Неравенства с натуральным логарифмом. Неравенства

Решение простейших логарифмических неравенств и неравенств, где основание логарифма фиксировано, мы рассматривали в прошлом уроке .

А что делать, если в основании логарифма стоит переменная?

Тогда нам на помощь придет рационализация неравенств. Чтобы понять, как это работает, давайте рассмотрим, например, неравенство:

$$\log_{2x} x^2 > \log_{2x} x.$$

Как положено, начнем с ОДЗ.

ОДЗ

$$\left[ \begin{array}{l}x>0,\\ 2x ≠ 1. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

Давайте рассуждать, как если бы мы решали неравенство с фиксированным основанием. Если основание больше единицы, избавляемся от логарифмов, и знак неравенства не меняется, если меньше единицы - меняется.

Запишем это в виде системы:

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x>1,\\ x^2 > x; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Для дальнейших рассуждений перенесем все правые части неравенств влево.

$$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{l}2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Что у нас получилось? Получилось, что нам нужно, чтобы выражения `2x-1` и `x^2 - x` были одновременно либо положительными, либо отрицательными. Такой же результат получится, если мы решим неравенство:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Это неравенство так же как и исходная система верно, если оба множителя либо положительны, либо отрицательны. Получается можно от логарифмического неравенства перейти к рациональному (учтя при этом ОДЗ).

Сформулируем метод рационализации логарифмических неравенств $$\log_{f(x)} g(x) \vee \log_{f(x)} h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \vee 0,$$ где `\vee` - это любой знак неравенства. (Для знака `>` мы только что проверили справедливость формулы. Для остальных предлагаю проверить самостоятельно - так запомнится лучше).

Вернемся к решению нашего неравенства. Разложив на скобки (чтобы было лучше видно нули функции), получим

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Метод интервалов даст следующую картину:

(Поскольку неравенство строгое и концы интервалов нас не интересуют, они не закрашены.) Как видно, полученные интервалы удовлетворяют ОДЗ. Получили ответ: `(0,\frac{1}{2}) \cup (1,∞)`.

Пример второй. Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

$$\log_{2-x} 3 \leqslant \log_{2-x} x.$$

ОДЗ

$$\left\{\begin{array}{l}2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l}x < 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \end{array}\right.$$

Решение неравенства

По только что полученному нами правилу рационализации логарифмических неравенств, получим, что данное неравенство тождественно (с учетом ОДЗ) следующему:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Совместив это решение с ОДЗ, получим ответ: `(1,2)`.

Третий пример. Логарифм от дроби

$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant -1.$$

ОДЗ

$$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x+5}{6-5x}>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end{array} \right.$$

Поскольку система относительно сложная, давайте сразу нанесем решение неравенств на числовую ось:

Таки образом, ОДЗ: `(0,1)\cup \left(1,\frac{6}{5}\right)`.

Решение неравенства

Представим `-1` в виде логарифма с основанием `x`.

$$\log_x\frac{4x+5}{6-5x} \leqslant \log_x x^{-1}.$$

С помощью рационализации логарифмического неравенства получим рациональное неравенство:

$$(x-1)\left(\frac{4x+5}{6-5x} -\frac{1}{x}\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac{4x^2+5x - 6+5x}{x(6-5x)}\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac{2x^2+5x - 3}{x(6-5x)}\right)\leqslant0.$$

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию - это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log 3 x > log 3 5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log 3 x 1 > log 3 x 2 следует, что x 1 > x 2 .

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом - сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому - «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы - решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x :

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Выражение 5 -x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2) 2 .

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано - разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения.

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0

Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.

Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».

Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:

f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.

Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.

Задача. Решите неравенство:

Для начала выпишем ОДЗ логарифма:

Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:

Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x 2) · x 2 < 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2 < 0.

Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:

Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.

Преобразование логарифмических неравенств

Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:

Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.

Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:

Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Задача. Решите неравенство:

Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Затем - нули знаменателя:

x − 1 = 0;
x = 1.

Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:

Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:

Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:

log 2 (x − 1) 2 < 2;
log 2 (x − 1) 2 < log 2 2 2 .

Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

(f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) < 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x 2 − 2x + 1 − 4 < 0;
x 2 − 2x − 3 < 0;
(x − 3)(x + 1) < 0;
x ∈ (−1; 3).

Получили два множества:

ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).

Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:

Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.

При решении логарифмических неравенств за основу берем свойства логарифмических функций . А именно то, что функция у =log a x при а > 1 будет монотонно возрастающей, а при 0 < а < 1 - монотонно убывающей.

Проанализируем преобразования необходимые для решения неравенства

log 1/5 (x - l) > - 2.

Первоначально требуется уравнять основания логарифмов , в указанном случае показать правую часть в виде логарифма с необходимым основанием . Преобразуем -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25 , далее укажем выбранное неравенство в виде:

log 1/5 (x- l) > log 1/5 25.

Функция у = log 1/5 x будет монотонно убывающей. Получается, большему значению этой функции соответствует меньшее значение аргумента. И соответственно имеем, х —1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство х - 1 > 0, соответствующее тому факту, что под знаком логарифма может быть только положительная величина. Получается, что данное неравенство идентично системе двух линейных неравенств . Учитывая, что основание логарифма меньше единицы, в идентичной системе знак неравенства меняется на противоположный:

Решив которое видим, что:

1 < х < 26.

Имеет большое значение не забыть условие х- 1 > 0, иначе получится не правильный вывод: х < 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

называют логарифмической функцией .

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log a x :

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :

Свойства логарифмов

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

С учетом того, что

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

ql-right-eqno">

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

Уравнение принимает вид:

Обратная подстановка:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

ql-right-eqno">

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x );
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству: