Матричный анализ. Матричный анализ учебного плана Анализ матричных систем

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

1. Определение функции.

Df. Пусть

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен:

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Условимся m чисел для f(x) таких

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е.

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

2. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

Сделаем замену в равенстве:

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

1. Определение функции.

Df. Пусть функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) многочлен: , тогда.

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение, собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда, т.е. (3), .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать.

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) (3) (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при.

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре.

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n 0 n кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

, r(0)=f(0), r (0)=f (0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) .

1. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а, то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

Посчитаем. Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на, получим:

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица и собственные значения матрицы А, f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны.

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что, а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны.

ЧТД.

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, т.е. , и f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), .

ЧТД.

Свойство № 4. Если А блочно-диагональная матрица, то

Следствие: Если, то, где f(x) функция, определенная на спектре матрицы А.

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана. Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):

Пусть f(x) функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут. Надо построить.

Построим:

Обратим внимание, что.

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при.

Если в (**) положить, получим:

Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

Пример: Найти f(A), если , где t некоторый параметр,

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d 2 (x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

.

Умножим (*) на :

Вычислим, взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А f(1), f (1), f(2), f (2), f (2) определены.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f (1)=1

f(2)=ln 2 f (2)=0.5 f (2)=-0.25

4. Простые матрицы.

Пусть матрица, так как С алгебраически замкнутое поле, то ха

УДК 681.51.011

МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ

© 2006 А.В. Волгин1, Г.Е. Белашевский2

ООО «Самара - АвиаГаз»

Самарский государственный аэрокосмический университет

В работе анализируются различные способы применения матриц в управлении предприятием. Отношение (связь) между элементами двух и более множеств может быть представлена в матричной форме. Композиция отношений позволяет упростить анализ связей между элементами множеств. Приведен пример использования матриц приоритетов в системе управления предприятием.

Матрицы, как инструмент анализа, уже давно применяются в системе управления предприятия. Достаточно назвать такие инструменты качества как матричные диаграммы, матрицы приоритетов, матричный анализ в Развертывании Функции Качества .

1. Применение матриц в управлении обусловлено тем, что практически любое предприятие характеризуется большим набором объектов (различное оборудование, подразделения, поставщики, потребители), и связи между ними трудно описать зависимостями типа у = f (х) . Реальные связи многомерны и неявны. Матрицы же позволяют в достаточно наглядной форме идентифицировать такие связи и проводить их анализ. В задаче формирования производственной структуры предприятия может быть использована матрица взаимосвязей групп деталей В = ], где ^ - численность об-

щего оборудования, применяемого при обработке 1 - ой и ] - ой деталей, в маркетинговых исследованиях используется матрица технического уровня и = \и^], где

и у - технический уровень 1 - ого предприятия на ] - ом рынке и матрица цен .

С позиций математики задание матрицы может интерпретироваться как задание отношения (связи) между объектами двух множеств. Элемент матрицы в этом случае может означать как связь объектов (типа «да» или «нет»), так и силу связи, выраженную числом. В случае трех и более множеств можно строить многомерные отношения и, соответственно, многомерные матрицы. Однако при таком подходе теряется наглядность и простота интерпретации. Сложность анализа многомерных отноше-

ний можно преодолеть с помощью композиции отношений .

2. Допустим, что предприятие имеет поставщиков Пь П2,...П5, которые поставляют материалы (детали, узлы, комплектующие) Мі, М2, М3. Из этих материалов предприятие изготавливает изделия Иь И2,...И, для заказчиков (потребителей) Зі, З2,...З5. Для указанных множеств можно составить матрицы связей. Пусть, например, установлены связи между поставщиками и материалами, которые они поставляют (таблица 1), изделиями и необходимыми материалами (таблица 2), заказчиками и изделиями (таблица 3). Знаком « х » обозначена связь объектов двух множеств.

Таблица 1. Матрица связей между поставщиками

и поставляемыми материалами (П М)

ПМ Пі П2 Пз П4 П5

Таблица 2. Матрица связей между изделиями и материалами (ИМ)

ИМ Мі М2 Мз

Таблица 3. Матрица связей между заказчиками и изделиями (ЗИ)

ЗИ Иі И2 Из Из

Используя композицию отношений, заданных матрицами ПМ, ИМ и ЗИ, нетрудно составить матрицу отношения ПЗ. Матрица ПЗ (таблица 4) показывает связи, устанавливаемые предприятием, между поставщиками П и заказчиками З^ Так, например, взаимодействие заказчика З3 с предприятием происходит по изделию И3, для которого необходимы материалы М! и М3, поставляемые Пь П3 и П5.

