение 8 задач с параметрами, по 1 – 2 для каждого раздела. В примере № 1 рассмотрено количество решений при различных значениях параметра, в примере № 3 проводится разбор решения квадратного уравнения при самых различных начальных условиях. Для решения квадратных неравенств сделана графическая иллюстрация. В примере № 5 применяется метод замены параметра как равноправной величины. В проект включено рассмотрение примера № 8 из заданий, включенных в раздел С, для интенсивной подготовки к сдаче ЕГЭ.
Для качественной подготовки обучающихся решению задач с параметрами рекомендуется в полном объеме использовать мультимедийные технологии, а именно: использовать для лекций презентации, электронные учебники и книги, собственные разработки из медиатеки. Очень эффективны бинарные уроки математика + информатика. Незаменимым помощником преподавателю и учащемуся является Интернет. В презентации необходимы импортированные объекты из существующих образовательных ресурсов. Наиболее удобным и приемлемым в работе является ЦОР «Использование Microsoft Office в школе».
Разработка методических рекомендаций по данной тематике облегчит работу молодых преподавателей, пришедших работать в училище, пополнит портфолио преподавателя, послужит образцом для специальных предметов, образцы решений помогут обучающимся справиться со сложными заданиями.
- Литература.
1.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.
2.Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9-11 классы. «Феникс», Ростов-на Дону, 2010.
3.Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., «Просвещение», 1986.
4.Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. М. «АЙРИС – пресс», 2005.
5.Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2004.
6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн.1, М., 2009.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области
« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»
учебное пособие
Клявлино
Учебное пособие
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Авторы
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Введение……………………………………………………………3-4
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18
Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20
Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28
Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
§ 1. Линейные уравнения и неравенства.
Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
b = 0 является особым значением параметра b .
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(; +), если a > 0 , и (-;) , если а < 0 . Аналогично для неравенства
ах < b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а < 0.
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение : Это линейное уравнение.
Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.
Ответ : при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.
Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:
а= -3 и а ¹ -3.
Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а - 2) х = а 2 – 4а +4
2(а - 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а
¹
2 х =
.
По условию х > 1
, то есть
>1, а > 4.
Ответ: При а {2} U (4;∞).
Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.
Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах – 1.
y =| х | ,
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1 - один корень
при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.
Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2
Решение
:
ах + 4 > 2х + а
2
(а – 2) х >
а
2
– 4. Рассмотрим три случая.
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,
а, b , с – параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1
)
дискриминанта квадратного уравнения:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ас)
2)
формул корней квадратного уравнения:
х
1
=
, х
2
=
,
(х
1,2 =
)
Квадратными называются неравенства вида
a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)
a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .
Если квадратный трехчлен имеет корни (х
1
< х
2
), то при а > 0 он положителен на множестве
(-;
х
2
)
(х
2;
+)
и отрицателен на интервале
(х
1
; х
2
). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1
; х
2
) и отрицателен при всех х (-;
х
1
)
(х
2;
+).
Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .
Это квадратное уравнение
Решение : Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если
а ≠ - 1
, то
D
>0
. По формуле корней получим:
х=
;
х 1 =2, х 2 = -.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y = х²-2х-8 - графиком является парабола;
y =а - семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
откуда следует, что
a
> 6
.
Ответ. a > 6
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1.
Решить уравнение
= 0
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х – а = 0, х = а.
Ответ: При а ≠ - 2, х=а
При а = -2 корней нет.
Пример 2
.
Решить уравнение
-
=
(1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х 1 = а + 1, х 2 = а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.
Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х 1 -
Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,
х 2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида
=g
(x
) равносильно системе
Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x)
≥g(x)
Пример 1.
Решите уравнение
= х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение:
По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.
При
а≠ 2 х=
.
Выясним, при каких значениях
а
найденное значение
х
удовлетворяет неравенству
х ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ:
При
а≤, а > 2 х=
,
при
< а ≤ 2
уравнение решений не имеет.
Пример 2.
Решить уравнение
= а
(приложение 4)
Решение.
y
=
y = а – семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ : при а<0 –решений нет;
при а ≥ 0 – одно решение.
Пример 3
. Решим неравенство
(а+1)
<1.
Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то
(а+1)
<1.
<
откуда
х (2-
2
Ответ.
