С помощью этого видеоурока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы». В ходе занятия учитель расскажет о том, что представляют собой такие геометрические фигуры, как многогранник и призмы, даст соответствующие определения и объяснит их суть на конкретных примерах.
С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».
Определение . Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Рассмотрим следующие примеры многогранников:
1. Тетраэдр ABCD - это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС , ADB , BDC и ADC (рис. 1).
Рис. 1
2. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).
Рис. 2
Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
Грани - это многоугольники, составляющие многогранник.
Ребра - это стороны граней.
Вершины - это концы ребер.
Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.
Грани : треугольники АВС, ADB, BDC, ADC .
Ребра : АВ, АС, ВС, DC , AD , BD .
Вершины : А, В, С, D .
Рассмотрим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 2).
Грани : параллелограммы АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 С 1 С, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .
Ребра : АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.
Вершины : A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .
Важным частным случаем многогранника является призма.
АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 3).
Рис. 3
Равные треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
То есть АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма, если:
1) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.
2) Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Ребра АА 1 , ВВ 1 , СС 1 параллельны.
АВС и А 1 В 1 С 1 - основания призмы.
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 - боковые ребра призмы.
Если с произвольной точки Н 1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН 1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.
Определение . Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае - наклонной.
Рассмотрим треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 4). Эта призма - прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Например, ребро АА 1 перпендикулярно плоскости АВС . Ребро АА 1 является высотой этой призмы.
Рис. 4
Заметим, что боковая грань АА 1 В 1 В перпендикулярна к основаниям АВС и А 1 В 1 С 1 , так как она проходит через перпендикуляр АА 1 к основаниям.
Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА 1 В 1 С 1 (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А 1 перпендикуляр А 1 Н на АВС , то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН - это проекция отрезка АА 1 на плоскость АВС .
Тогда угол между прямой АА 1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА 1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А 1 АН .
Рис. 5
Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 6). Рассмотрим, как она получается.
1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .
2) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Четырехугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .
Определение . Диагональ призмы - это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Например, АС 1 - диагональ четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
Определение . Если боковое ребро АА 1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.
Рис. 6
Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 изображен на рис. 7.
Рассмотрим, как он устроен:
1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае - равные параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 : ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 .
2) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC ║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).
3) Параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1 .
Рис. 7
Из точки А 1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС . Отрезок А 1 Н является высотой.
Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).
1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 : ABCDEF = A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .
2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC ║А 1 B 1 C (α ║ β).
3) Шестиугольники ABCDEF и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1 .
Рис. 8
Определение . Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.
Определение . Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.
Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА 1 В 1 С 1 .
Рис. 9
Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани - равные прямоугольники.
Итак, если треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - правильная, то:
1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA 1 ⊥ АВС .
2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС - правильный.
Определение . Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S полн .
Определение . Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S бок .
Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:
S полн = S бок + 2S осн.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство проведем на примере треугольной призмы.
Дано : АВСА 1 В 1 С 1 - прямая призма, т. е. АА 1 ⊥ АВС .
АА 1 = h.
Доказать : S бок = Р осн ∙ h.
Рис. 10
Доказательство .
Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - прямая, значит, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С - прямоугольники.
Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С:
S бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.
Получаем, S бок = Р осн ∙ h, что и требовалось доказать.
Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.
- Якласс ().
- Shkolo.ru ().
- Старая школа ().
- WikiHow ().
- Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
- Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
- Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
- В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см 2 . Найдите площадь полной поверхности призмы.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 являются основаниями призмы .
Четырехугольники A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 и A 1 C 1 CA являются боковыми гранями призмы .
Стороны граней являются ребрами призмы (A 1 B 1 , A 1 C 1 , C 1 B 1 , AA 1 , CC 1 , BB 1 , AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
— это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
V=S осн. h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
S бок =P осн. h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как S бок =P осн. h, то получим:
S полн.пов. =P осн. h+2S осн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы :
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1
. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение:
Объем прямой призмы равен V = Sh, где S - площадь основания, а h - боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S осн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
Является одной из частых объемных геометрических фигур, которые мы встречаем в нашей жизни. Например, в продаже можно встретить брелки и часы в форме нее. В физике эту фигуру, сделанную из стекла, используют для изучения спектра света. В данной статье освятим вопрос, касающийся развертки треугольной призмы.
Что собой представляет треугольная призма
Рассмотрим эту фигуру с геометрической точки зрения. Чтобы ее получить, следует взять треугольник, имеющий произвольные длины сторон, и параллельно самому себе перенести его в пространстве на некоторый вектор. После этого необходимо соединить одинаковые вершины исходного треугольника и треугольника, полученного переносом. Мы получили треугольную призму. Ниже фото демонстрирует один из примеров этой фигуры.
Из рисунка видно, что она образована 5-ю гранями. Две одинаковые треугольные стороны называются основаниями, три стороны, представленные параллелограммами, называются боковыми. У этой призмы можно насчитать 6 вершин и 9 ребер, из которых 6 лежат в плоскостях параллельных оснований.
Выше была рассмотрена треугольная призма общего типа. Она будет называться правильной, если выполняются следующих два обязательных условия:
- Ее основание должно представлять правильный треугольник, то есть все его углы и стороны должны быть одинаковыми (равносторонний).
- Угол между каждой боковой гранью и основанием должен быть прямым, то есть составлять 90 o .
На фото выше изображена рассматриваемая фигура.
Для правильной треугольной призмы удобно выполнять расчеты длины ее диагоналей и высоты, объема и площади поверхности.
Возьмем правильную призму, представленную на предыдущем рисунке, и проведем мысленно для нее следующие операции:
- Разрежем сначала два ребра верхнего основания, которые ближе всего находятся к нам. Отогнем основание вверх.
- Операции пункта 1 проделаем для нижнего основания, только отогнем его вниз.
- Разрежем фигуру по ближайшему боковому ребру. Отогнем влево и вправо две боковые грани (два прямоугольника).
В итоге мы получим развертку треугольной призмы, которая представлена ниже.
Эту развертку удобно использовать для вычисления площади боковой поверхности и оснований фигуры. Если длина бокового ребра равна c, а длина стороны треугольника равна a, тогда для площади двух оснований можно записать формулу:
Площадь боковой поверхности будет равна трем площадям одинаковых прямоугольников, то есть:
Тогда полная площадь поверхности будет равна сумме S o и S b .
Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.