Таблица 4. Матрица связей между поставщика-

Подробное расписывание технологических процессов (продуктовых линий) с помощью матриц связей упрощает определение добавленной ценности для заказчика, прибыли предприятия и его потерь.

3. Построение системы менеджмента качества предприятия связано с выделением сети процессов. Распределение процессов по подразделениям предприятия, выполнение требований стандарта, например, ИСО 9001 -2000 может проводиться с помощью матриц. Допустим, выделены процессы: заключение контрактов, управление документацией СМК, внутренний аудит, закупки, изготовление, мониторинг удовлетворенности потребителя, а предприятие имеет подразделения: отдел маркетинга, отдел закупок, отдел главного конструктора, отдел главного технолога, производство, отдел гарантийного сопровождения. По результатам обсуждения с представителями подразделений можно составить матрицу ПП (таблица 5). С другой стороны, выделенные процессы должны покрывать требования стандарта, например, ИСО 9001-2000. Связь процессов с ИСО 9001-2000 приводит к матрице ТП (таблица 6).

Используя композицию отношений, получим матрицу ИСО (таблица 7).

ми и заказчиками (ПЗ)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Таблица 5. Матрица связей процессов и подразделений (ПП)

Матрица ПП Отдел марке- тинга Отдел закупок Отдел главного конструктора Отдел главно -го технолога Произ- водство Отдел гар ан-тийного сопровождения

Заключение контрактов X X

Внутренний аудит X

Закупки X

Изготовление X

Таблица 6. Связь процессов с ИСО 9001-2000

Матрица ТП Системы менедж- мента качества Ответствен- ность руководства Менедж- мент ресурсов Процессы жизненного цикла продукции Измерение, анализ и улучшение

Заключение контрактов X

Управление документацией СМК X X

Внутренний аудит X X

Закупки X

Изготовление X X X

Мониторинг удовлетворенности потребителя X

Матрица ИСО отдел мар ке-тинга отдел закупок отдел гл. конструктора отдел гл. технолога Произ- водство отдел гарантийного сопровождения

Системы менеждмента качества X X

Ответственность ру ководства X X X

М енеджмент р есур сов X

Процессы жизненного цикла пр одукции X X X

Измерение, анализ и улучшение X X

Очевидно, что при таком распределении требований ИСО можно ожидать несоответствия по разделу 5 «Ответственность руководства», так как политика в области качества относится к компетенции высшего ру ководства.

4. Разворачивание каждого элемента матрицы связи, например, «Ответственность руководства - отдел маркетинга» может быть с помощью матрицы приоритетов, лежащей в основе метода анализа иерархий . Требования стандартов ИСО серии 9000-2000 устанавливают область и глубину нормативно - технической документации, необходимой для функционирования СМК предприятия. Одним из обязательных доку -ментов СМК предприятия является политика и цели в области качества. Цели предприятия формулируются в различных областях: финансы, рынок, конкуренция

(бенчмаркинг), удовлетворенность Потребителя, улучшение показателей продукции и процессов. Цели всей организации должны быть спроецированы (развернуты, разложены) на её подразделения, для того, чтобы персонал осознавал свою причастность и ответственность за достижение той или иной цели всей организации.

Планирование, выбор целей, оптимизация поведения в конкурентной среде всегда на определенном этапе требуют принятия решения. Практически очевидным стал тот факт, что социальные процессы, в частности, процессы управления плохо формализуются в рамках классической ма-

тематики. Достаточно эффективным в этом случае может оказаться метод анализа ие-р ар хий.

В основе метода анализа иерархий лежит так называемая матрица приоритетов. Допустим, что поставлена задача сравнения факторов, влияющих на выбранный объект. Как правило, количество влияющих факторов достаточно велико, точные зависимости неизвестны, математическую формализацию задачи выполнить практически невозможно. Эксперт также испытывает трудности при оценке влияния факторов на объект. Удивительно, но задача решается легче, если проводить попарное сравнение влияния факторов на объект. (Суть в том, что трудно ответить на вопрос, сколько весит А, гораздо проще решить, что тяжелее: А или В)

Для аналитического планирования развития предприятия необходимо описать начальное состояние (положение «как есть»), целевое состояние (цели) и средства, позволяющие связать эти состояния. Ниже приведен пример применения метода анализа иерархий, в качестве объекта выбрана цель из политики по качеству «Устойчивый рост прибыли предприятия» и выделены некоторые факторы, влияющие на цель (таблица 8).

