Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы, на которую действуют силы потенциального поля и силы, периодически меняющиеся по времени. Возникающие при этом движения системы носят название вынужденных колебаний.
Пусть возмущающие обобщенные силы меняются по гармоническому закону от времени, имея равные периоды и начальную фазу. Тогда уравнения движения рассматриваемой системы будут вида:
Уравнения движения в рассматриваемом случае представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
Переход к главным координатам
Для удобства исследования уравнений движения перейдем в них к главным координатам системы Связь между координатами определяется формулами предыдущего параграфа вида:
Обозначим через соответственно обобщенные силы, соответствующие нормальным координатам Так как обобщенные силы представляют собой коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы действующих на систему сил, то
Следовательно:
Таким образом, уравнения движения в главных координатах приобретают вид:
Уравнения вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга и могут интегрироваться отдельно.
Критические частоты возмущающей силы
Уравнение для или определяет колебательный характер изменения нормальных координат, подробно изученный при рассмотрении вынужденного колебания точки по прямой, так как дифференциальные уравнения движения в обоих случаях одинаковы. В частности, если частота возмущающей силы равна частоте одного из собственных колебаний системы или то в решение в качестве множителя войдет время t. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при достаточно большом t будет сколь угодно велика, или мы имеем явление резонанса.
Пусть дана система с двумя степенями свободы и - обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергия системы дается формулами (10.2):
Функции Т и П определенно положительны, а потому:
Подставив (10.2) в (10.12), получим дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы:
Система имеет нулевое решение A=B=0, соответствующее устойчивому положению равновесия. Для ненулевых решений составим из (10.15) отношение:
Квадратное (относительно ) уравнение (10.18) в силу неравенств устойчивости имеет два вещественных положительных корня. Расположим их в порядке возрастания:
Для второго главного колебания:
| (10.21) |
Главные колебания являются колебаниями гармоническими.
Подставив поочередно и в (10.16), найдем связи между амплитудами A и B в главных колебаниях: . Множители и называют коэффициентами собственных форм (коэффициентами распределения амплитуд). Они могут быть как положительными, так и отрицательными. При обе координаты в главном колебании находятся в одной фазе; при - в противофазе.
Результирующее движение по каждой координате будет суммой двух главных колебаний:
| (10.22) |
где - зависят от начальных условий, - от начальных условий не зависят и определяются параметрами самой колебательной системы. В общем случае частоты и несоизмеримы, а потому результирующее движение не будет периодическим.
1. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний (малых) двойного математического маятника, образованного двумя материальными точками равной массы m и двумя стержнями длиной каждый.
Подобная система в общем виде была рассмотрена в примере 2 (§34). Воспользуемся полученными там формулами (2) и (3).
При , получим:
Так как колебания малые, то с точностью до малых второго порядка включительно:
| (3) |
С учетом (3) из (1), замечаем:
| (4) |
Сравнивая (4) и (2), замечаем:
Раскрывая уравнение (7.52) частот, получим:
Из (9.50) находим коэффициенты распределения: .
Первое главное колебание:
Движение в фазе - в каждое мгновение стержни вращаются в одном направлении.
Второе главное колебание:
Движение в противофазе – в каждое мгновение стержни вращаются в прямо противоположных направлениях.
Формы колебаний показаны на рис. 50. Во втором главном колебании имеется особенная точка F, которая остается неподвижной. Такие точки называют узлами. Концевая точка O к узлам не относится.
2. Два твердых тела с массами и и две пружины, жесткостью и , объединены в систему, которая располагается на гладкой горизонтальной плоскости и может совершать малые прямолинейные колебания.
Первое главное колебание:
Тела движутся в фазе, либо вправо либо влево. Амплитуда колебаний второго тела в 1,62 раза больше.
Второе главное колебание:
Тела движутся в противофазе: либо навстречу друг другу, к узлу, либо расходятся от узла. Амплитуда колебаний второго тела составляет 0,62 амплитуды первого.
Как известно, тело, ничем не ограниченное в движениях, называется свободным, так как может двигаться в любом направлении. Отсюда, каждое свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы движения. Оно обладает возможностью производить следующие перемещения: три перемещения поступательного характера, соответственно трем основным системам координат, и три вращательных движения вокруг этих трех координатных осей.
Наложение связей (закрепление) уменьшает количество степеней свободы. Так, если тело в одной своей точке закреплено, оно не может производить перемещение вдоль координатных осей, его движения ограничиваются лишь вращением вокруг этих осей, т.е. тело имеет три степени свободы. В том случае, когда закрепленными являются две точки, тело обладает только одной степенью свободы, оно может лишь вращаться вокруг линии (оси), проходящей через обе эти точки. И наконец, при трех закрепленных точках, не лежащих на одной линии, количество степеней свободы равно нулю, и никаких движений тела быть не может. У человека пассивный аппарат движения составляют части его тела, называемые звеньями. Все они соединены между собой, поэтому теряют возможность к трем видам движений вдоль координатных осей. У них остаются только возможности вращения вокруг этих осей. Таким образом, максимальное количество степеней свободы, которым может обладать одно звено тела по отношению к другому звену, смежному с ним, равняется трем.
Это относится к наиболее подвижным суставам человеческого тела, имеющим шаровидную форму.
Последовательно или разветвленные соединения частей тела (звеньев) образуют кинематические цепи.
У человека различают:
- - открытые кинематические цепи , имеющие свободный подвижный конец, закрепленный лишь на одном своем конце (например, рука по отношению к туловищу);
- - замкнутые кинематические цепи , закрепленные на обоих концах (например, позвонок - ребро - грудина - ребро - позвонок).
Следует отметить, что это касается потенциально возможных размахов движений в суставах. В действительности же у живого человека эти показатели всегда меньше, что доказано многочисленными работами отечественных исследователей - П. Ф. Лесгафтом, М. Ф. Иваницким, М. Г. Привесом, Н. Г. Озолиным и др. На величину подвижности в соединениях костей у живого человека влияет ряд факторов, связанных с возрастом, полом, индивидуальными особенностями, функциональным состоянием нервной системы, степенью растяжения мышц, температурой окружающей среды, временем дня и, наконец, что важно для спортсменов, степенью тренированности. Так, во всех соединениях костей (прерывных и непрерывных) степень подвижности у лиц молодого возраста больше, чем у старшего возраста; у женщин в среднем больше, чем у мужчин. На величину подвижности оказывает влияние степень растяжения тех мышц, которые находятся на стороне, противоположной движению, а также сила мышц, производящих данное движение. Чем эластичнее первые из названных мышц и сильнее вторые, тем размах движений в данном соединении костей больше, и наоборот. Известно, что в холодном помещении движения имеют меньший размах, чем в теплом, утром они меньше, чем вечером. Применение различных упражнений по-разному влияет на подвижность соединений. Так, систематические тренировки упражнениями «на гибкость» увеличивают амплитуду движений в соединениях, тогда как «силовые» упражнения, наоборот, уменьшают ее, приводя, к «закрепощению» суставов. Однако уменьшение амплитуды движений в суставах при применении силовых упражнений не является абсолютно неизбежным. Его можно предотвратить правильным сочетанием силовых упражнений с упражнениями на растяжение тех же самых мышечных групп.
В открытых кинематических цепях человеческого тела подвижность исчисляется десятками степеней свободы. Например, подвижность запястья относительно лопатки и подвижность предплюсны относительно таза насчитывает по семь степеней свободы, а кончики пальцев кисти относительно грудной клетки - 16 степеней свободы. Если суммировать все степени свободы конечностей и головы относительно туловища, то это выразится числом 105, слагающимся из следующих позиций:
- - голова - 3 степени свободы;
- - руки - 14 степеней свободы;
- - ноги - 12 степеней свободы;
- - кисти и стопы - 76 степеней свободы.
Для сравнения укажем, что преобладающее большинство машин обладает всего одной степенью свободы движений.
В шаровидных суставах возможны вращения около трех взаимно перпендикулярных осей. Общее же количество осей, около которых возможны в этих суставах вращения, до бесконечности велико. Следовательно, относительно шаровидных суставов можно сказать, что сочленяющиеся в них звенья из возможных шести степеней свободы движений имеют три степени свободы и три степени связанности.
Меньшей подвижностью обладают суставы с двумя степенями свободы движений и четырьмя степенями связанности. К ним относятся суставы яйцевидной или эллипсовидной и седловиной форм, т.е. двухосные. В них возможны движения вокруг этих двух осей.
Одну степень свободы подвижности и вместе с этим пять степеней связанности имеют звенья тела в тех суставах, которые обладают одной осью вращения, т.е. имеют две закрепленные точки.
В преобладающей части суставов тела человека две или три степени свободы. При нескольких степенях свободы движений (двух или более) возможно бесчисленное множество траекторий. Соединения костей черепа имеют шесть степеней связанности и являются неподвижными. Соединение костей при помощи хрящей и связок (синхондрозы и синдесмозы) могут иметь в некоторых случаях значительную подвижность, которая зависит от эластичности и от размеров хрящевых или соединительнотканных образований, находящихся между данными костями.
Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы.
Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:
где инерционные коэффициенты и квазиупругие коэффициенты - величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Лагранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы
Будем искать решение уравнений (145) в виде:
где A, B, k, a - постоянные величины. Подставив эти значения в уравнения (145) и сократив на получим
Чтобы уравнения (147) давали для А и В решения, отличные от иуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при A и В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.
Отсюда для определения получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот.
Корни этого уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что иначе не будут вещественны уравнения (145) не будут иметь решений вида (146), чего для системы, находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения
Определив нз (149) , найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно эти решения будут:
где и - значения, которые я получает из (148) при и соответственно.
Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты и кг - собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой (всегда меныией) называют первым главным колебанием, а с частотой - вторым главным колебанием. Числа определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. ) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.
Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:
Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных определяемых по начальным условиям, дают общее решение уравнений (145) и определяют закон малых колебаний системы. колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если ) и колебание будет гармоническим.
Собственные частоты и коэффициенты формы не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристик.
Сопоставляя результаты этого и предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем, отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может возникать дважды: при и при ( - частота возмущающей силы). Наконец, отметим, что колебания системы с s степенями свободы будут слагаться из s колебаний с частотами которые должны определяться из уравнения степени s относительно Это связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые можно с помощью электронных вычислительных (или аналоговых) машин.
Задача 185. Определить собственные частоты и коэффициенты формы малых колебаний двойного физического маятника, образованного стержнями и 2 одинаковой массы и длины l (рис. 374, а).
Решение. Выберем в качестве обобщенных координат малые углы . Тогда , где и, при требуемой точности подсчетов, . В итоге
Из уравнений движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия
в случае двух степеней свободы имеем:
(1)
(Согласно критерию Сильвестра:
(1) система дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия . Ее решение ищется в виде:
(2)
Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний дает:
(3)
Относительно A и B это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю:
(4)
Это биквадратное уравнение называется уравнением частот, оно имеет два положительных корня , которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний:
Таким образом, каждая обобщенная координата находится как сумма двух колебаний разной частоты, которые называются главными колебанииями . При этом, как следует из системы (3), амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом:
(5)
где - коэффициенты формы главных колебаний.
В итоге решение уравнений свободных колебаний (1) окончательно принимает вид:
(6)
Входящие в(6) амплитуды , и начальные фазы , колебаний определяются из начальных условий.
Вынужденные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Динамический гаситель колебаний
Исключение нежелательных колебаний в механических системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства называются виброгасителями (демпферами).
Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей другой координате.
Пусть к механической системе помимо консервативных сил приложена возмущающая сила, которая изменяется с течением времени по гармоническому закону
Дифференциальные уравнения движения механической системы в этом случае имеют вид:
Общее решение системы линейных дифференциальных неоднородных(в данном случае) уравнений ищем как сумму двух решений: ,- общее решение системы однородных дифференциальных уравнений; -частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.
С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в виде
Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:
Решая эту систему по правилу Крамера, получим 
Поскольку совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль
при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных
колебаний или Коэффициенты A и B при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные частоты
Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных
колебаний при 
имеет вид:
Как видно, за счет выбора параметров колеблющейся системы можно добиться, например, выполнения условия А =0, т. е. амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращается в ноль.
Такое явление и называется антирезонансом.
В рассматриваемом случае это имеет место, если
Основные понятия и гипотезы теории удара. Основное уравнение теории удара
Явление, при котором за малый промежуток времени, т.е. почти мгновенно, скорости точек материальных объектов изменяются на конечные величины, называется ударом .
Так как при ударе конечное изменение скоростей происходит за весьма малый промежуток времени, то при этом возникают очень большие ускорения, а, следовательно, и очень большие силы. Эти силы действуют в течение весьма малого промежутка времени, но их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами.
Силы, возникающие при ударе в течение малого промежутка времени, но достигающие при этом большой величины, так что их импульсы за этот промежуток времени являются конечными величинами, называются ударными силами .
Малый промежуток времени, в течение которого длится удар, называется временем удара. Импульсы ударных сил за время удара называются ударными импульсами .
Пусть дана МТ массы m, которая движется под действием обычной (неударной) силы . В момент , когда рассматриваемая МТ имеет скорость – скорость до удара, на нее начинает действовать ударная сила , действие которой прекращается в момент . Определим движение МТ под действием сил и за время удара .
Применяя теорему об изменении количества движения точки, получим:
,
где – скорость точки в момент после удара.
По теореме о среднем значении определенного интеграла можно написать:
,
где и есть средние значения сил и в некоторый промежуток времени. При этом является конечной величиной; ударная сила за время удара достигает весьма большой величины (порядка ). Поэтому произведение будет пренебрежимо мало по сравнению с произведением , являющимся величиной конечной.