Математика

В уравнении гармонического колебания величина. В уравнении гармонического колебания величина, стоящая под знаком косинуса, называется

Колебания и волны

А. амплитудой

В. циклической частотой

С. начальной фазой

Начальная фаза гармонических колебаний материальной точки определяет

А. амплитуду колебаний

В. отклонение точки от положения равновесия в начальный момент времени

С. период и частоту колебаний

D. максимальную скорость при прохождении точкой положения равновесия

E. полный запас механической энергии точки

3 Для гармонического колебания, изображенного на рисунке, частота колебаний равна…

Тело совершает гармонические колебания с круговой частотой 10 с-1. Если тело при прохождении им положения равновесия имеет скорость 0,2 м/с, то амплитуда колебаний тела равна

5. Какое из ниже приведенных высказываний является верным:

А. При гармонических колебаниях возвращающая сила

В. Прямо пропорциональна смещению.

С. Обратно пропорциональна смещению.

D. Пропорциональна квадрату смещения.

E. Не зависит от смещения.

6. Уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний имеет вид:

7. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

8. Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид:

9.Верным(и) является(ются) следующее из следующих выражений:

А. Коэффициент затухания гармонических затухающих колебаний не зависит от не от кинематической, не от динамической вязкости среды, в которой происходят такие колебания.

В. Собственная частота колебаний равна частоте затухающих колебаний.

С. Амплитуда затухающих колебаний является функцией зависимости от времени (А(t)).

D. Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодичными.

10. Если массу груза 2 кг, подвешенного на пружине и совершающего гармонические колебания с периодом Т, увеличить на 6 кг, то период колебаний станет равным…

11. Скорость прохождения положения равновесия грузом массы m, колеблющегося на пружине жесткостью k с амплитудой колебаний А, равна…

12. Математический маятник совершил 100 колебаний за 314 С. Длина маятника равна…

13. Выражение, определяющее полную энергию E гармонического колебания материальной точки имеет вид…

Какие из следующих величин в процессе гармонических колебаний остаются неизменными: 1) скорость; 2) частота; 3) фаза; 4) период; 5) потенциальная энергия; 6) полная энергия.



D. изменяются все величины

Укажите все верные утверждения.1) Механические колебания могут быть свободными и вынужденными.2) Свободные колебания могут происходить только в колебательной системе.3) Свободные колебания могут происходить не только в колебательной системе. 4) Вынужденные колебания могут происходить только в колебательной системе.5) Вынужденные колебания могут происходить не только в колебательной системе.6) Вынужденные колебания могут происходить не могут происходить в колебательной системе.

А. Все утверждения верны

В. 3, 6, 8 и 7

Е.Все утверждения не верны

Что называется амплитудой колебаний?

A. Смещение.

В. Отклонение тел А.

С. Движение тел А.

D. Наибольшее отклонение тела от положения равновесия.

Какой буквой обозначают частоту?

Какова скорость тела при прохождении положения равновесия?

A. Равна нулю.

С. Минимальн А.

D. Максимальн А.

Каким свойством обладает колебательное движение?

A. Сохраняться.

В. Изменяться.

С. Повторяться.

D. Замедляться.

E. Среди ответов А - D нет правильного

Что такое период колебаний?

A. Время одного полного колебания.

В. Время колебаний до полной остановки тел А.

С. Время, затраченное на то, чтобы отклонить тело от положения равновесия.

D. Среди ответов А - D нет правильного

Какой буквой обозначают период колебаний?

Какова скорость тела при прохождении точки максимального отклонения?

A. Равна нулю.

В. Одинакова при любых положениях тел А.

С. Минимальн А.

D. Максимальн А.



E. Среди ответов А - Е нет правильного

Каково значение ускорения в точке положения равновесия?

A. Максимально.

В. Минимально.

С. Одинаково при любых положениях тел А.

