Как найти периметр треугольника с прямым углом. Как найти периметр треугольника? Отвечаем на вопрос

Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, последовательно соединенных между собой.

Треугольник имеет три стороны и три угла.

Существует множество видов треугольников, и все они обладают разными свойствами. Перечислим основные виды треугольников:

Разносторонний (все стороны разной длины);
Равнобедренный (две стороны равны, два угла при основании равны);
Равносторонний (все стороны и все углы равны).

Однако для всех видов треугольников действует одна универсальная формула нахождения периметра треугольника – это сумма длин всех сторон треугольника.

Онлайн-калькулятор

Формула периметра треугольника

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

A , b , c a, b, c a , b , c - длины сторон треугольника.

Разберем задачи на нахождение периметра треугольника.

Задача

Треугольник имеет стороны: a = 28 см, b = 46 см, c = 51 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение
Воспользуемся формулой нахождения периметра треугольника и подставим вместо a a a , b b b и c c c их численные значения:
P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c
P = 28 + 46 + 51 = 125 см P = 28 + 46 + 51 = 125\text{ см} P = 2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 см

Ответ:
P = 125 см. P = 125 \text{ см.} P = 1 2 5 см .

Задача

Треугольник является равносторонним со стороной 23 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

Но по условию у нас равносторонний треугольник, то есть все стороны у него равны. В этом случае формула примет следующий вид:

P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3 a

Подставляем в формулу численное значение и находим периметр треугольника:

P = 3 ⋅ 23 = 69 см P = 3\cdot23 = 69\text{ см} P = 3 ⋅ 2 3 = 6 9 см

Ответ
P = 69 см. P = 69 \text{ см.} P = 6 9 см .

Задача

В равнобедренном треугольнике боковая сторона b равна 14 см, а основание a – 9 см. Найти периметр треугольника.

Решение
Воспользуемся формулой нахождения периметра треугольника:

P = a + b + c P = a + b + c P = a + b + c

Но по условию у нас равнобедренный треугольник, то есть боковые стороны у него равны. В этом случае формула примет следующий вид:

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2 b + a

Подставляем в формулу численные значения и находим периметр треугольника:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 см P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text{ см} P = 2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 см

Ответ
P = 37 см. P = 37\text{ см.} P = 3 7 см .

Как найти периметр треугольника? Таким вопросом задавался каждый из нас, учась в школе. Попробуем вспомнить все, что мы знаем об этой удивительной фигуре, а также ответить на заданный вопрос.

Ответ на вопрос о том, как найти периметр треугольника, обычно является довольно-таки простым - требуется всего-лишь выполнить процедуру сложения длин всех его сторон. Однако есть ещё несколько простых методов искомой величины.

Советы

В том случае, если радиус (r) окружности, которая вписана в треугольник, и его площадь (S) известны, то ответить на вопрос о том, как найти периметр треугольника, довольно просто. Для этого вам необходимо воспользоваться обычной формулой:

Если известны два угла, допустим, α и β, которые прилегают к стороне, и сама длина стороны, то периметр можно найти с помощью весьма и весьма популярной формулы, которая имеет вид:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Если вы знаете длины смежных сторон и угол β, находящийся между ними, то для того, чтобы найти периметр, требуется воспользоваться Периметр вычисляется по формуле:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

где b2 и а2 являются квадратами длин смежных сторон. Подкоренное выражение - это длина третьей стороны, которая неизвестна, выраженная посредством теоремы косинусов.

Если вы не знаете, как найти периметр то здесь, на самом деле, нет ничего сложного. Вычислите его по формуле:

где b - основание треугольника, а - его боковые стороны.

Для нахождения периметра правильного треугольника следует воспользоваться простейшей формулой:

где а - длина стороны.

Как найти периметр треугольника, если известны только радиусы окружностей, которые описаны около него или вписаны в него? Если треугольник является равносторонним, то тогда следует применить формулу:

P = 3R√3 = 6r√3,

где R и r являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно.

Если треугольник является равнобедренным, то для него применима формула:

P=2R (sinβ + 2sinα),

где α - это угол, который лежит у основания, а β - угол, который противолежит основанию.

Зачастую для решения математических задач требуется глубочайший анализ и специфическое умение находить и выводить требуемые формулы, а это, как многим известно, довольно непростая работа. Хотя некоторые задачи можно решить всего лишь с помощью одной-единственной формулы.

Давайте рассмотрим формулы, которые являются базовыми для ответа на вопрос о том, как найти периметр треугольника, по отношению к самым разнообразным типам треугольников.

Безусловно, главное правило для нахождения периметра треугольника - это данное утверждение: для нахождения периметра треугольника требуется сложить длины всех его сторон по соответствующей формуле:

где b, a и с - это длины сторон треугольника, а Р - периметр треугольника.

Есть несколько частных случаев данной формулы. Допустим, ваша задача формулируется следующим образом: «как найти периметр прямоугольного треугольника?» В таком случае вам следует воспользоваться следующей формулой:

P = b + a + √(b2 + a2)

В этой формуле b и а являются непосредственными длинами катетов прямоугольного треугольника. Несложно догадаться, что вместо стороны с (гипотенузы) используется выражение, полученное по теореме великого ученного древности - Пифагора.

