Операционное исчисление примеры. Операционное исчисление

Операционное исчисление применяется при нахождении как частных, так и общих решений линейных дифференциальных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами, при этом правая часть уравнения на различных интервалах может быть задана различными аналитическими выражениями, а также может иметь точки разрыва. Операционный метод используется для решения однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений, причем правые части неоднородных систем также могут быть заданы на различных интервалах различными аналитическими выражениями и иметь точки разрыва.

Операционное исчисление широко применяется для решения задач электротехники и теории автоматического регулирования, в частности позволяет найти установившийся ток в колебательном контуре при периодическом и непериодическом внешнем напряжении. Операционные методы позволяют рассчитывать процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении. Операционные методы позволяют также находить решения уравнений в частных производных, которые появляются в задачах математической физики, например при решении задачи о колебательном движении струн и стержней, о распространении тепла в стержне, плоских пластинах и пространственных телах, о распространении электрических колебаний вдоль длинных цепей.

Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции вещественной переменнойназывается функция
комплексной переменной
, определяемая несобственным интегралом

. (1)

Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).

Оригиналом называется функция вещественной переменной
, которая удовлетворяет условиям:

1)
при
,

2)
кусочно-непрерывна при
; (2)

3)
при любом, где
некоторые постоянные числа. Числоназывается показателем роста функции
илиабсциссой сходимости интеграла Лапласа.

Функция
может иметь на каждом отрезке при
лишь конечное число точек разрыва первого рода.

Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала
к изображению
. Соответствие между
и
записывается в виде
.

Если функция
является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно на комплексной полуплоскости
.

Доказательство. Пусть
, и
. Тогда

.

Отсюда следует, что интеграл Лапласа сходится абсолютно при
, так как он мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же
, то
,где в правой части неравенства получено число. Следовательно, интеграл Лапласа сходится равномерно при
.

Преобразование Лапласа устанавливает связь между оригиналами
и их изображениями. Определенным действиям, производимым над оригиналами соответствуют некоторые действия, производимые над их изображениями, причем действия над изображениями оказываются более простыми, чем над оригиналами. В частности, дифференциальному уравнению относительно оригинала соответствует алгебраическое уравнение относительно изображения. Если решить это алгебраическое уравнение и затем найти оригинал полученного решения, то тем самым будет получено решение исходного дифференциального уравнения.

Единичной функцией Хевисайда называется функция
. График функции Хевисайда имеет вид

Пример 1 . Найти изображение единичной функции Хевисайда.

,

(3)

Условимся в дальнейшем под функцией
понимать функцию, которая равна нулю при
, т.е.
.

Пример 2. Найти изображение показательной функции
.

для
.

(4)

Пример 3. Найти изображение степенной функции
,
и
,
.

(5)

Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).

Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Таким образом, мы должны изучить следующие вопросы:

20.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу.

20.1.1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f (t ) действительной переменной t , удовлетворяющую условиям:

1.f (t ) = 0 при t < 0;

2. Существуют такие постоянные M > 0 и
, что
;

3. На любом отрезке
функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).

Смысл этих условий такой.

1. Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то поведение функций до начального момента
несущественно;

2. Параметр во втором условии принято называть показателем роста функции f (t ). Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным.

Приведём примеры функций-оригиналов. Для всех этих функций первое и третье свойства выполняются очевидно, поэтому будем проверять только второе свойство.

Для функции
получаем:
при
, поэтому
.

3. f (t ) = sin t .
и т.д.

Примеры функций, не являющихся оригиналами:

20.1.2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t ) (или преобразованием Лапласа функции f (t )) называется функция комплексной переменной p , определяемая равенством

.

Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точкеp , удовлетворяющей неравенству
, где - произвольной число, такое, что
. Действительно, (так как ) = , а интеграл сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение F (p ) определено в любой точке p , такой что
, т.е. в полуплоскости справа от прямой
. Как следствие, показатель скорости роста оригинала число часто называют абсциссой сходимости.

Заметим, что мы доказали также, что
: так как , то

. Кроме того, в оценке мы мажорировали модуль подынтегральной функции функцией, не зависящей от p , интеграл от которой сходится. Как и в теории степенных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была равномерной по переменной p , поэтому функцию F (p ) можно дифференцировать и интегрировать по этой переменной.

Лекция 2.

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

где
- заданные числа.

Будем считать, что искомая функция
вместе с ее производными до– го порядка и функция
являются оригиналами.

Обозначим:
и
. Пользуясь свойством дифференцирования оригинала и свойством линейности, перейдем в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям:

Полученное алгебраическое уравнение, линейное относительно изображения, называют операторным (или уравнением в изображениях). По найденному из него изображению
, можно найти оригинал
, используя таблицу и свойства преобразования Лапласа.

Пример 1. Операционным методом решить задачу Коши

,
,
.