D. Равно нулю.

E. Среди ответов А - Е нет правильного

Колебательная система - это

А. физическая система, в которой при отклонении от положения равновесия существуют колебания

В. физическая система, в которой при отклонении от положения равновесия возникают колебания

С. физическая система, в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания

D. физическая система, в которой при отклонении от положения равновесия не возникают и не существуют колебания

Маятник – это

А. тело, подвешенное на нити или пружине

В. твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания

С. Среди ответов нет правильного

D. твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.

Выберите верный ответ(ы) на следующий вопрос: От чего зависит частота колебаний пружинного маятника? 1) от его массы;2) от ускорения свободного падения;3) от жесткости пружины;4) от амплитуды колебаний?

Укажите, какие из перечисленных ниже волн являются продольными:1) звуковые волны в газах;2) ультразвуковые волны в жидкостях;3) волны на поверхности воды;4)радиоволны;5) световые волны в прозрачных кристаллах

От каких из перечисленных ниже параметров зависит период колебаний математического маятника: 1) массы маятника; 2) длины нити; 3) ускорения свободного падения в месте нахождения маятника; 4) амплитуды колебаний?

Источником звука является

А. любое колеблющееся тело

В. тела, колеблющиеся с частотой более 20 000 Гц

С. тела, колеблющиеся с частотой от 20 Гц до 20000 Гц

D. тела, колеблющиеся с частотой ниже 20 Гц

49. Громкость звука определяется…

А. амплитудой колебаний источника звука

В. частотой колебаний источника звука

С. периодом колебаний источника звука

D. скоростью движения источника звука

Какой волной является звук?

А. продольной

В. поперечной

С. имеет продольно-поперечный характер

53. Для нахождения скорости звука нужно…

А. длину волны разделить на частоту колебаний источника звука

В. длину волны разделить на период колебаний источника звука

С. длину волны умножить на период колебаний источника звука

D. период колебаний разделить на длину волны

Что такое гидромеханика?

A. наука о движении жидкости;

В. наука о равновесии жидкостей;

С. наука о взаимодействии жидкостей;

D. наука о равновесии и движении жидкостей.

Что такое жидкость?

A. физическое вещество, способное заполнять пустоты;

В. физическое вещество, способное изменять форму под действием сили сохранять свой объем;

С. физическое вещество, способное изменять свой объем;

D. физическое вещество, способное течь.

Давление определяется

А. отношением силы, действующей на жидкость к площади воздействия;

В. произведением силы, действующей на жидкость на площадь воздействия;

С. отношением площади воздействия к значению силы, действующей на жидкость;

D. отношением разности действующих усилий к площади воздействия.

Укажите верные высказывания

А. Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрение и движение новится турбулентным.

В. При турбулентном течении жидкости число Рейнольдса меньше критического.

С. Характер течения жидкости по трубе не зависит от скорости ее течения.

D. Кровь является ньютоновской жидкостью.

Укажите верные высказывания

А. При ламинарном течении жидкости число Рейнольдса меньше критического.

В. Вязкость ньютоновских жидкостей не зависит от градиента скорости.

С. Капиллярный метод определения вязкости основан на законе Стокса.

D. При повышении температуры жидкости ее вязкость не изменяется.

Укажите верные высказывания

А. При определении вязкости жидкости методом Стокса движение шарика в жидкости должно быть равноускоренным.

В. Число Рейнольдса является критерием подобия: при моделировании кровеносной системы:соответствие модели и натуры наблюдается тогда, когда число Рейнольдса для них одинаково.

С. Гидравлическое сопротивление тем больше, чем меньше вязкость жидкости, длина трубы и больше площадь ее поперечного сечения.

D. Если число Рейнольдса меньше критического, то движение жидкости турбулентное, если больше, то ламинарное.

Укажите верные высказывания

А. Закон Стокса получен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение шарика в жидкости.

В. При нагревании вязкость жидкости уменьшается.

С. При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами,перпендикулярными слоям.

D. При заданных внешних условиях через горизонтальную трубу постоянного сечения протекает тем больше жидкости, чем больше ее вязкость.