Если требуется решить задачу, где треугольники являются подобными, то логично было бы воспользоваться данным утверждением: отношение периметров соответствует коэффициенту подобия. Допустим, у вас есть два подобных треугольника - ΔABC и ΔA1B1C1. Тогда для нахождения коэффициента подобия необходимо разделить периметр ΔABC на периметр ΔA1B1C1.

В заключение можно отметить, что периметр треугольника можно найти при помощи самых различных методик, в зависимости от тех исходных данных, которые у вас имеются. Необходимо добавить, что существуют некоторые частные случаи для прямоугольных треугольников.

Советы

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Если вы знаете длины смежных сторон и угол β, находящийся между ними, то для того, чтобы найти периметр, требуется воспользоваться теоремой косинусов. Периметр вычисляется по формуле:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

Если вы не знаете, как найти периметр равнобедренного треугольника, то здесь, на самом деле, нет ничего сложного. Вычислите его по формуле:

где b - основание треугольника, а - его боковые стороны.

Для нахождения периметра правильного треугольника следует воспользоваться простейшей формулой:

где а - длина стороны.

P = 3R√3 = 6r√3,

где R и r являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно.

Если треугольник является равнобедренным, то для него применима формула:

P=2R (sinβ + 2sinα),

где α - это угол, который лежит у основания, а β - угол, который противолежит основанию.

где b, a и с - это длины сторон треугольника, а Р - периметр треугольника.

P = b + a + √(b2 + a2)

Треугольник являет собой одну из фундаментальных геометрических фигур, представляющих собой три пересекающихся отрезка прямых. Эта фигура была известна еще ученым Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Китая, которые и вывели большинство формул и закономерностей, используемых учеными, инженерами и конструкторами до сих пор.

К основным составным частям треугольника относятся:

Вершины - точки пересечения отрезков.

Стороны - пересекающиеся отрезки прямых.

Исходя из этих составных частей, формулируют такие понятия, как периметр треугольника, его площадь, вписанная и описанная окружность. Еще со школы известно, что периметр треугольника представляет собой числовое выражение суммы всех трех его сторон. В то же время формул для нахождения данной величины известно великое множество, в зависимости от тех исходных данных, которые есть у исследователя в том или ином случае.

1. Самый простой способ нахождения периметра треугольника используется в том случае, когда известны числовые значения всех трех его сторон (x,y,z), как следствие:

2. Периметр равностороннего треугольника можно найти, если вспомнить, что у данной фигуры все стороны, впрочем, как и все углы, равны. Зная длину этой стороны, периметр равностороннего треугольника можно определить по формуле:

3. У равнобедренного треугольника, в отличие от равностороннего, только две боковые стороны имеют одно и то же числовое значение, поэтому в этом случае в общем виде периметр будет находиться следующим образом:

4. Следующие способы необходимы в тех случаях, когда известны числовые значения не всех сторон. Например, если в исследовании есть данные о двух сторонах, а также известен угол между ними, то периметр треугольника может быть найден с помощью определения третьей стороны и известного угла. В этом случае эта третья сторона будет найдена по формуле:

z= 2x+2y-2xycosβ

Исходя из этого, периметр треугольника будет равен:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. В том случае, когда изначально дана длина не более чем одной стороны треугольника и известны числовые величины двух углов прилегающих к ней, то периметр треугольника можно вычислить, опираясь на теорему синусов:

P = x+sinβ х/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. Бывают случаи, когда для нахождения периметра треугольника используются известные параметры вписанной в него окружности. Данная формула также известна большинству еще со школьной скамьи:

P= 2S/r (S - площадь окружности, тогда как r - ее радиус).

Из всего вышеприведенного видно, что величина периметра треугольника может быть найдена множеством способов, исходя из тех данных, которыми владеет исследователь. Кроме того, есть еще несколько частных случаев нахождения данной величины. Так, периметр является одной из важнейших величин и характеристик прямоугольного треугольника.

Как известно, таким треугольником называют фигуру, две стороны которой образуют прямой угол. Периметр прямоугольного треугольника находится через числовое выражение суммы обоих катетов и гипотенузы. В том случае, если исследователю известны данные только о двух сторонах, оставшуюся можно вычислить с помощью знаменитой теоремы Пифагора: z= (x2 + y2), если известны оба катета, или x= (z2 - y2), если известна гипотенуза и катет.

В том случае, если известна длина гипотенузы и один из прилежащих у ней углов, то две другие стороны находятся по формулам: х= z sinβ , y= z cosβ. В этом случае периметр будет равен:

P= z(cosβ + sinβ +1)

Также частным случаем является вычисление периметра правильного (или равностороннего) треугольника, то есть такой фигуры, у которой все стороны и все углы равны. Вычисление периметра такого треугольника по известной стороне никакой проблемы не составляет, однако, зачастую исследователю известны какие-то другие данные. Так, если известен радиус вписанной окружности, периметр правильного треугольника находится по формуле:

А если дана величина радиуса описанной окружности, периметр правильного треугольника будет найден следующим образом:

Формулы нужно запомнить, чтобы успешно применть на практике.

Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю,

Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.

Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

Альтернативный вариант

В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

Периметр по двум сторонам

Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольникеявляется наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

биссектриса вершинного угла;
медиана к основанию;
высота треугольника;
срединный перпендикуляр.

Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

Полезное видео: задачи на периметр труегольника

Треугольник прямоугольный

Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле: