Параллельные вселенные. Правило умножения вероятностей независимых событий

Ваш номер двенадцатый, - произнес фир, записывая что-то в книжечку. Фэш поблагодарил мужчину и полетел к своему домику. ,Теперь главное не налажать. Надеюсь, фея не подведет, когда мы будем выступать…"" - с этими мыслями брюнет приземлился на ветку рядом с беседкой, где его уже ждали двое. -Наконец-то ты пришел, - с улыбкой помахал ему рукой один из ждущих, Ник. Сероглазая девушка с тёмным каре, являющаяся второй персоной, в знак приветствия лишь кивнула, перейдя сразу к делу: - И под каким номером мы выступаем? - спросила она, ставя чашки с ароматным кофе на столик. -Двенадцать, - садясь за стол, ответил парень. - Нам нужно прорепетировать: мы должны знать, как мы звучим все втроём. -Мы не обязаны выступить очень хорошо, Драгоций, - тут же охладила его девушка, - это прикрытие. Ты просто получишь после выступления ключ от нашей повелительницы, как и было обещано, - при этих словах Фэш скривился так, будто съел лимон, - а Ник пройдёт посвящение. -Я не хочу ударить в грязь лицом перед всем двором, - ответил Драгоций. -Фэш, Диана, - поочередно глядя на этих двоих, взмолился Ник, - пожалуйста, прекратите. Думаю, нам действительно стоит прорепетировать. -Настроение не песенное, - буркнул Фэш и, даже не поев, ушёл к себе в комнату. *несколько дней назад* - Итак, - с радостной улыбкой произнес Константин, собравший Фэша и Ника в мастерской, - У меня есть две новости. Первая: я договорился с Белой Королевой о твоём посвящение, Ник. - Как у вас это вышло? - удивлённо посмотрел на Лазарева Фэш. -Потом расскажу, - улыбнулся отец Ника. - сынок, не мог бы ты оставить нас? - блондин вышел из комнаты, закрыв за собой дверь. Константин посерьезнел, переведя взгляд на брюнета: -Фэш, Астариус просил меня передать, что Белая королева обещала ему Серебряный ключ. Ты должен отправиться в Чародол, поучаствовать в Чарованиях и забрать Серебряный ключ у Королевы, - Драгоций был поражён тем, что именно ему Астариус доверил нести этот ключ, пусть он и слышал об этом второй раз. Учитель уже предупредил его, объяснив это тем, что брюнет сбежал от Астрогора… *** Их выступление произвело фурор в королевстве фей: шестикрылые создания поднимали вверх часовые стрелы, аплодировали и восторженно кричали. Опасения Фэша были напрасны, чему он был рад. Вскоре ему на часолист пришло письмо, в котором говорилось, что он, как победитель Чарований, должен прийти в полночь в Белый Замок. Брюнет подошёл к беседке, где уже сидели Ник и Диана, которые тоже были рады тому, что выступление прошло успешно. -Ну что, - в шутливой манере обратился он к Фрезер, - сопроводите ли вы нас в Белый Замок, госпожа фрейлина? - Ник фыркнул в чашку, а Диана лишь улыбнулась. -Почему ты не сказала, что являешься фрейлиной? - Фэш сел за стол - Я себя дураком чувствовал, когда ко мне подходили и говорили, что моё выступление с госпожой Дианой Фрезер, фрейлиной её величества, произвело фурор! - ни Ник, ни Диана не смогли сдержать смешка… *полночь* -Фэшиар Драгоций, - Белая Королева, вставшая с трона, украшенного на спинке золотыми веточками с изумрудными листьями, махнула рукой одной из девушек, - за победу на чарованиях и обещания Астариусу, я дарую тебе Серебряный ключ. Думаю, ты знаешь, что это огромная ответственность. Защищай его, храни, как зеницу ока. -Я обещаю, - кивнул Фэш, уверенно смотря на Королеву фей. Дверь отворилась, и девушка внесла Серебряный ключ, покоящийся на подушке из красного шелка. Фея подошла к нему и остановилась в поклоне, протягивая подушку с ключом. Фэш аккуратно взял ключ и поклонился Королеве: -Покорно благодарю за оказанную мне честь. Правительница фей кивнула и махнула рукой, разрешая Фэшу отправляться в домик для отдыха. Ника забрали ещё в начале для того, чтобы он прошел посвещение. *** -…и мне дали какое-то часовое зелье. Ну, я и выпил его. В итоге, третья часовая степень, - радостно улыбался Ник, рассказывая другу о том, что произошло с ним в Белом Замке. Диана сидела с ними и спокойно выпивала кофе, поедая булочку. -У меня, между прочим, тоже новость есть, отставив чашку в сторону, улыбнулась Диана, положив на стол небольшой железный ключик. С секунду Фэш и Ник удивлённо смотрели то на ключ, то на девушку, но в следующий момент Драгоций вскочил со своего места и кинулся обнимать Диану, радостно улыбаясь. -Я знал! - воскликнул он. покрасневшая фея еле вырвалась из объятий парня: -Во-первых, отпусти, задушишь же! Во-вторых, как же узнал? - -Догадаться, конечно, было несложно, - сообщил довольный Фэш. - Придворная фея, лучшая ученица, да еще и отчаянная… Я догадался, что ты тоже ключница, сразу, как только тебя увидел. -Да, - протянул отошедший от удивления Ник, - встреча в лесу с тобой была немного неожиданна. -Да что же неожиданного было? - с интересом взглянула Диана на друга. -Например, то, что ты неожиданно выпрыгнула на нас из темноты, - вставил Фэш. -Да, - кивнул младший-теперь-уже-часовщик Лазарев, - Мы, конечно, знали, что встретим тебя в лесу, но не стоило выпрыгивать так неожиданно на нас из темноты. -Зато как хорошо, что мы сразу отправились в Чародол, - хмыкнул Драгоций. Ребята согласно кивнули и продолжили завтрак…

