Средняя арифметическая взвешенная способом моментов. Свойства средней арифметической и расчет ее способом моментов

Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Пример

Средняя взвешенная

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов .

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.

Различают три вида средних величин: мода (М0), медиана (Ме), сред­няя арифметическая (М).

Они не могут подменить друг друга и лишь в со­вокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют собой осо­бенности вариационного ряда.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающаяся в ряду распределения варианта. Она дает представление о центре распределения вариационного ряда. Используется:

Для определения центра распределения в открытых вариационных рядах

Для определения среднего уровня в рядах с резко асимметричным рас­пределением

Медиана - это серединная варианта, центральный член ранжирован­ного ряда. Название медиана взято из геометрии, где так именуется линия, делящая сторону треугольника на две равные части.

Медиана применяется:

Для определения среднего уровня признака в числовых рядах с нерав­ными интервалами в группах

Для определения среднего уровня признака, когда исходные данные представлены в виде качественных признаков и когда единственным способом указать некий центр тяжести совокупности является указа­ние варианты (группы вариант), которая занимает центральное поло­жение

При вычислении некоторых демографических показателей (средней продолжительности предстоящей жизни)

При определении наиболее рационального места расположения учре­ждений здравоохранения, коммунальных учреждений и т. п. (имеется в виду учет оптимальной удаленности учреждений от всех объектов обслуживания)

В настоящее время очень распространены различные опросы (марке­тинговые, социологические и др.), в которых опрашиваемых просят выста­вить баллы изделиям, политикам и т. п. Затем из полученных оценок рас­считывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. При этом обычно для определе­ния средних показателей применяют среднее арифметическое. Однако та­кой способ на самом деле применять нельзя. Обоснованным в этом случае является использование в качестве средних баллов медианы или моды.

Для характеристики среднего уровня признака наиболее часто ис­пользуется в медицине средняя арифметическая величина (М).

Средняя арифметическая величина - это общая количественная характеристика определенного признака изучаемых явлений, составляю­щих качественно однородную статистическую совокупность.

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется для не сгруппиро­ванного вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в вариационный ряд.

Вычисляется средняя арифметическая простая по формуле:

М - средняя арифметическая взвешенная,

∑Vp - сумма произведений вариант на их частоты,

n - число наблюдений.

Помимо указанного метода прямого расчета средней арифметической взвешенной, существуют другие методы, в частности, способ моментов при котором несколько упрощены арифметические расчеты.

Расчет средней арифметической способом моментов проводится по формуле:

А - условная средняя (чаще всего в качестве условной средней берет­ся мода М0)

d - отклонение каждой варианты от условной средней (V-A)

∑dp - сумма произведений отклонений на их частоту.

Порядок вычисления представлен в таблице (за условную среднюю принимаем М0 = 76 ударам в минуту).

где i - интервал между группами.

Порядок вычисления представлен в табл. (за условную среднюю при­нимаем М 0 = 73 ударам в минуту, где i = 3)

Определение средней арифметической способом моментов

n = 54 ∑dp = -13

Таким образом, полученное значение средней арифметической вели­чины по способу моментов идентично таковому, найденному обычным способом.

А – условная средняя (чаще других повторяющаяся в вариационном ряду)

а – условное отклонение от условной средней (ранг)

i – интервал

1-ый этап - определение середины групп;

2-ой этап – ранжирование групп: 0 присваивается группе, частота встречаемости врианты в которой – наибольшая. Т.е. в данном случае 7-11 (частота -32). Вверх от данной группы ранжирование производится прибавляя (-1). Вниз – прибавка (+1).

3-ий этап – определение условной моды (условная средняя). А –это середина модального интервала. В нашем случае модальным интервалом является 7 -11, таким образом А = 9.

4-ый этап –определение интервала. Интервал во всех группах ряда одинаков и равен 5. i = 5/

5-й этап –определение общего числа наблюдений. n = ∑p = 103.

Подставляем, полученные данные в формулу:

Задания для самостоятельной работы

Используя данные сгруппированного вариационного ряда рассчитайте среднюю арифметическую по способу моментов.

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

Вариант №9

Вариант №10

Вариант №11

Вариант №12

Задача №4 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с нечетным количеством вариант

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Для определения моды в вариационном ряду ранжирование ряда необязательно. Однако, прежде чем определять медиану, необходимо выстроить вариационный ряд в порядке возрастания или убывания.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Мода = 16. Т.к. вариант 16 встречается наибольшее число раз (3 раза).

В случае если вариант, имеющих наибольшую частоту встречаемости несколько, то в вариационном ряду может быть указано две и более Моды.

Медиана в ряду с нечетным количеством определяется по формуле:

8 –это порядковый номер медианы в ранжированном вариационном ряду,

т.о. Ме = 17.

Задача №5 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с четным количеством вариант.

На основе данных, приведенных в задании, требуется найти моду и медиану

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Строим ранжированный вариационный ряд:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

У нас имеется два срединных числа 16 и 17. В таком случае медиана находится как среднее арифметическое между ними. Me = 16,5.

Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты (значения признака) и веса имеют очень большие или очень малые значения и затрудняется сам процесс подсчета. Тогда для простоты счета используется ряд свойств средней арифметической:

1) если уменьшить (увеличить) все варианты на какое-либо произвольное число А , то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число А , т. е. изменится на ±А ;

2) если уменьшить все варианты (значения признака) в одинаковое число раз (К ), то средняя уменьшится во столько же раз, а при увеличении в (К ) раз – увеличится в (К ) раз;

3) если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант на какое-либо постоянное число А , то средняя арифметическая не изменится;

4) сумма отклонений всех вариант от общей средней равна нулю.

Перечисленные свойства средней арифметической позволяют в случае необходимости упрощать расчеты путем замены абсолютных частот относительными, уменьшать варианты (значения признака) на какое-либо число А , сокращать их в К раз и рассчитывать среднюю арифметическую из уменьшенных вариант, а затем переходить к средней первоначального ряда.

Способ исчисления средней арифметической с использованием ее свойств известен в статистике как «способ условного нуля» , или «условной средней» , или как «способ моментов».

Кратко этот способ можно записать в виде формулы

Если уменьшенные варианты (значения признака ), обозначить через , то приведенную выше формулу можно переписать в виде .

При использовании формулы для упрощения исчисления средней арифметической взвешенной интервального ряда при определении величины какого-либо числа А используют такие приемы его определения.

Величина А равна величине:

1) первого значения средней величины интервала (продолжим на примере задачи, где млн дол., а .

Расчет средней из уменьшенных вариант

Интервалы	Среднее значение интервала		Число заводов, f	Произведение
До 2	1,5	0 (1,5–1,5)
2–3	2,5	1 (2,5–1,5)
3–4	3,5	2 (3,5–1,5)
4–5	4,5	3 (4,5–1,5)
5–6	5,5	4 (5,5–1,5)
Свыше 6	6,5	5 (6,5–1,5)
Итого:	3,7	–

,

2) величину А берем равной величине среднего значения интервала с наибольшей частотой повторений, в данном случае А = 3,5 при (f = 30), или значение серединной варианты, или наибольшей варианты (в данном случае наибольшее значение признака Х = 6,5) и деленное на размер интервала (в данном примере 1).

Расчет средней при А = 3,5, f = 30, К = 1 на том же примере.

Расчет средней способом моментов

; ; ;

Способ моментов, условного нуля или условной средней заключается в том, что при сокращенном способе расчета средней арифметической мы выбираем такой момент, чтобы в новом ряду одной из значений признака , т. е. приравниваем и отсюда выбираем величину А и К .