Специалистами - экспертами предприятия были составлены матрицы приоритетов по выбранным критериям (пример приведен в таблице 9).

Менеджмент Материально - техническое снабжение

Планиров ание, закупки,

Инвестиции, отношения с поставщиками,

Р еклама, входной контроль,

Отпу скные це ны, контр оль р есур сов.

Маркетинговая стратегия. Персонал и Разработки

Производ ство квалификация,

Соблюдение сроков, подготов ка пер сонал а,

Технология, мотивация персонала,

Качество, тв ор ческий поте нц иал,

Организация производства, контроль затрат. планир ование новых р азр аботок

Т аблица 9. Пример матрицы «Производство»

Производство Соблюдение сроков поставки пр одукции Т ехнология Качество Организация производства Контр оль затрат

Соблюдение сроков поставки пр одукции 1 5 1 3 3

Т ехнология 1/5 1 3 1 3

Качество 1 1/3 1 3 1

Организация производства 1/3 1 1/3 1 1

Контроль затрат 1/3 1/3 1 1 1

Шкала отношений и заполнение таблиц 1 - равнозначность факторов, 3 - доминирование одного фактора над другим фактором,

5 - сильное доминирование одного фактора над другим фактором, 2,4 - возможные промежуточные значения.

Математическая обработка матриц состояла в нахождении вектора приоритетов, как собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу. В качестве примера ниже приведены результаты обработки оценок эксперта N (таблица 10). В столбцах указаны компоненты вектора приоритетов по различным факторам, например, по критерию «Менеджмент»

приоритет отдан инвестициям.

На рис. 1. приведены результаты вычислений приоритетов экспертов по указанным выше критериям. Достижение цели связывается с инвестициями, качеством,

планированием новых разработок и контролем ресурсов.

Таблица 10. Результаты обработки оценок эксперта N

Цель - Устойчивый рост прибыли предприятия

Менед- жмент Произ- водство Мат - тех снабжение Персонал и разработки

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Менеджмент

Производство

S & I ^ TO о i_ CO

Персонал и Разработки

Рис. 1. Результаты вычислений приоритетов экспертов

Знание распределения приоритетов по выбранным критериям позволяет высшему менеджменту предприятия проводить обоснованную политику для достижения поставленной цели.

Список литературы

1. Глудкин О.П., Горбунов НМ., Гуров А.И., Зорин Ю.В. Всеобщее Управление Качеством. - М.: Радио и связь, 1999.

2. Кузин Б., Юрьев В., Шахдинаров Г. Методы и модели управления фирмой. -СПб: Питер, 2001.

3. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. - М.: Мир, 1966.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. / пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1993.

MATRIX ANALYSIS IN ENTERPRISE EXECUTIVE SYSTEM

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2

\cSamara - Aviagas»

Samara State Aerospace University

In work various ways of matrixes application in business operation are analyzed. The relation (connection) between elements of two and more sets can be submitted in the matrix form. The composition of relations allows to simplify the analysis of connections between elements of sets. The example of use of priorities matrixes in a control system of the enterprise is resulted.

Матричный анализ или матричный метод нашел широкое распространение при сравнительной оценке различных хозяйственных систем (предприятий, отдельных подразделений предприятий и т.п.). Матричный метод позволяет определить интегральную оценку каждого предприятия по нескольким показателям. Эта оценка называется рейтингом предприятия. Рассмотрим применение матричного метода поэтапно на конкретном примере.

1. Выбор оценочных показателей и формирование матрицы исходных данных a ij , то есть таблицы, где по строкам отражаются номера систем (предприятий), а по столбцам номера показателей (i=1,2….n) - системы; (j=1,2…..n) - показатели. Выбранные показатели должны иметь одинаковую направленность (чем больше, тем лучше).

2. Составление матрицы стандартизованных коэффициентов. В каждом столбце определяется максимальный элемент, а затем все элементы этого столбца делятся на максимальный элемент. По результатам расчета создается матрица стандартизованных коэффициентов.

Выделяем в каждом столбце максимальный элемент.

Исторически первой моделью корпоративного стратегического планирования принято считать так называемую модель «роста - доли», которая больше известна как модель Бостонской консалтинговой группы (BCG).

Эта модель представляет из себя своеобразное отображение позиций конкретного вида бизнеса в стратегическом пространстве, определяемым двумя осями (x, y), одна из которых используется для измерения темпов роста рынка соответствующего продукта, а другая - для измерения относительной доли продукции организации на рынке рассматриваемого продукта.

Появление модели BCG явилось логическим завершением одной исследовательской работы, проведенной в свое время специалистом консалтинговой компании Boston Consulting Group.

В процессе изучения различных организаций, производящих 24 основных видов продуктов в 7 отраслях промышленности (электроэнергетика, производство пластмасс, промышленность цветных металлов, производство электрооборудования, производство бензина и др.), были установлены эмпирические факты того, что при удвоении объемов производства переменные издержки на производство единицы продукции уменьшаются на 10-30%.

Также было установлено, что эта тенденция имеет место почти в любом рыночном секторе.

Эти факты и стали основанием для выводов, что переменные издержки производства являются одним из основных, если не главным, фактором делового успеха и определяет конкурентные преимущества одной организации перед другой.

Статистическими методами были выведены эмпирические зависимости, описывающие взаимосвязь издержек производства, единицы продукции и объем производства. И один из основных факторов конкурентного преимущества был поставлен в однозначное соответствие с объемом производства продукции, и следовательно, с тем, какую долю на рынке соответствующих продуктов занимает этот объем.

Основное внимание в модели BCG сосредотачивается на потоке денежной наличности предприятия, которая направляется, либо на проведение операции в отдельно взятой бизнес - области, либо возникает в результате таких операций. Считается, что уровень дохода или расхода денежной наличности находится в очень сильной функциональной зависимости от темпов роста рынка и относительной доли организации на этом рынке.

Темпы роста бизнеса организации определяют темп, в котором организация будет использовать денежную наличность.

Принято считать, что на стадии зрелости и на заключительной стадии жизненного цикла любого бизнеса успешный бизнес генерирует денежную наличность, тогда как на стадии развития и роста бизнеса происходит поглощение наличности.

Вывод: для поддержания непрерывности успешного бизнеса денежная масса, появляющаяся в результате осуществления «зрелого» бизнеса, частично должна быть инвестирована в новые области бизнеса, которые в будущем обещают стать генераторами доходов организации.

В модели BCG основными коммерческими целями организации предполагается рост массы и нормы прибыли. При этом, набор допустимых стратегических решений относительно того, как можно достичь этих целей - ограничивается 4 вариантами:

• 1) увеличение доли бизнеса организации на рынке;
• 2) борьба за сохранение доли бизнеса организации на ранке;
• 3) максимальное использование положения бизнеса на рынке;
• 4) освобождение от данного вида бизнеса.

Решения, которые предполагает модель BCG, зависят от положения конкретного вида бизнеса организации, стратегическом пространстве, образуемом двумя координатными осями. Использование этого параметра в модели BCG возможны по 3 причинам:

растущий рынок, как правило, обещает в скором будущем отдачу инвестиций в данный вид бизнеса.

повышенные темпы роста рынка воздействуют на объем денежной наличности со знаком «-» даже в случае довольно высокой нормы прибыли, так как требует повышенных инвестиций в развитие бизнеса.

Существует две модели BCG: классическая и адаптированная. Рассмотрим Классическую модель:

Структура Классической модели:

На оси абсцисс выставляется измерение некоторых конкурентных позиций организации в данном бизнесе в виде отношения объемов продаж организации в данном бизнесе к объему продаж крупнейшего в данной бизнес - области конкурента.

В оригинальной версии BCG шкала абсцисс является логарифмической. Таким образом, модель BCG представляет из себя матрицу 2*2, на которой области бизнеса отображаются окружностями с центрами на пересечении координат, образуемых соответствующими темпами роста рынка и величинами относительной доли организации на соответствующем рынке.

Каждая нанесенная окружность характеризует только 1 бизнес - область, характерную для данной организации.

Величина окружности пропорциональна общему размеру всего рынка. Чаще всего этот размер определяется простым сложением бизнеса организации и соответствующего бизнеса ее конкурентов.

Иногда на каждой окружности выделяется сегмент, характеризующий относительную долю в бизнес - области организации на данном рынке, хотя для получения стратегических выводов в данной модели - это не обязательно.

Деление осей на 2 части сделано не случайно. В верхней части матрицы оказываются бизнес области, относящиеся к темпам роста выше средних. В нижней соответственно более низким.

В оригинальной модели BCG принято, что границей высоких и низких темпов роста является 10% увеличения продаж в год.

Каждому из этих квадратов даются образные названия (например: матрицу BCG называют «Зоопарком»).

«Звезды»: это новые бизнес - области, занимающие относительно большую долю бурно развивающегося рынка, на котором приносят высокие прибыли. Это бизнес - области можно назвать лидерами своих отраслей, так как они приносят организации очень высокий доход. Однако главная проблема связана с определением правильного баланса между доходом и инвестициями в эту область с тем, чтобы в будущем гарантировать возврат последних.

«Дойные коровы»: это бизнес - области, которые в прошлом получили относительно большую долю рынка, однако со временем рост соответствующей отрасли заметно замедлился, поток денежной наличности в этой позиции хорошо сбалансирован, поскольку для инвестиций в такую бизнес - область требуется самый необходимый минимум. Такая бизнес - область может принести хороший доход организации (Это бывшие «Звезды»).

«Трудные дети»: эти бизнес - области конкурируют в растущих отраслях, но занимают относительно небольшую долю рынка. Это сочетание обстоятельств приводит к необходимости увеличения инвестиций, с целью защиты своей доли рынка. Высокие темпы роста требуют значительной денежной наличности, чтобы соответствовать этому росту.

«Собаки»: это бизнес - области с относительно небольшой долей на рынке в медленно развивающихся отраслях. Поток денежной наличности незначителен, порой даже отрицателен.

Но не многие используют Классическую модель, так как она непрактична из-за необходимости получения актуальных данных о состоянии рынка и доли, занимаемой компанией и ее конкурентом. Поэтому для расчетов используем

Адаптированную модель:

Адаптированная матрица BCG строится на основе внутренней информации компании. Необходимые данные - объемы продаж продукции за определенный период, который не может быть менее 12 месяцев, в дальнейшем, для отслеживания динамики, необходимо добавлять данные за следующие 3 месяца (т.е. данные за 12, 15, 18, 21, 24 месяца). Данные необязательно должны начинаться с января месяца, но должны быть по месяцам. Также важно учитывать сезонность продаж товаров или услуг для продукции вашей компании. В рассматриваемой компании товарный портфель состоит из 5 групп товаров, а также имеются данные об их продажах за период январь - декабрь 2013г.

Таблица 5. Данные по продажам предприятия ООО НордВест

– умножив вес на оценку и просуммировав полученные значения по всем факторам, получим взвешенную оценку / рейтинг привлекательности рынка

Таблица 7. Оценка привлекательности отрасли

Таблица 8. Оценка конкурентной позиции в отрасли

2 .Строим Матрицу Мак - Кинси для ООО Норд-Вест

По оси x откладываем 3,6 балла, по оси у откладываем 2,9 балла. На пересечении данных баллов мы попадаем в квадрат «Успех 3». Который присущ организациям, рыночная привлекательность которых держится на среднем уровне, но при этом их преимущества на данном рынке очевидны и сильны. Стратегические выводы из анализа на основе матрицы McKinsey очевидны: компания ООО Норд-Вест "попадает в квадрат «Успех 3»

Рис. 4. Матрица Мак-Кинси

Для позиции «успех 3» характерны наивысшая степень привлекательности рынка и относительно сильные преимущества на нем. Предприятие будет безусловным лидером или одним из лидеров на строительном рынке, а угрозой для него может быть только усиление некоторых позиций отдельных конкурентов. Поэтому стратегия предприятия, которое пребывает в такой позиции, должна быть нацелена на защиту своего состояния в большинстве своем с помощью дополнительных инвестиций. Организации необходимо, прежде всего, определить наиболее привлекательные рыночные сегменты и инвестировать именно в них, развивать свои преимущества и противостоять влиянию конкурентов.

Керамическая плитка

Ячеистый бетон

Крупно форматный кирпич