02. Электродинамика

1. Силовыми линиями электрического поля называются:

1. геометрическое место точек с одинаковой напряжённостью

2. линии, в каждой точке которых касательные совпадают с направлением вектора напряжённости

3. линии, соединяющие точки с одинаковой напряжённостью

3. Электростатическим полем называется:

1. электрическое поле неподвижных зарядов

2. особый вид материи, посредством которого взаимодействуют все тела, обладающие массой

3. особый вид материи, посредством которого взаимодействуют все элементарные частицы

1. энергетической характеристикой поля, величиной векторной

2. энергетической характеристикой поля, величиной скалярной

3. силовой характеристикой поля, величиной скалярной

4. силовой характеристикой поля, величиной векторной

7. В каждой точке электрического поля, созданного несколькими источниками, напряжённость равна:

1. алгебраической разности напряжённостей полей каждого из источников

2. алгебраической сумме напряжённостей полей каждого из источников

3. геометрической сумме напряжённостей полей каждого из источников

4. скалярной сумме напряжённостей полей каждого из источников

8. В каждой точке электрического поля, созданного несколькими источниками, потенциал электрического поля равен:

1. алгебраической разности потенциалов полей каждого из источников

2. геометрической сумме потенциалов полей каждого из источников

3. алгебраической сумме потенциалов полей каждого из источников

10. Единицей измерения дипольного момента токового диполя в системе СИ является:

13. Работа электрического поля по перемещению заряженного тела из точки 1 в точку 2 равна:

1. произведению массы на напряжённость

2. произведению заряда на разность потенциалов в точках 1 и 2

3. произведению заряда на напряжённость

4. произведению массы на разность потенциалов в точках 1 и 2

15. Система из двух точечных электродов, находящихся в слабопроводящей среде при постоянной разности потенциалов между ними, называется:

1. электрическим диполем

2. токовым диполем

3. электролитической ванной

16. Источником электростатического поля являются (указать неверное):

1. одиночные заряды

2. системы зарядов

3. электрический ток

4. заряженные тела

17. Магнитным полем называется:

1. одна из составляющих электромагнитного поля, посредством которой взаимодействуют неподвижные электрические заряды

2. особый вид материи, посредством которого взаимодействуют тела, обладающие массой

3. одна из составляющих электромагнитного поля, посредством которой взаимодействуют движущиеся электрические заряды

18. Электромагнитным полем называется:

1. особый вид материи, посредством которого взаимодействуют электрические заряды

2. пространство, в котором действуют силы

3. особый вид материи, посредством которого взаимодействуют тела, обладающие массой

19. Переменным электрическим током называется электрический ток:

1. изменяющийся только по величине

2. изменяющийся и по величине и по направлению

3. величина и направление которого не меняются со временем

20. Сила тока в цепи синусоидального переменного тока совпадает по фазе с напряжением, если цепь состоит:

1. из омического сопротивления

2. из емкостного сопротивления

3. из индуктивного сопротивления

24. Импедансом цепи переменного тока называется:

1. полное сопротивление цепи переменного тока

2. реактивная составляющая цепи переменного тока

3. омическая составляющая цепи переменного тока

27. Носителями тока в металлах являются:

1. электроны

4. электроны и дырки

28. Носителями тока в электролитах являются:

1. электроны

4. электроны и дырки

29. Проводимость биологических тканей является:

1. электронной

2. дырочной

3. ионной

4. электронно-дырочной

31. Раздражающее действие на организм человека оказывает:

1. переменный ток высокой частоты

2. постоянный ток

3. ток низкой частоты

4. все перечисленные виды токов

32. Синусоидальным электрическим током называется электрический ток, в котором по гармоническому закону меняется со временем:

1. амплитудное значение силы тока

2. мгновенное значение силы тока

3. эффективное значение силы тока

34. В электрофизиотерапии применяются:

1. исключительно переменные токи высокой частоты

2. исключительно постоянные токи

3. исключительно импульсные токи

4. все перечисленные виды токов

Импедансом называется. . .

1. зависимость сопротивления цепи от частоты переменного тока;

2. активное сопротивление цепи;

3. реактивное сопротивление цепи;

4. полное сопротивление цепи.

Поток протонов, летящий прямолинейно, попадает в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна к направлению полета частиц. По какой из траекторий будет двигаться поток в магнитном поле?