Надо иметь в виду, что если (Х – А ) : К , где К – равная величина интервала, то полученные новые варианты образуют в равноинтервальном ряду ряды натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.) положительных вниз и отрицательных вверх от нуля. Среднюю арифметическую из этих новых вариант называют моментом первого порядка и выражают формулой

.

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину того интервала (К ), на который делим все варианты, и прибавить к полученному произведению величину варианты (А ), которую вычитали.

;

Таким образом, способом моментов или условного нуля рассчитать среднюю арифметическую из вариационного ряда, если ряд равноинтервальный, значительно легче.

Мода

Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с наибольшей частотой.

Пример. При определении плана по производству мужских туфлей фабрикой было произведено изучение покупательского спроса по результатам продажи. Распределение проданной обуви характеризовалось следующими показателями:

Наибольшим спросом пользовалась обувь 41 размера и составила 30% от проданного количества. В этом ряду распределения М 0 = 41.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле

.

Прежде всего, необходимо найти интервал, в котором находится мода, т. е. модальный интервал.

В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения, где: – величина нижней границы интервала, содержащего моду; – частота модального интервала; – частота интервала, предшествующего модальному, т. е. предмодального; – частота интервала, следующего за модальным, т. е. послемодального.

Пример расчета моды в интервальном ряду

Дана группировка предприятий по численности промышленно-про­из­вод­ственного персонала. Найти моду. В нашей задаче наибольшее число предприятий (30) имеет группировка с численностью работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распространения с равными интервалами. Введем следующие обозначения:

Подставим эти значения в формулу вычисления моды и произведем расчет:

Таким образом, мы определили значение модальной величины признака, заключенного в этом интервале (400–500), т. е. М 0 = 467 чел.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщающего показателя отдается предпочтение моде , а не средней арифметической. Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определенную продукцию, а модальная. При изучении спроса населения на определенный размер обуви или одежды представляет интерес определение модального номера, а не средний размер, который вообще не имеет значения. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

На сортосеменной станции при определении качества семян пшеницы было получено следующее определение семян по проценту всхожести:

Определить моду.

Задача 2

При регистрации цен в часы наиболее оживленной торговли у отдельных продавцов были зарегистрированы следующие цены фактической продажи (дол. за кг):

Картофель: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.

Говядина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.

Какие цены на картофель и говядину являются модальными?

Задача 3

Имеются данные о заработной плате 16 слесарей цеха. Найти модальную величину заработной платы.

В долларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

Расчет медианы

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если дискретный ряд распределения имеет нечетное число членов ряда, то медианой будет варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, т. е. к сумме частот прибавить 1 и все разделить на 2 – результат и даст порядковый номер медианы.

Если в вариационном ряду четное число вариант, тогда медианой будет половина суммы двух серединных вариант.

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала медианный интервал по накопленным частотам. Таким интервалом будет такой, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот. Накопленные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду

Половина суммы накопленных частот в примере равна 250 (500: 2). Следовательно, медианным интервалом будет интервал со значением признака 100–110.

До этого интервала сумма накопленных частот составила 150. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 100 единиц (250 – 150). При определении значения медианы предполагается, что значение признака в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 145 единиц, находящихся в этом интервале, распределить равномерно в интервале, равно 10, то 100 единицам будет соответствовать величина:

10: 145 ´ 100 = 6,9.

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

Или медиану в вариационном интервальном ряду можно исчислить по формуле:

,

где – величина нижней границы медианного интервала (); – величина медианного интервала ( =10); – сумма частот ряда (численность ряда 500); – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному ( = 150); – частота медианного интервала ( = 145).

4. Четные и нечетные.

В чётных вариационных рядах сумма частот или общее число наблюдений выражено чётным числом, в нечётных ― нечётным.

5. Симметричные и асимметричные.

В симметричном вариационном ряду все виды средних величин совпадают или очень близки (мода, медиана, среднее арифметическое).