Решение. Пусть
. Тогда ,

По таблице оригиналов и изображений

.

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

.

Разрешим его относительно
, получим

.

Найдем оригинал для каждого слагаемого в правой части полученного равенства.

.

Дробь
нужно представить в виде суммы простейших дробей.

Рациональная дробь
называется правильной, если степень
многочлена
меньше степенимногочлена
,т.е.
. Если дробь неправильная, то можно разделить числитель на знаменатель и выделить многочлен и правильную дробь. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида

;
;

.

Условие
означает, что многочлен
имеет комплексные корни.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей .

Если знаменатель представлен в виде разложения

где и- кратности соответствующих вещественных и комплексных корней, то разложение правильной рациональной дроби на простейшие будет иметь вид

(5)

Коэффициенты разложения
находят методом частных значений или методом неопределенных коэффициентов.

Дробь
представим в виде суммы простейших дробей

.

Умножив обе части последнего равенства на
, получим

Чтобы найти неопределенный коэффициент , подставим в это уравнение
. Тогда
, или
.

Приравнивая коэффициенты при ,ив обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений

,

из которой можно найти остальные неопределенные коэффициенты и. Из первого уравнения этой системы
, из второго уравнения
. Следовательно,

Таким образом,

.

Пример 2. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями

,
,
.

Пусть
.Тогда
.

Так как
, то система операторных уравнений примет вид
.

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений
и
:

.

Найдем решение системы по формулам Крамера. Вычислим определитель системы
и вспомогательные определители
,
.

Тогда
,
.

Частные решения
и
являются оригиналами для вычисленных изображений. Чтобы найти
, разложим дробь
на сумму простейших:
.

Из этого следует, что

В последнем равенстве положим
. Тогда
, или
. При
:
, значит
. При
:
, откуда
. Следовательно,

Таким образом,
.

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями с помощью интегралов Дюамеля

Если
- решение уравнения

при нулевых начальных условиях

,
, …,
, (7)

то решением уравнения

при тех же начальных условиях является функция

Доказательство.

Уравнению (6) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение

, (10)

где
,- характеристический многочлен уравнения (6).

Уравнению (8) при нулевых начальных условиях (7) соответствует операторное уравнение

(11)

где
, а
.

Из (10) и (11) найдем

Воспользуемся результатами для изображения по Лапласу интегралов Дюамеля

(13)

Положим в формуле (13)
,
и учтем, что
. Тогда получим решение дифференциального уравнения (8) при нулевых начальных условиях в виде

Формула (14) позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения.

Типовой расчет

1. По данному графику оригинала найти изображение:

Решение. Найдем аналитическое выражение для функции, график которой представлен на рисунке. Прежде всего запишем уравнение прямой, проходящей через точки
и
, и уравнение прямой, проходящей через точки
и
. Как известно, уравнение прямой, проходящей через точки с координатами
и
имеет вид
. В данном случае независимая переменная, поэтому уравнение прямой примет вид
. Подставляя в это уравнение координаты точек А и В получим после упрощения уравнение в виде
, подставляя в уравнение координаты точек В и С, получим после упрощения уравнение в виде
. Тогда функция
имеет вид

(15)

Эту функцию можно записать с помощью функции Хевисайда

(16)

Построим график функции
и убедимся, что он совпадает с исходным заданным графиком

Нужно преобразовать функцию
к такому виду, чтобы аргументы отдельных слагаемых, за исключением постоянных, совпадали с аргументами функций Хевисайда, содержащихся в этих слагаемых. Здесь нужно подвергнуть преобразованию только последнее слагаемое.

Изображение этой функции построим с помощью таблицы, используя теорему запаздывания

(19)

Решим теперь эту задачу с помощью Mathcad. Функция Хевисайда в этом пакете обозначается греческой буквой
, комплексный аргумент изображения обозначается буквой(т.е.
).

Полученный результат совпадает с (17).

2. Найти оригинал по заданному изображению:

Решение. Для решения этой задачи необходимо представить дробь
в виде суммы простейших дробей.

Разложение дроби
на простейшие имеет вид

, (20)

поскольку многочлен
имеет два комплексно сопряженных корня, так как
. Приведем сумму дробей в правой части (20) к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби в левой части (20). Тогда получим равенство числителей

Для определения коэффициентов разложения в (20), воспользуемся вначале методом частных значений. Положим в (21)
, тогда получим
.

Для того, чтобы определить коэффициенты
и
, используем метод неопределенных коэффициентов: приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхив левой и правой частях равенства (21).

. Отсюда найдем
,
.

Следовательно,
.

Выделим полный квадрат в знаменателе
:

(22).

Теперь с помощью таблицы по заданному изображению можно восстановить

оригинал

Для изображения
с учетом теоремы запаздывания получим из таблицы оригинал

Следовательно,

Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad. Для каждого из слагаемых изображения получим оригиналы