Для построения дерева вероятностей прежде всего необходимо нарисовать са­мо дерево, затем записать на рисунке всю известную для данной задачи инфор­мацию и, наконец, воспользоваться основными правилами, чтобы вычислить не­достающие числа и закончить дерево.

1. Вероятности указываются в каждой из конечных точек и обводятся кружоч­ками. На каждом уровне дерева сумма этих вероятностей должна равняться 1 (или 100%). Так, например, на рис. 6.5.1 сумма вероятностей на первом уров­не составляет 0,20 + 0,80 = 1,00 и на втором уровне - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Это правило помогает заполнить один пустой кружок в столбце, если значения всех остальных вероятностей этого уровня известны.

Рис. 6.5.1

2. Условные вероятности указываются рядом с каждой из ветвей (кроме,
возможно, ветвей первого уровня). Для каждой из групп ветвей, выходящих из одной точки, сумма этих вероятностей также равна 1 (или 100%).
Например, на рис. 6.5.1 для первой группы ветвей получаем 0,15 + 0,85 =
1,00 и для второй группы - 0,70 + 0,30 = 1,00. Это правило позволяет
вычислить одно неизвестное значение условной вероятности в группе вет­вей, исходящих из одной точки.

3. Обведенная кругом в начале ветви вероятность, умноженная на условную
вероятность рядом с этой ветвью, дает вероятность, записанную в круге в
конце ветви. Например, на рис. 6.5.1 для верхней ведущей вправо ветви
имеем 0,20 х 0,15 = 0,03, для следующей ветви - 0,20 х 0,85 = 0,17; аналогичные соотношения выполняются и для других двух ветвей. Это правило можно использовать для вычисления одного неизвестного значения
вероятности из трех, соответствующих некоторой ветви.

4. Записанное в круге значение вероятности равно сумме обведенных кружками вероятностей на концах всех ветвей, выходящих из этого круга
вправо. Так, например, для рис. 6.5.1 из круга со значением 0,20 выходят
две ветви, на концах которых находятся обведенные кружками вероятности, сумма которых равна этому значению: 0,03 + 0,17 = 0,20. Это правило позволяет найти одно неизвестное значение вероятности в группе,
включающей эту вероятность и все вероятности на концах ветвей дерева,
выходящих из соответствующего круга.

Используя эти правила можно, зная все, кроме одного значения вероятности для некоторой ветви или на некотором уровне, находить это неизвестное значение.

37. Какая выборка называется репрезентативной? Каким образом можно извлечь репрезентативную выборку?

Репрезентативность - это способность выборки представлять изучаемую совокупность. Чем точнее состав выборки представляет совокупность по изучаемым вопросам, тем выше ее репрезентативность.

Репрезентативная выборка (representative sample) - одно из ключевых понятий анализа данных. Репрезентативная выборка - это выборка из генеральной совокупности с распределением F (x ), представляющая основные особенности генеральной совокупности. Например, если в городе проживает 100 000 человек, половина из которых мужчины и половина женщины, то выборка 1000 человек из которых 10 мужчин и 990 женщин, конечно, не будет репрезентативной. Построенный на ее основе опрос общественного мнения, конечно, будет содержать смещение оценок и приводит к фальсификации результатов.

Необходимым условием построения репрезентативной выборки является равная вероятность включения в нее каждого элемента генеральной совокупности.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения дает при большом объеме выборки достаточно хорошее представление о функции распределения F (x ) исходной генеральной совокупности.

Ведущий принцип, лежащий в основе такой процедуры, - это принцип рандомизации, случайности. Выборка называется случайной (иногда мы будем говорить простая случайная или чистая случайная выборка), если выполняется два условия. Во-первых, выборка должна быть построена таким образом, чтобы любой человек или объект в пределах совокупности имел равные возможности быть отобранным для анализа. Во-вторых, выборка должна быть сформирована так, чтобы любое сочетание из n объектов (где n - просто количество объектов, или случаев, в выборке) имело равные возможности быть отобранным для анализа.

При исследовании совокупностей, которые слишком велики, для того чтобы можно было осуществить настоящую лотерею, часто используются простые случайные выборки. Выписать имена нескольких сотен тысяч объектов, сложить их в барабан и выбрать несколько тысяч - это все же нелегкая работа. В таких случаях используется другой, однако столь же надежный способ. Каждому объекту в совокупности присваивается номер. Последовательность чисел в таких таблицах обычно задается компьютерной программой, называемой генератором случайных чисел, который, в сущности, помещает в барабан большое количество чисел, случайным образом вытаскивает их и выпечатывает в порядке получения. Иными словами, имеет место все тот же процесс, характерный для лотереи, однако компьютер, используя не имена, а числа, осуществляет универсальный выбор. Этим выбором можно пользоваться, просто присвоив каждому из наших объектов номер.

Таблица случайных чисел типа той, может использоваться несколькими разными способами, и в каждом случае необходимо принять три Решения. Во-первых, следует решить, сколько разрядов Мы будем использовать, во-вторых, необходимо разработать решающее правило для их использования; в-третьих нужно выбрать исходную точку и способ прохождения по таблице.

Как только это сделано, мы должны разработать правило, которое бы связывало числа в таблице с номерами наших объектов. Здесь существуют две возможности. Самый простой способ (хотя и не обязательно самый правильный) - использовать лишь те числа, которые попадают в число номеров, приписанных нашим объектам. Так, если мы имеем совокупность, состоящую из 250 объектов (и, таким образом, используем трехзначные числа), и решаем начать с левого верхнего угла таблицы и двигаться вниз по столбцам, мы включим в нашу выборку объекты с номерами 100, 084 и 128 и пропустим числа 375 и 990, не соответствующие нашим объектам. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не будет определено число объектов, нужных для нашей выборки.

Более трудоемкая, однако методически более правильная процедура основывается на положении, что для сохранения случайности, характерной для таблицы, должно быть использовано каждое число данной размерности (например, каждое трехзначное число). Следуя данной логике и вновь имея дело с совокупностью из 250 объектов, мы должны разбить область трехзначных чисел от 000 до 999 на 250 одинаковых промежутков. Поскольку таких чисел 1000, мы делим 1000 на 250 и находим, что каждая из частей содержит четыре числа. Таким образом, числа таблицы от 000 до 003 будут соответствовать объекту от 004 до 007 - объекту 2 и т.д. Теперь, чтобы установить, какой номер объекта соответствует числу таблицы, следует разделить трехзначное число из таблицы и округлить до ближайшего целого числа.

И наконец, мы должны выбрать в таблице исходную точку и способ прохождения. Исходной точкой может быть верхний левый угол (как в предыдущем примере), нижний правый угол, левый край второй строки или любое другое место. Этот выбор абсолютно произволен. Однако, работая с таблицей, мы должны действовать систематически. Мы могли бы взять три первых знака из каждой пятизначной последовательности, три средних знака, три последних знака или даже первый, второй и четвертый знаки. (Из первой пятизначной последовательности с помощью этих различных процедур получаются, соответственно, числа 100, 009, 097 и 109.) Мы могли бы применить эти процедуры в направлении справа налево, получив 790, 900, 001 и 791. Мы могли бы идти вдоль рядов, рассматривая поочередно каждую следующую цифру и игнорируя разбиение на пятерки (для первого ряда будут получены числа 100, 973, 253, 376 и 520). Мы могли бы иметь дело лишь с каждой третьей группой цифр (например, с 10097, 99019, 04805, 99970). Существует множество самых разнообразных возможностей, и каждая следующая ничуть не хуже предыдущей. Однако как только мы приняли решение о том, или ином способе работы, мы должны систематически следовать ему, чтобы в максимальной степени соблюдать случайность элементов в таблице.

38. Какой интервал мы называем доверительным?

Доверительный интервал - это допустимое отклонение наблюдаемых значений от истинных. Размер этого допущения определяется исследователем с учетом требований к точности информации. Если увеличивается допустимая ошибка, размер выборки уменьшается, даже если уровень доверительной вероятности останется равным 95%.

Доверительный интервал показывает, в каком диапазоне расположатся результаты выборочных наблюдений (опросов). Если мы проведем 100 одинаковых опросов в одинаковых выборках из единой генеральной совокупности (например, 100 выборок по 1000 человек в каждой в городе с населением 5 миллионов человек), то при 95%-й доверительной вероятности, 95 из 100 результатов попадут в пределы доверительного интервала (например, от 28% до 32% при истинном значении 30%).

Например, истинное количество курящих жителей города составляет 30%. Если мы 100 раз подряд выберем по 1000 человек и в этих выборках зададим вопрос "курите ли Вы?", в 95 из этих 100 выборок при 2%-м доверительном интервале значение составит от 28% до 32%.

39 Что называется уровнем доверительности (confidence level)?

Доверительный уровень отражает количество данных, необходимых оценщику для того, чтобы утверждать, что обследуемая программа имеет должный эффект. В общественных науках традиционно используется 95% доверительный уровень. Однако для большинства общественных программ уровень в 95% является излишним. Доверительный уровень в интервале 80-90% является достаточным для адекватной оценки программы. Таким образом, можно уменьшить размер репрезентативной группы, тем самым уменьшив и затраты на проведение оценки.

В процессе статистической оценки проверяется нулевая гипотеза, которая состоит в том, что программа не имела должного эффекта. Если полученные результаты значительно отличаются от изначальных предположений о правильности нулевой гипотезы, то последняя отклоняется.

40. Какой из двух доверительных интервалов больше: двусторонний 99% или двусторонний 95%? Объясните.

Двусторонний доверительный интервал 99% больше, чем 95%, так как в него попадает больше значений. Док-во:

С помощью z-значений можно точнее оценить доверительный интервал и определить общую форму доверительного интервала. Точная формулировка доверительного интервала для выборочного среднего имеет следующий вид:

Таким образом, для случайной выборки 25 наблюдений, удовлетворяющих нормальному распределению, с доверительный интервал выборочного среднего имеет следующий вид:

Таким образом, на 95% можно быть уверенным, что значение лежит в пределах ±1,568 единицы от выборочного среднего. С помощью такого же метода можно определить, что 99%-ный доверительный интервал лежит в пределах ±2,0608 единицы от выборочного среднего

значение Таким образом, имеем и отсюда , Аналогично получаем нижний предел, который равен

Нас часто интересует вероятность одновременного наступления нескольких событий, например выпадения двух орлов при двух бросках монеты или по крайней мере одной шестерки при двух бросках игральной кости. Ситуации такого рода называются ситуациями с несколькими возможными исходами.

Использование древовидных диаграмм

Хотя довольно легко понять, что вероятность выпадения орла при одном броске «честной» монеты равна?, интуитивно определить вероятность выпадения четырех орлов при четырех бросках «честной» монеты несколько труднее. Хотя пример с монетой может показаться искусственным, он хорошо подходит для объяснения сочетания вероятностей при нескольких попытках. Давайте произведем расчеты. (Следите за моими рассуждениями, даже если вы панически боитесь математики. Если вы поработаете над примерами, вычисления и математические рассуждения покажутся вам довольно простыми. Не надо восклицать, взглянув на следующие несколько цифр: «Нет, ни в коем случае, я это просто пропущу». Важно уметь думать с числами и о числах.)

При первом броске может наступить лишь один из двух возможных исходов; орел (О) или решка (Р). Что произойдет, если монету бросят дважды? Существует четыре возможных исхода: орел оба раза (ОО), орел в первый раз и решка во второй раз (ОР), решка в первый раз и орел во второй раз (РО) и решка оба раза (РР). Поскольку существует четыре возможных исхода и лишь один способ выпадения двух орлов, то вероятность этого события равна 1/ 4 (опять-таки мы предполагаем, что монета – «честная», т. е. выпадение орла и решки равновероятно). Существует общее правило для вычисления вероятности совместного появления нескольких событий в любой ситуации – правило «и». Если вы хотите найти вероятность совместного появления первого и второго события (орел при первом и при втором броске), надо перемножить вероятности наступления этих событий по отдельности. Применяя правило «и», мы находим, что вероятность появления двух решек при двукратном броске монеты равна? x ? = 1/ 4 . Интуитивно кажется, что вероятность совместного появления двух событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из них в отдельности; так оно и оказывается.

Простой способ расчета этой вероятности получается, если представить все возможные события с помощью древовидной диаграммы. Древовидные диаграммы использовались в главе 4, когда мы проверяли правильность утверждений типа «если… то…». В этой главе мы припишем ветвям дерева вероятностные значения, чтобы определить вероятности различных сочетаний исходов. В последующих главах я еще вернусь к древовидным диаграммам при рассмотрении способов нахождения творческих решений задач.

При первом броске монеты она упадет или орлом, или решкой вверх. Для «честной» монеты выпадения орла и решки имеют одинаковую вероятность, равную 0,5. Давайте изобразим это следующим образом:

Когда вы бросаете монету второй раз, то либо за первым орлом последуют второй орел или решка, либо за первой решкой последуют второй орел или решка. Вероятности выпадения орла и решки при втором броске по-прежнему равны 0,5. Исходы второго броска изображаются на диаграмме в виде дополнительных ветвей дерева.

Как видно из диаграммы, существует четыре возможных исхода. Вы можете пользоваться этим деревом для нахождения вероятностей других событий. Чему равна вероятность получения одной решки при двух бросках монеты? Поскольку существует два способа, которыми можно получить одну решку (ОР или РО), ответ равен 2 / 4 или?. Если вы хотите найти вероятность двух или более различных исходов, сложите вероятности всех исходов. Это называется правилом «или». По-другому эту задачу можно сформулировать так: «Чему равна вероятность получить или сначала орла, а потом решку (1/ 4), или сначала решку, а потом орла (1/4)?» Правильная процедура нахождения ответа состоит в том, чтобы сложить эти значения, в результате чего получается?. Интуитивно кажется, что вероятность появления одного из нескольких событий должна быть больше, чем вероятность появления каждого из них; так оно и оказывается.

Правилами «и» и «или» можно пользоваться только тогда, когда интересующие нас события независимы. Два события независимы, если появление одного из них не влияет на появление второго. В рассматриваемом примере результат первого броска монеты никак не влияет на результат второго броска. Кроме того, для применения правила «или» необходимо, чтобы события были несовместимыми, т. е. не могли происходить одновременно. В рассматриваемом примере исходы являются несовместимыми, поскольку мы не можем получить и орла, и решку при одном броске.

Представление событий в виде древовидных диаграмм полезно во многих ситуациях. Давайте расширим наш пример. Предположим, что мужчина в полосатом костюме с длинными, подкрученными вверх усами и бегающими маленькими глазками останавливает вас на улице и предлагает сыграть на деньги, бросая монету. Он все время ставит на орла. При первом броске монета падает орлом вверх. При втором броске происходит то же самое. При третьем броске опять выпадает орел. Когда вы начнете подозревать, что у него «нечестная» монета? У большинства людей сомнения возникают при третьей или четвертой попытке. Вычислите вероятность выпадения одних орлов при трех и четырех бросках «честной» монеты (вероятность выпадения орла равна 0,5).

Для расчета вероятности выпадения трех орлов в трех попытках вам надо нарисовать дерево с тремя рядами «узлов», причем из каждого узла исходят две «ветви».

В этом примере нас интересует вероятность выпадения трех орлов подряд при условии, что монета «честная». Посмотрите на столбец, озаглавленный «исход», и найдите исход ООО. Поскольку это единственный исход с тремя орлами, перемножьте вероятности вдоль ветви 000 (обведенной на диаграмме) и вы получите 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125. Вероятность 0,125 означает, что если монета «честная», то в среднем она будет падать орлом вверх три раза подряд в 12,5% случаев. Поскольку эта вероятность невелика, то при выпадении трех орлов подряд большинство людей начинает подозревать, что монета «с секретом».

Для расчета вероятности выпадения четырех орлов в четырех попытках добавьте к дереву дополнительные ветви.

Вероятность выпадения четырех орлов равна 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,0625, или 6,25%. Как вы уже знаете, математически она равна 0,5 4 ; т. е. умножить число само на себя четыре раза – это то же самое, что возвести его в четвертую степень. Если вы будете считать на калькуляторе, где есть операция возведения в степень, то вы получите тот же самый ответ – 0,0625. Хотя такой исход возможен и когда-нибудь произойдет, он маловероятен. На самом деле он настолько неправдоподобен и необычен, что многие сказали бы, что человек с бегающими глазками, наверное, жульничает. Несомненно, что при выпадении пятого орла подряд разумно будет заключить, что вы имеете дело с мошенником. Для большинства научных целей событие считается «необычным», если его появление ожидается с вероятностью менее 5%. (На языке теории вероятностей это записывается так: р ‹ 0,05.)

Давайте оставим искусственный пример с монетой и применим ту же логику в более полезном контексте. Я уверена, что любой студент когда-либо сталкивался с тестами с выбором вариантов, в которых нужно выбирать из предложенных вариантов правильные ответы. В большинстве таких тестов на каждый вопрос предлагается пять вариантов ответов, из которых правилен только один. Предположим, что вопросы настолько трудны, что вы можете только случайно угадать правильный ответ. Какова вероятность правильного угадывания при ответе на первый вопрос? Если вы понятия не имеете, какой из вариантов является правильным ответом, то вы с одинаковой вероятностью можете выбрать любой из пяти вариантов, предполагая, что любой из них может оказаться правильным. Поскольку сумма вероятностей выбора всех вариантов должна быть равна единице, то вероятность выбора каждого из вариантов при равновероятности всех вариантов равна 0,20. Один из вариантов правильный, а остальные – неправильные, поэтому вероятность выбора правильного варианта равна 0,20. Древовидная диаграмма этой ситуации изображена ниже.

Какова вероятность правильно угадать ответы на первые два вопроса теста? Нам придется добавить новые ветви к дереву, которое вскоре станет очень густым. Чтобы сэкономить место и упростить вычисления, можно представить все неправильные варианты в виде одной ветви, обозначенной «неправильные». Вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8.

Вероятность правильно угадать ответы на два вопроса равна 0,2 х 0,2 = 0,04. То есть случайно это может произойти только в 4% попыток. Допустим, что мы расширим наш пример до трех вопросов. Я не буду рисовать дерево, но вы должны уже понять, что вероятность равна 0,2 х 0,2 х 0,2 = 0,008. Это настолько необычное событие, что оно может произойти случайно менее чем в 1 % попыток. Что вы подумаете о человеке, которому удалось правильно ответить на все три вопроса? Большинство людей (а преподаватели тоже люди) заключит, что студент не выбирал ответы наугад, а действительно что-то знал. Конечно, не исключено, что ему просто повезло, но это чрезвычайно маловероятно. Таким образом, мы приходим к выводу, что полученный результат не может объясняться только удачей.

Мне хотелось бы отметить одну любопытную сторону таких рассуждений. Рассмотрим плачевную ситуацию, в которую попала Сара. Она отвечала на 15 вопросов теста, где ответ на каждый вопрос надо было выбирать из пяти вариантов. Сара ответила неправильно на все 15 вопросов. Можете ли вы определить вероятность того, что это произошло случайно? Я не буду рисовать древовидную диаграмму для иллюстрации этой ситуации, но легко видеть, что вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8; поэтому вероятность неправильно ответить на все 15 вопросов равна 0,8 15 . Это число 0,8, умноженное само на себя 15 раз, в результате чего получается 0,0352. Поскольку вероятность такой случайности равна 3,52%, может быть, Саре стоит заявить преподавателю, что такой необычный результат не может объясняться случайностью? Сара, конечно, может привести подобный довод, но поверили бы вы ей на месте преподавателя? Предположим, она утверждает, что знала ответы на все вопросы. Как иначе она смогла бы не выбрать правильный вариант ответа в 15 вопросах подряд? Я не знаю, сколько преподавателей поверили бы ее утверждению, что 15 неверных ответов доказывают наличие у нее знаний, хотя в принципе такой ход рассуждений используется для доказательства наличия знаний, поскольку вероятность правильно угадать все ответы примерно такая же. (В этом примере вероятность наугад ответить правильно на все 15 вопросов равна 0,20 15 ; это число значительно меньше 0,0001.) Если бы преподавателем Сары была я, то я бы поставила ей высокие оценки за творческий подход и понимание статистических принципов. Не исключено, что Сара действительно что-то знала на эту тему, но в этом «чем-то» была систематическая ошибка. Я бы также указала ей на то, что, возможно, она не подготовилась к тесту, а вдобавок ей еще и не повезло, и она сделала 15 неверных догадок. В конце концов, иногда случаются и очень необычные события.

Перед тем как перейти к чтению следующего раздела, проверьте, понимаете ли вы, как применять древовидные диаграммы для расчета вероятностей и учета всех возможных исходов. В этой главе я еще вернусь к таким диаграммам. Когда вы научитесь их использовать, вы будете удивлены, как много существует ситуаций, в которых они могут применяться.

Рис. 7.2. Платежная матрица с учетом вероятностей исходов событий

p i – вероятность i-ого варианта исхода событий.

M j – мат. ожидание критерия при выборе j -ого варианта альтернатив действий, определяемое по формуле:

Два вышеназванных подхода позволяют реализовать четыре различных алгоритма выбора решения.

1. Решение на основе правила максимальной вероятности - максимизация наиболее вероятных значений критерия (прибыли или дохода).

2. Решение на основе правила максимальной вероятности - минимизации наиболее вероятных значений критерия (возможных потерь или прямых убытков).

3. Решение на основе правила максимизации математического ожидания (среднего значения) критерия (прибыли или дохода).

4. Решение на основе правила минимизации математического ожидания (среднего значения) критерия (потерь или убытков).

Примеры, которые мы рассматривали до сих пор в этой главе, включали в себя единственное решение. Однако на практике результат одного решения заставляет нас принимать следующее и т.д. Эту последовательность нельзя выразить платежной матрицей, поэтому нужно использовать какой-то другой процесс принятия решений.

Схему"дерево" решений используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исходов событий.

Состав­ляя "дерево" решений, нужно нарисовать "ствол" и "ветви", отображающие структуру проблемы.

· Располагаются "деревья" слева направо. "Ветви" обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возни­кающие в результате этих решений.

· "Ветви" выходят из узлов. Узлы бывают двух типов.

Квадратный узел обозначает место, где принимается решение.

Круглый узел обозначает место, где появляются различные варианты исходов.

· На схеме используются два вида "ветвей":

Первый - пунктирные линии, выходящие из квадратов возможных решений, движение по ним зависит от принимаемых решений. На соответствующей пунктирной "ветви" проставляются все расходы, вызван­ные решением.

Второй - сплош­ные линии, выходящие из кружков возможных исходов. Движение по ним определяется исходом событий. На сплошной линии указывается вероятность данного исхода.