х (- ;2 при а (-;-1,
х (2-
2
при а (-1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a
x= (-1)
n
arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.
tg x = a
x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1.
sin x > a
arcsin a + 2 πn
Z,
при a <-1, xR ; при a ≥ 1, решений нет.
2. . sin x < a
π - arcsin a + 2 πnZ,
при а≤-1, решений нет; при а >1, xR
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
при а<-1, xR ; при a ≥ 1 , решений нет.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при а≤-1 , решений нет; при a > 1, x R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6. tg x < a, -π/2 + πn Z
Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.
Уравнение
cosx
= 5-
а
имеет решения при условии -1≤ 5-
а
≤1
4≤
а
≤ 6, а уравнение
cosx
= -
а-1
при условии -1≤ -1-
а
≤ 1
-2 ≤
а
≤0.
Ответ.
а
-2; 0
4; 6
Пример 2.
При каких
b
найдется а такое, что неравенство
+
b
> 0 выполняется при всех х ≠
πn
,
n
Z
.
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.
Ответ. b> 0
§ 6. Показательные уравнения и неравенства
1. Уравнение
h
(x
)
f
( x
)
=
h
(x
)
g
( x
)
при
h
(x
) > 0 равносильно совокупности двух систем
и
2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
и
3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению
f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида
f
(a
x
) > 0 при помощи замены переменной
t
=
a
x
сводится к решению системы неравенств
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.
Пример 1
.
При каких
а
уравнение 8
х
=
имеет только положительные корни?
Решение.
По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0
8
х
>1
>1
>0, откуда
a
(1,5;4).
Ответ. a (1,5;4).
Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a
Решение . Рассмотрим три случая:
1. а< 0 . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR .
2. a =0. Решений нет.
3.
а
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > - log
2
a
Ответ. хR при а > 0; решений нет при a =0; х (- log 2 a ; +) при а> 0 .
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.
1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе
В частности, если а >0, а ≠1, то
log
a
g (x)= log
a
h(x)
2.
Уравнение
log
a
g (x)=b
g (x)=
a
b
(
а
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Неравенство
log
f
( x
)
g
(x
) ≤
log
f
( x
)
h
(x
) равносильно совокупности двух систем:
и
Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log
a
f (x) ≤ b
log
a
f (x) > b
Пример 1.
Решите уравнение
Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение
logх – 2 = 4 –
log
a
x
logх +
log
a
x
– 6 = 0, откуда
log
a
x
= - 3
х =
а
-3
и
log
a
x
= 2
х =
а
2
. Условие х =
а
4
а
– 3
=
а
4
или
а
2
=
а
4
не выполняется на ОДЗ.
Ответ:
х =
а
-3
, х =
а
2
при
а
(0; 1)
(1; ).
Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение
2
log -
+
a
= 0 имеет решения.
Решение.
Выполним замену
=
t
и получим квадратное уравнение 2
t
2
–
t
+
a
= 0. Решая, найдем
D
= 1-8
a
. Рассмотрим
D
≥0, 1-8
а
≥0
а
≤.
При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.
Ответ. а =
Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3
Решение.
Решим систему неравенств
Корни квадратных трехчленов х
1,2
= 1 ±
и х
3,4
= 1 ±
.
Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.
Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х
1
Х
2
= Х – решение исходного неравенства.
При 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 -
)
(1 +
; +), при
а
> 1 Х
1
= (-;+).
При 0 <
a
< 9 Х
2
= (1 -
; 1 +
), при
а
≥9 Х
2
– решений нет.
Рассмотрим три случая:
1. 0<
a
≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -
;1 +
).
3. a ≥ 9 Х – решений нет.
Задачи ЕГЭ
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение
р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р
∙ (
- 1) + 2sinx
+ p
= 3, sinx
=t
, t
, t
0.
- p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .
Пусть
f
(y
) = 3
t
2
– 2
t
3
. Найдем множество значений функции
f
(x
) на
. у
/
= 6
t
– 6
t
2
, 6
t
- 6
t
2
= 0,
t
1
=0,
t
2
= 1.
f
(-1) = 5,
f
(1) = 1.
При
t
,
E
(f
) =
,
При
t
,
E
(f
) =
, то есть при
t
,
E
(f
) =
.
Чтобы уравнение 3
t
2
– 2
t
3
=
p
(следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно
p
E
(f
), то есть
p
.
Ответ.
.
Пример 2.
При каких значениях параметра
а
уравнение
log
(4
x
2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
Найдем а .
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Проверка.
1)
a
1
= 1. Тогда уравнение имеет вид:
log
(4
x
2
+4) =2. Решаем его
4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.
2)
a
2
= 3. Уравнение имеет вид:
log
(4
x
2
+4) =2
х = 0 – единственный корень.
Ответ. 1; 3
Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.
Решение.
Пусть х
1,
х
2
– целые корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х
1
+ х
2
=
р
+ 3, х
1
∙ х
2
= 1. Произведение двух целых чисел х
1
, х
2
может равняться единице только в двух случаях: х
1
= х
2
= 1 или х
1
= х
2
= - 1. Если х
1
= х
2
= 1, то
р
+ 3 = 1+1 = 2
р
= - 1; если х
1
= х
2
= - 1, то
р
+ 3 = - 1 – 1 = - 2
р
= - 5. Проверим являются ли корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая
р
= - 1, х
1
= х
2
= 1 имеем
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.
Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.
Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции
у
= (а
-
а
).
Серия «Учимся решать задачи с параметром»
IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
IV.1. Основные понятия
Определение . Функцию вида (1), где , , – данные функции от параметра а , рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а .
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
.
7. .
8. .
9. .
10. .
Определение . Подобластью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х ; а ), при каждой из которых выражение не теряет смысла.
Установим области определения функций 1-10.
1. 2.
3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:
;
;
;
;
;
;
,
где k , b , c – действительные числа.
Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.
Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром , мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.
Определение . а называется уравнение вида (1) где , , – данные функции от параметра а , рассматриваемые на пересечении их областей определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
, (1)
,
(2)
, (3)
, (4)
. (5)
Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.
Определение . Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где – квадратичная функция с параметром а .
Если , то
уравнение (1) является квадратным в традиционном
смысле, т.е. второй степени.
Если же , то
уравнение (1) становится линейным.
При всех допустимых значениях параметра а , при которых и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.
Те значения а
, при которых , следует рассматривать
отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при примет вид , откуда .
IV.2. Квадратные уравнения с параметром
№1. Решите уравнение .
– уравнение-следствие. Получим: , .
В системе координат (аОх ) завершаем решение. (Рис. 1)
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то , .
№2. Найдите значение параметра а , при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.
Данное уравнение сводится к равносильной системе:
Приведём её к виду: и решим графически в системе координат (хОа ). (Рис. 2).
Уравнение имеет единственный корень при , и .
№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а , не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение не равно выражению . (ЕГЭ-2007).
Переформулируем задачу: «Найдите все значения х
такие, что при любом значении параметра уравнение не имеет корней».
Выразим а
через х
:
1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение
имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся
системой координат (хОа
). (Рис. 3).
Условию удовлетворяют .
№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?
Раскроем модуль:
В системе координат (хОу ) построим график функции
и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).
Ответ: 1. Если , то корней нет.
2. Если , то один корень.
3. Если , то два корня.
IV.3. Квадратные неравенства с параметром
№5. Решите неравенство .
1 способ .
Учтём, что . Тогда - решение данного неравенства при любом b. (Рис. 5).
Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx ). (Рис. 6).
Совместим рис. 5 и 6.
А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.
Ответ: 1. Если ,
то .
2. Если , то .
3. Если , то
2 способ .
Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb ):
. (Рис. 8).
Рассмотрим два случая.
1) . Тогда
неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .
График функции и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.
1. Если , то .
2. Если , то . 3. Если , то .
3 способ .
Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу ). Для этого раскроем модуль:
Рассмотрим функцию .
Корни квадратного трёхчлена .
Сравним и .
1) , откуда .
Получаем совокупность . (Рис. 9)
2) , откуда . (Рис. 10).
Тогда т.е. .
3) , откуда . (Рис. 11).
Тогда т.е. .
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то .
№6. Найдите все значения параметра а , для которых наименьшее значение функции больше 2.
Достаточно найти все значения параметра а , для каждого из которых для любого верно неравенство . Перепишем неравенство в виде ., ;