1. По окружности

2. По прямой

3. По параболе

4. По винтовой линии

5. По гиперболе

С помощью катушки, подключенной к гальванометру, и полосового магнита моделируются опыты Фарадея. Как изменяется показание гальванометра, если магнит вносить в катушку сначала медленно, а затем значительно быстрее?

1. показания гальванометра увеличатся

2. изменений не произойдет

3. показания гальванометра уменьшатся

4. стрелка гальванометра отклонится в противоположную сторону

5. все определяется намагниченностью магнита

В цепь переменного тока включены последовательно резистор, конденсатор и катушка. Амплитуда колебаний напряжения на резисторе 3 В, на конденсаторе 5 В, на катушке 1 В. Какова амплитуда колебаний напряжения на трех элементах цепи.

174. Электромагнитная волна излучается... .

3. покоящимся зарядом

4. электрическим током

5. другие причины

Что называют плечом диполя?

1. расстояние между полюсами диполя;

2.расстояние между полюсами, умноженное на величину заряда;

3.кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы;

4.расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Под действием однородного магнитного поля по окружности вращаются две заряженные частицы с одинаковыми скоростями. Масса второй частицы в 4 раза больше массы первой, заряд второй частицы в два раза превышает заряд первой. Во сколько раз радиус окружности, по которой движется вторая частица, больше радиуса первой частицы?

Что такое поляризатор.

3. устройство, преобразующее естественный свет в поляризованный.

Что такое поляриметрия?

1. превращение естественного света в поляризованный;

4. вращение плоскости колебаний поляризованного света.

Аккомодацией называют. . .

1. приспособление глаза к видению в темноте;

2. приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов;

3. приспособление глаза к восприятию различных оттенков одного цвета;

4. величину, обратную пороговой яркости.

152. Преломляющие среды глаза:

1) роговица, жидкость передней камеры, хрусталик, стекловидное тело;

2) зрачок, роговица, жидкость передней камеры, хрусталик, стекловидное тело;

3) воздух-роговица, роговица - хрусталик, хрусталик - зрительные клетки.

Что такое волна?

1. любой процесс, более или менее точно повторяющийся через равные промежутки времени;

2. процесс распространения каких-либо колебаний в среде;

3. изменение смещения во времени по закону синуса или косинуса.

Что такое поляризатор.

1. устройство, с помощью которого измеряют концентрацию сахарозы;

2. устройство, вращающее плоскость колебаний светового вектора;

3. устройство, преобразующее естественный свет в поляризованный.

Что такое поляриметрия?

1. превращение естественного света в поляризованный;

2. прибор для определения концентрации раствора вещества;

3. метод определения концентрации оптически-активных веществ;

4. вращение плоскости колебаний поляризованного света.

180. Датчики используются для:

1. измерения электрического сигнала;

2. преобразования медико-биологической информации в электрический сигнал;

3. измерения напряжения;

4. электромагнитного воздействия на объект.

181. электроды используются только для съема электрического сигнала:

182. электроды используются для:

1. первичного усиления электрического сигнала;

2. преобразования измеряемой величины в электрический сигнал;

3. электромагнитного воздействия на объект;

4. съема биопотенциалов.

183. К генераторным датчикам относятся:

1. индуктивные;

2. пьезоэлектрические;

3. индукционные;

4. реостатные.

Установите соответствие правильной последовательности формирования изображения предмета в микроскопе при визуальном рассмотрении на расстоянии наилучшего зрения: 1) Окуляр.2) Предмет.3) Мнимое изображение.4) Действительное изображение.5) Источник света.6) Объектив

190. Укажите правильное высказывание:

1) Лазерное излучение когерентное, и именно поэтому оно широко применяется в медицине.

2) По мере распространения света в среде с инверсной населенностью его интенсивность увеличивается.

3) Лазеры создают большую мощность излучения, так как их излучение монохроматическое.

4) Если возбужденная частица самопроизвольно переходит на нижний уровень, то при этом происходит индуцированное излучение фотона.

1. Только 1, 2 и 3

2. Все - 1,2,3 и 4

3. Только 1 и 2

4. Только 1

5. Только 2

192. Электромагнитная волна излучается... .