узел принятия решения.

узел ветвления вариантов исходов событий.

ветви, движение по которым зависит от принимаемого решения.

ветви, движение по которым зависит от исхода событий.

Поиск решения разбивается на три этапа.

Этап 1. Строится "дерево" (пример будет рассмотрен на практических занятиях). Когда все решения и их исходы указаны на "дереве", просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется его денежный доход.

Этап 2. Вычисляются и проставляются на соответствующих ветвях вероятности каждого исхода.

Этап 3. На этом этапе справа налево рассчитываются и проставляются денежные исходы каждого из "узлов". Любые встречаю­щиеся расходы вычитаются из ожидаемых доходов.

После того, как пройдены квадраты "решений", выбирается "ветвь", ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу (на этой ветви проставляется стрелка).

Другая "ветвь" зачеркивается, а ожи­даемый доход проставляется над квадратом решения.

Таким образом, в конце третьего этапа оказывается сформированной последовательность решений, ведущая к максимальному доходу.

В принципе, в качестве критерия может выступать как максимизация мат. ожидания дохода, так и минимизация мат. ожидания потерь.

Согласно многомировой интерпретации квантовой физики, мы живем в бесконечной сети альтернативных вселенных. Это серьезное заявление, которое несет определенные и крайне серьезные научные, философские и экзистенциальные последствия. Давайте рассмотрим десять из них.

Согласно гипотезе создателя квантовой механики Хью Эверетта, мы живем во Вселенной, точнее в мультивселенной, в которой постоянно рождается и ответвляется множество последовательных миров, в каждом из которых присутствует другая версия вас.

Квантовые физики использовали многомировую интерпретацию, чтобы устранить неприятный недостаток копенгагенской интерпретации, а именно утверждение, что ненаблюдаемое явление может существовать в двух состояниях. То есть вместо того, чтобы утверждать, что одновременно жив и мертв, многомировая интерпретация гласит, что кот просто «разветвился» в разных мирах: в одном он жив, в другом мертв.

Спустя 60 лет после своего представления, многомировая интерпретация остается довольно спорным вопросом. В опросе 2013 года, проведенном среди квантовых физиков, только пятая часть указала, что приветствует многомировую интерпретацию (для сравнения: копенгагенской интерпретации придерживается 42% физиков). Тем не менее среди сторонников мультиверса есть весьма именитые ученые из области квантовой физики - Дэвид Дойч, Скотт Ааронсон, Шон Кэрролл.

Независимо от того, в каком состоянии пребывает эта теория, крайне интересно размышлять о ее последствиях.

Мы живем в мультивселенной гигантских размеров

Космологи принимают факт того, что наблюдаемый нами мир один, как сам собой разумеющийся. Размышления о множественной вселенной долгое время считались научной ересью, но вероятность того, что это правда, растет все больше и больше. Физики и метафизики, космологи, антропологи, квантовые фанатики - все начинают задумываться об этом.

Основным утверждением многомировой интерпретации является то, что все сущее состоит из квантовой суперпозиции невообразимо большого - или бесконечного - числа вселенных. Если эта интерпретация является верной, должно быть совершенно поразительное количество альтернативных миров.

Цельность вашей жизни -иллюзия

ММИ также нарушает наше представление о личности. Мы все воспринимаем свою жизнь как единое и цельное путешествие через пространство и время. В действительности мы представляем собой экспоненциально растущий набор событий, которые разветвляются от момента к моменту. В результате мы должны думать о себе не как о личности, а как о дробной части.

Причина этой иллюзии в том, что множественный опыт пережить невозможно, поэтому мы остаемся с осознанием того, что мы - один человек. Но это не означает, что наш опыт реальности подлинный или реальный. Мы должны признать - посредством ММИ - что наши жизни не являются в точности такими, какими кажутся.

Существует множество версий вас

Если ММИ верна, существует (или бесконечное) количество ваших версий, каждая из которых воспринимает мир как отдельная личность и не знает о существовании других версий. Следовательно, сам объем альтернативных жизненных путей чрезвычайно велик. С самого рождения вы - или то, что вам кажется вами - разветвлялись в разных мирах. Полный набор вас - это массивная корневая система, которая разрастается экспоненциально, и каждый корень представляет новую жизнь.

Поскольку ММИ подразумевает постоянную изменчивость, зависимость от вероятностей, каждый новый экземпляр вас должен быть отличным, наблюдая мир, в котором произошел альтернативный исход событий вашей жизни. Следовательно, существуют миры, в которых вы до сих пор живете с бывшими, являетесь более или менее успешным, уже умерли или пережили смерть близких, которые живы в настоящем мире. Могут существовать даже злобные версии вас, где вы террристы или убийцы. Возможности практически безграничны, пока не нарушаются основы физики.