В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования, а также от содержания исходного материала, в санитарной статистике применяются следующие виды средних величин:

· структурные средние (мода, медиана);

· средняя арифметическая;

· средняя гармоническая;

· средняя геометрическая;

· средняя прогрессивная.

Мода (М о) - величина варьирующего признака, которая более часто встречается в изучаемой совокупности т.е. варианта, соответствующая наибольшей частоте. Находят ее непосредственно по структуре вариационного ряда, не прибегая к каким-либо вычислениям. Она обычно является величиной очень близкой к средней арифметической и весьма удобна в практической деятельности.

Медиана (М е) - делящая вариационный ряд (ранжированный, т.е. значения вариант располагаются в порядке возрастания или убывания) на две равные половины. Медиана вычисляется при помощи так называемого нечетного ряда, который получают путем последовательного суммирования частот. Если сумма частот соответствует четному числу, тогда за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.

Мода и медиана применяются в случае незамкнутой совокупности, т.е. когда наибольшая или наименьшая варианты не имеют точной количественной характеристики (например, до 15 лет, 50 и старше и т.п.). В этом случае среднюю арифметическую (параметрические характеристики) рассчитать нельзя.

Средня я арифметическая - самая распространенная величина. Средняя арифметическая обозначается чаще через М .

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется:

― в тех случаях, когда совокупность представлена простым перечнем знаний признака у каждой единицы;

― если число повторений каждой варианты нет возможности определить;

― если числа повторений каждой варианты близки между собой.

Средняя арифметическая простая исчисляется по формуле:

где V - индивидуальные значения признака; n - число индивидуальных значений; - знак суммирования.

Таким образом, простая средняя представляет собой отношение суммы вариант к числу наблюдений.

Пример: определить среднюю длительность пребывания на койке 10 больных пневмонией:

16 дней - 1 больной; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

койко-дня.

Средняя арифметическая взвешенная исчисляется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака повторяются. Ее можно вычислять двояким способом:

1. Непосредственным (среднеарифметическим или прямым способом) по формуле:

где P - частота (число случаев) наблюдений каждой варианты.

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная представляет собой отношение суммы произведений вариант на частоты к числу наблюдений.

2. С помощью вычисления отклонений от условной средней (по способу моментов).

Основой для вычисления взвешенной средней арифметической является:

― сгруппированный материал по вариантам количественного признака;

― все варианты должны располагаться в порядке возрастания или убывания величины признака (ранжированный ряд).

Для вычисления по способу моментов обязательным условием является одинаковый размер всех интервалов.

По способу моментов средняя арифметическая вычисляется по формуле:

,

где М о - условная средняя, за которую чаще принимают величину признака, соответствующую наибольшей частоте, т.е. которая чаще повторяется (Мода).

i - величина интервала.

a - условное отклонение от условий средней, представляющее собой последовательный ряд чисел (1, 2 и т.д.) со знаком + для вариант больших условной средней и со знаком–(–1, –2 и т.д.) для вариант, которые ниже условной средней. Условное же отклонение от варианты, принятой за условную среднюю равно 0.

P - частоты.

Общее число наблюдений или n.

Пример: определить средний рост мальчиков 8 лет непосредственным способом (таблица1).

Т а б л и ц а 1

Центральная варианта ― середина интервала ― определяется как полу сумма начальных значений двух соседних групп:

; и т.д.

Произведение VP получают путем умножения центральных вариант на частоты ; и т.д. Затем полученные произведения складывают и получают , которую делят на число наблюдений (100) и получают среднюю арифметическую взвешенную.

см.

Эту же задачу решим по способу моментов, для чего составляется следующая таблица 2:

Т а б л и ц а 2

В качестве М о принимаем 122, т.к. из 100 наблюдений у 33 человек рост был 122см. Находим условные отклонения (a) от условной средней в соответствии с вышесказанным. Затем получаем произведение условных отклонений на частоты (aP) и суммируем полученные величины (). В итоге получится 17. Наконец, данные подставляем в формулу.