1. зарядом, который движется с ускорением

2. равномерно движущимся зарядом

3. покоящимся зарядом

4. электрическим током

5. другие причины

Какие из перечисленных условий приводят к возникновению электромагнитных волн: 1) Изменение во времени магнитного поля. 2) Наличие неподвижных заряженных частиц. 3)Наличие проводников с постоянным током. 4) Наличие электростатического поля. 5) Изменение во времени электрического поля.

Чему равен угол между главными сечениями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшилась в 4 раза? Считая коэффициенты прозрачности поляризатора и анализатора равными 1, укажите правильный ответ.

2. 45 град

Известно, что явление вращения плоскости поляризации заключается в повороте плоскости колебаний световой волны на угол при прохождении ею расстояния d в оптически активном веществе. Какая связь между углом поворота и d для твердых оптически активных тел?

Поставить в соответствие виды люминесценции с способами возбуждения: 1. а - ультрафиолетовое излучение; 2. б - пучок электронов; 3. в - электрическое поле; 4. г - катодолюминесценция; 5. д - фотолюминесценция; 6. е - электролюминесценция

Ад бг ве

18. Свойства лазерного излучения: а. широкий спектр; б. монохроматическое излучение; в. высокая направленность пучка; г. сильная расходимость пучка; д. когерентное излучение;

Что такое рекомбинация?

1. взаимодействие ионизирующей частицы с атомом;

2. превращение атома в ион;

3. взаимодействие иона с электронами с образованием ими атома;

4. взаимодействие частицы с античастицей;

5. изменение комбинации атомов в молекуле.

36. Укажите правильные высказывания:

1) Ион - это электрически заряженная частица, образующаяся при потере или присоединении электронов атомами, молекулами, радикалами.

2) Ионы могут иметь положительный или отрицательный заряд, кратный заряду электрона.

3) Свойства иона и атома одинаковы.

4) Ионы могут находиться в свободном состоянии или в составе молекул.

37. Укажите правильные высказывания:

1) Ионизация - образование ионов и свободных электронов из атомов, молекул.

2) Ионизация - превращение атомов, молекул в ионы.

3) Ионизация - преобразование ионов в атомы, молекулы.

4) Энергия ионизации - энергия, получаемая электроном в атоме, достаточная для преодоления энергии связи с ядром и его ухода из атома.

38. Укажите правильные высказывания:

1) Рекомбинация - образование атома из иона и электрона.

2) Рекомбинация - образование двух гамма-квантов из электрона и позитрона.

3) Аннигиляция - взаимодействие иона с электроном с образованием атома.

4) Аннигиляция превращение частиц и античастиц в результате взаимодействия в электромагнитные излучения.

5) Аннигиляция - превращение материи из одной формы в другую, один из видов взаимопревращения частиц.

48. Укажите вид ионизирующего излучения, коэффициент качества которого имеет наибольшее значение:

1. бета-излучение;

2. гамма-излучение;

3. рентгеновское излучение;

4. альфа-излучение;

5. поток нейтронов.

По люминесценции изучали степень окисления плазмы крови пациента. Использовали плазму, содержащую, среди прочих составляющих, продукты окисления липидов крови, способные люминесцировать. За определенный интервал времени смесь, поглотив 100 квантов света с длиной волны 410 нм, высветила 15 квантов излучения с длиной волны 550 нм. Каков квантовый выход люминесценции данной плазмы крови?

Какие из перечисленных свойств относятся к тепловому излучению: 1-электромагнитная природа излучения, 2-излучение может находиться в равновесии с излучающим телом, 3-сплошной спектр частот, 4-дискретный спектр частот.

1. Только 1, 2 и 3

2. Все - 1,2,3 и 4

3. Только 1 и 2

4. Только 1

5. Только 2

По какой формуле вычисляется вероятность противоположного события, если известна вероятность Р(А) события А?

A. Р(Aср) = 1 + Р(А);

B. Р(Aср) = Р(А) · Р(Aср·А);

C. Р(Aср) = 1 - Р(А).

Какая из формул верна?

А. Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(ВС);

В. Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С);

С. Р(АВС) = Р(А/В)Р(В/А)Р(В/С).

43. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn , независимых друг от друга, равна

А. 1 – (Р(А1) · Р(А2)Р ·…· Р(Аn));

В. 1 – (Р(А1) · Р(А2/ А1)Р ·…· Р(Аn));

С. 1 – (Р(Aср1) · Р(Aср2)Р ·…· Р(Aсрn)).

В приборе имеются три независимо установленных сигнализатора об аварии. Вероятность того, что в случае аварии сработает первый равна 0.9, второй - 0.7, третий - 0.8. Найдите вероятность того, что при аварии не сработает ни один сигнализатор

62. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

63. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

64. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что в мишень попадет только второй стрелок.

65. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

Участковый врач в течение недели принял 35 пациентов, из которых пяти пациентам был поставлен диагноз – язва желудка. Определите относительную частоту появления на приеме пациента с заболеванием желудка.

76. События А и В противоположные, если Р(А) = 0,4, тогда Р(В) = ...

D. верного ответа нет.

77. Если события А и В несовместимые и Р(А) = 0,2 а Р(В) = 0,05, то Р(А + В) =...

78. Если Р(В/А) = Р(В), то события А и В:

А. достоверные;

В. противоположные;

С. зависимые;

D. верного ответа нет

79. Условная вероятность события А при условии записывается в виде:

Колебания и волны

В уравнении гармонического колебания величина, стоящая под знаком косинуса, называется

А. амплитудой

В. циклической частотой

С. начальной фазой

E. смещением от положения равновесия

§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

где х - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t - время; А, ω, φ- соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; - фаза колебаний в моментt .

Угловая частота колебаний

где ν и Т - частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

Ускорение при гармоническом колебании

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2 - их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν 1 и ν 2 ,

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальны­ми фазами φ 1 и φ 2 ,

Если начальные фазы φ 1 и φ 2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

, или ,где m - масса точки; k - коэффициент квазиупругой силы (k =т ω 2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m - масса тела; k - жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

Приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не болееошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний , или ,

где r - коэффициент сопротивления; δ - коэффициент затухания: ;ω 0 - собственная угловая частота колебаний *

Уравнение затухающих колебаний

где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

I

где А 0 - амплитуда колебаний в момент t =0.

Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где - внешняя периодическая сила, действующая наколеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F 0 - ее амплитудное значение;

Амплитуда вынужденных колебаний

Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x (0)=см их , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t =0.

Решение. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент t =0 через начальную фазу:

Отсюда найдем начальную фазу:

* В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ω (без индекса 0).

Подставим в это выражение заданные значения x (0) и А: φ= =. Значению аргументаудовлетворяютдва значения угла:

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла φ удовлет-­ воряет еще и условию , найдем сначала:

Подставив в это выражение значение t =0 и поочередно значения начальных фаз и, найдем

Так как всегдаA >0 и ω>0, то условиюудовлетворяет толь­ко первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза

По найденному значению φ постро-­ им векторную диаграмму (рис. 6.1). Пример 2. Материальная точка массой т =5 г совершает гармоничес-­ кие колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A =3 см. Оп-­ ределить: 1) скорость υ точки в мо-­ мент времени, когда смещение х= = 1,5 см; 2) максимальную силу F max , действующую на точку; 3) Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­ ки.

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

, или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус - ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

где а - ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив : . Подставив выражение скорости в фор­-мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m 3 =400 г укреплены шарики малых размеров массами m 1 =200 г и m 2 =300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

гдеJ - т - его масса; l С - расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J 1 и J 2 и стержня J 3:

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J 3 = =. Подставив полученные выражения J 1 , J 2 и J 3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­ зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

Расстояние l С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

Подставив значения величин m 1 , m 2 , m , l и произведя вычисле­ния, найдем

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3т 1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром и массойт 1 . Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

(1)

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса; l C - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J 1 и обруча J 2:

(2).