У вас все еще есть свобода воли

Учитывая, что все возможные решения будут приниматься различными версиями вас, ММИ довольно трудно объяснить вопрос свободы воли. Если все варианты выбора уже сделаны в альтернативных мирах, зачем тогда проходить через все неприятности, взвешивая все за и против, принимая решения? Коллективная судьба ваших альтер-эго уже предопределена, выбор сделан за вас.

Эксперт ММИ Майкл Клайв-Прайс указывает, что хотя все решения уже приняты, некоторые принимаются чаще остальных. Другими словами, каждая ветвь решения обладает собственным «весом», который влияет на обычные законы квантовой статистики.

Кроме того, ММИ означала бы определенный недетерминизм бытия, хотя и неинтуитивным образом. Всякий раз, когда мы задаемся вопросом: «Мог ли я принять другое решение или поступить иначе?», ММИ отвечает, что да, конечно. И не только вы, но и альтернативная версия вас тоже могла. А вот почему вы выбрали этот вариант, добились тех или иных результатов, все это сводится к влиянию квантовых событий на классические объекты - в том числе и на размышления в вашей голове.

Где-то там могут существовать крайне странные миры

ММИ обязательно приводит к весьма странным возможностям. Опять же, все точки разветвления возможны ровно до тех пор, пока вы не нарушаете законы физики. Важно отметить, однако, что учитывая весь объем всевозможных миров, более вероятно, что вы окажетесь в наиболее возможном и рациональном из миров, поскольку они возникают с высокой частотой.

Но есть и миры, в которых происходят крайне странные вещи. К примеру, кто-то подбрасывает монетку 1000 раз, и вместе с этим возникает мир, в котором он выбрасывает решку 1000 раз подряд.

Также существуют миры, в которых кто-то будет угадывать абсолютно все прогнозы спортивных матчей. Миры, в которых человек без музыкального образования, впервые увидев фортепиано, сыграет 3-й фортепианный концерт Рахманинова, как сыграл бы сам маэстро. Шансы, однако, такого события ничтожно малы и выходят за пределы астрономических вероятностей, хотя, конечно, в числе бесконечно возможных вариантов имеются.

Вы в некотором роде бессмертны

Этот мысленный эксперимент называется «квантовое самоубийство». Представьте себе ситуацию, в которой человек играет в русскую рулетку, в которой полбарабана револьвера заложено пулями. В такой суперпозиции каждый поворот барабана будет сбрасывать шансы на самоубийство человека до 50/50. Но ММИ говорит нам, что должен быть мир, в котором человек никогда не застрелит себя даже после 50 поворотов барабана. Хотя шансы, что это случится, стремятся к нулю, но где-нибудь это да должно произойти.

Что любопытно, физик Макс Тегмарк говорит, что данный эксперимент может служить доказательством ММИ, только потребует смерти множества людей, прежде чем один счастливчик доберется до финиша.

Другой взгляд на квантовое бессмертие утверждает, что версия нас самих всегда должна существовать, чтобы наблюдать Вселенную. Пол Халперн, автор «кота Шредингера», выразил это так:

«Что такое выживание человека? Все мы - совокупность частиц, установленная квантовыми правилами на глубочайшем уровне. Если каждый раз, когда происходит квантовый переход, наши тела и сознания раскалываются, будут копии, которые переживают каждый возможный результат, в том числе и тот, который определяет, жить нам или умереть. Предположим, что в одном случае конкретный набор квантовых переходов приводит к неправильному распределению клеток и вызывает смертельную форму рака. Для каждого перехода всегда будет альтернатива, которая не приводит к раку. Получается, всегда будут ветки с выжившими. Добавим к этому допущение, что наше сознание всегда будет пребывать только в живых копиях, и мы сможем выжить в любом числе потенциально опасных событий, связанных с квантовыми переходами».

Может быть возможной связь между параллельными мирами

В 1995 году квантовый физик Райнер Плага предложил экспериментально проверить ММИ, описав процедуру «межмирового» обмена информацией и энергией посредством «слабой связи».

С помощью стандартного квантово-оптического оборудования одиночный ион можно изолировать от окружения в ионной ловушке. Затем можно провести квантово-механическое измерение с двумя отдельными результатами на примере другой системы, тем самым создав два параллельных мира. В зависимости от результата, ион будет возбужден только в одном из этих параллельных миров, прежде чем произойдет декогеренция иона в процессе взаимодействия окружающей средой. Плага утверждает, что мы могли бы обнаружить это возбуждение в другом параллельном мире, что обеспечило бы ММИ доказательствами - и предоставило бы возможный способ послать весточку в параллельную реальность.

Никаких парадоксов путешествий во времени

Все просто: наличие альтернативных миров будет означать отсутствие единой шкалы времени, по которой можно перемещаться.

Все уже случалось и снова случится

Самое интересное следствие из бесконечного числа миров заключается в том, что все уже произошло. Более того, произойдет еще и бесконечное число раз.