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по форму-­ ле . В данном случает= 3т 1 и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­ зовавшись теоремой Штейнера ,где J - момент инерции относительно про-­ извольной оси; J 0 - момент инерции отно-­ сительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а - расстояние между указанными осями. Применив эту фор-­ мулу к обручу, получим

Подставив выражения J 1 и J 2 в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J , l с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T =2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле-­ ния, выражаемых уравнениями ;х 2 = =, гдеА 1 = 1 см, A 2 =2 см, с,с,ω = =. 1. Определить начальные фазыφ 1 и φ 2 составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

Рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим

где - разность фаз составляющих колебаний.Так как , то, подставляя найденныезначения φ 2 и φ 1 получим рад.

Подставим значения А 1 , А 2 и в формулу(3) и произведем вычисления:

A = 2,65 см.

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­ лим непосредственно из рис. 6.4: ,отку-­ да начальная фаза

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея ξ=dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению элек­тродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Сле­довательно, возникновение э.д.с. электро­магнитной индукции возможно и в непод­вижном контуре, находящемся в перемен­ном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы - силы неэлектростатического про­исхождения (см. § 97). Поэтому возника­ет вопрос о природе сторонних сил в дан­ном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с хи­мическими процессами в контуре; их воз­никновение также нельзя объяснить сила­ми Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнит­ное поле возбуждает в окружающем про­странстве электрическое поле, которое

и является причиной возникновения ин­дукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в ко­тором появляется э.д.с., играет второсте­пенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.

первое уравнение Максвелла утверждает, что изменения электрического поля порождают вихревое магнитное поле.

Второе уравнен ие Максвелла выражает закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС в любом замкнутом контуре равна скорости изменения (т. е. производной по времени) магнитного потока. Но ЭДС равна касательной составляющей вектора напряженности электрического поля Е, помноженной на длину контура. Чтобы перейти к ротору, как и в первом уравнении Максвелла, достаточно разделить ЭДС на площадь контура, а последнюю устремить к нулю, т. е. взять маленький контур, охватывающий рассматриваемую точку пространства (рис. 9,в). Тогда в правой части уравнения будет уже не поток, а магнитная индукция, поскольку поток равен индукции, помноженной на площадь контура.
Итак, получаем: rotE = - dB/dt.
Таким образом, вихревое электрическое поле порождается изменениями магнитного, что и подано на рис. 9,в и представлено только что приведенной формулой.
Третье и четвертое уравнения Максвелла имеют дело с зарядами и порождаемыми ими полями. Они основаны на теореме Гаусса, утверждающей, что поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.

На уравнениях Максвелла основана целая наука - электродинамика, позволяющая строгими математическими методами решить множество полезных практических задач. Можно рассчитать, например, поле излучения различных антенн как в свободном пространстве, так и вблизи поверхности Земли или около корпуса какого-либо летательного аппарата, например, самолета или ракеты. Электродинамика позволяет рассчитать конструкцию волноводов и объемных резонаторов - устройств, применяющихся на очень высоких частотах сантиметрового и миллиметрового диапазонов волн, где обычные линии передачи и колебательные контуры уже непригодны. Без электродинамики невозможно было бы развитие радиолокации, космической радиосвязи, антенной техники и многих других разделов современной радиотехники.

Ток смещения

ТОК СМЕЩЕ́НИЯ, величина, пропорциональная скорости изменения переменного электрического поля в диэлектрике или вакууме. Название «ток» связано с тем, что ток смещения, так же как и ток проводимости, порождает магнитное поле.

При построении теории электромагнитного поля Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу (впоследствии подтвержденную на опыте) о том, что магнитное поле создается не только движением зарядов (током проводимости, или просто током), но и любым изменением во времени электрического поля.

Понятие ток смещения введено Максвеллом для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем.

В соответствии с теорией Максвелла, в цепи переменного тока, содержащей конденсатор, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, какое создавал бы ток, (названный током смещения), если бы он протекал между обкладками конденсатора. Из этого определения следует, что J см = J (т. е., численные значения плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны), и, следовательно, линии плотности тока проводимости внутри проводника непрерывно переходят в линии плотности тока смещения между обкладками конденсатора. Плотность тока смещения j см характеризует скорость изменения электрической индукции D во времени:

J см = + ?D/?t.

Ток смещения не выделяет джоулевой теплоты, его основное физическое свойство - способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Вихревое магнитное поле создается полным током, плотность которого j , равна сумме плотности тока проводимости и тока смещения?D/?t. Именно поэтому для величины?D/?t и было введено название ток.

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 или

где две точки сверху означают двукратное дифференцирование по времени. Колебания гармонического осциллятора есть важный пример периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений настолько малых, что можно было бы элементы контура считать линейными).

Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебанияминазывают движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

дает зависимость колеблющейся величины S от времени t ; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде

дважды продифференцируем его по времени:

Видно, что выполняется следующее соотношение:

которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и j 0); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

Убедимся в этом, сложив уравнения системы (4.1)

Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:

Можно найти такие величины А и φ0 , чтобы удовлетворялись уравнения

Рассматривая (4.3) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:

Подставляя (4.3) в (4.2), получим:

Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Решим систему

Решение системы:

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω

Период биений:

Определение частоты тона (звука определенной высоты биений эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.


Похожая информация.



Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Изменения какой- либо величины описывают с помощью законов синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими. Рассмотрим контур, из конденсатора (который перед включением в цепь зарядили) и катушки индуктивности (рис.1).

Рисунок 1.

Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:

$q=q_0cos({\omega }_0t+{\alpha }_0)$ (1)

где $t$-время; $q$ заряд, $q_0$-- максимальное отклонение заряда от своего среднего (нулевого) значения в ходе изменений; ${\omega }_0t+{\alpha }_0$- фаза колебаний; ${\alpha }_0$- начальная фаза; ${\omega }_0$- циклическая частота. За период фаза меняется на $2\pi $.

Уравнение вида:

уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде для колебательного контура, который не будет содержать активного сопротивления.

Любой вид периодических колебаний можно точности представить как сумму гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Для периода колебаний цепи, которая состоит из катушки и конденсатора мы получим формулу Томсона:

Если мы продифференцируем выражение (1) по времени, то можем получить формулу фунци $I(t)$:

Напряжение на конденсаторе, можно найти как:

Из формул (5) и (6) следует, что сила тока опережает напряжение на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}.$

Гармонические колебания можно представлять как в виде уравнений, функций так и векторными диаграммами.

Уравнение (1) представляет свободные незатухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний

Изменение заряда ($q$) на обкладках конденсатора в контуре, при учете сопротивления (рис.2) будет описываться дифференциальным уравнением вида:

Рисунок 2.

Если сопротивление, которое входит в состав контура $R \

где $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ -- циклическая частота колебаний. $\beta =\frac{R}{2L}-$коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний выражается как:

В том случае, если при $t=0$ заряд на конденсаторе равен $q=q_0$, тока в цепи нет, то для $A_0$ можно записать:

Фаза колебаний в начальный момент времени (${\alpha }_0$) равна:

При $R >2\sqrt{\frac{L}{C}}$ изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.

Пример 1

Задание: Максимальное значение заряда равно $q_0=10\ Кл$. Он изменяется гармонически с периодом $T= 5 c$. Определите максимально возможную силу тока.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем:

Для нахождения силы тока выражение (1.1) необходимо продифференцировать по времени:

где максимальным (амплитудным значением) силы тока является выражение:

Из условий задачи нам известно амплитудное значение заряда ($q_0=10\ Кл$). Следует найти собственную частоту колебаний. Ее выразим как:

\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.4\right).\]

В таком случае искомая величина будет найдена при помощи уравнений (1.3) и (1.2) как:

Так как все величины в условиях задачи представлены в системе СИ, проведем вычисления:

Ответ: $I_0=12,56\ А.$

Пример 2

Задание: Каков период колебаний в контуре, который содержит катушку индуктивности $L=1$Гн и конденсатор, если сила тока в контуре изменяется по закону: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A\right)?$ Какова емкость конденсатора?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока, которое приведено в условиях задачи:

мы видим, что ${\omega }_0=20\pi $, следовательно, мы можем вычислить период Колебаний по формуле:

\ \

По формуле Томсона для контура, который содержит катушку индуктивности и конденсатор, мы имеем:

Вычислим емкость:

Ответ: $T=0,1$ c, $C=2,5\cdot {10}^{-4}Ф.$