Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A
в B
. Конечный результат - его перемещение из точки A
в точку B
, то есть перемещение на вектор 
.
Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными
называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным
называется вектор, длина которого равна 1
. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x
и y
, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x
и по y
.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
Единственность коэффициентов линейной комбинации доказывается так же, как и предыдущем следствии.
Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы
Глава 4. Понятие
базиса. Свойства вектора в данном базисе
Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса мы сопоставим вектор , если составим линейную комбинацию .
Числа – называются компонентами (или координатами ) вектора в данном базисе (записывается ).
Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.
Действительно,
если
и
,
то
Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко можете сформулировать их самостоятельно.
Глава 5. Проекция
вектора
Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными .
Определение:
Ортогональной
проекцией
вектора
на
направление вектора
называется
скалярная величина
,
φ
– угол между векторами (рис.9).
Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA 0 .
Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.
При ортогональной проекции угол между отрезками OA 0 и AA 0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.
Проекции векторов обладают следующими свойствами:
Базис называется ортогональным , если его векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис называется ортонормированным , если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .
Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.
Пример:
Пусть вектор
единичной
длины
образует
с вектором
ортонормированного
базиса
на
плоскости угол φ, тогда
.
Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора
Глава 6. Скалярное
произведение
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.
Скалярное
произведение векторов
и
обозначается
через
[или
;
или
].
Если φ - угол между векторами
и
,
то
.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:
Действительно,
пусть
,
причем каждое слагаемое коллинеарно
соответствующему базисному вектору.
Из теоремы второго раздела следует, что
,
где выбирается знак плюс или минус в
зависимости от того, одинаково или
противоположно направлены векторы
,
и
.
Но,
,
где φ - угол между векторами
,
и
.
Итак,
.
Аналогично вычисляются и остальные
компоненты.
Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:
1. ;
2. 
;
3. 
.
Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:
Величины
называются
метрическими коэффициентами данного
базиса. Следовательно
.
Теорема: В ортонормированном базисе
;
;
;
.
Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это самостоятельно.
Глава 7. Векторное
произведение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой ), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой ).
Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:
Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.
Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.
Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .
Пример:
Если
–
левый ортонормированный базис, то
,
,
.
Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).
Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:
Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .
Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.
Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.
Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.
Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.
В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:
| (1) |
где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .
Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде
| (2) |
называется вектор-столбцом .
Число n
называется размерностью
(порядком
) вектора. Если 
то вектор называется нулевым вектором
(т.к. начальная точка вектора 
). Два вектора x
и y
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.
Векторная алгебра
Определение:
Вектор – это направленный отрезок в плоскости или в пространстве.
Характеристики:
1) длина вектора
Определение:
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение:
Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают (
) В противном случае они называются противоположно направленными (↓
).
Определение:
Два вектора равны между собой, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Например, 
Операции:
1. Умножение вектора на число
Если 
, то
↓если < 0
У нулевого вектора направление произвольно
Свойства умножения на число
2. Сложение векторов
Правило параллелограмма:
Свойства сложения:
- такие векторы называются противоположными друг другу. Легко видеть, что 
Совместные свойства:
О
пределение:
Углом между двумя векторами называется угол, который получается если эти векторы отложить от одной точки, 0
3. Скалярное произведение векторов.
, где - угол между векторами
Свойства скалярного произведения векторов:
1) (равенства имеют место в случае противоположной направленности и сонаправленности векторов соответственно)
3) 
Если 
, то знак произведения положительный,
если ↓то отрицательный
) 
6) , то есть 
, или какой-либо из векторов равен нулю
7) 
Применение векторов
1
.
MN – средняя линия
Доказать, что 
Доказательство:
, вычтем из обеих частей вектор 
:
2
.
Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны
Доказательство:
Найти:
Решение:
Разложение векторов по базисам.
Определение:
Линейной комбинацией векторов (ЛКВ) называется сумма вида
(ЛКВ)
где 1 , 2 , … s – произвольный набор чисел
Определение:
ЛКВ называется нетривиальной, если все i = 0, в противном случае она называется нетривиальной.
Следствие:
В нетривиальной ЛКВ есть хотя бы один ненулевой коэффициент к 0
Определение:
Система векторов
называется линейно независимой (ЛНЗ),
если
() = 0
все
i
0,
то есть только тривиальная её ЛК равна нулю.
Следствие:
Нетривиальная ЛК линейно независимых векторов отлична от нуля
Примеры:
1) 
- ЛНЗ
2) Пусть 
и 
лежат в одной плоскости, тогда 
- ЛНЗ
, неколлинеарны
3) Пусть , , 
не принадлежат одной плоскости, тогда они образуют ЛНЗ систему векторов
Теорема:
Если система векторов линейно независима, то хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.
Доказательство:
Пусть () = 0 и не все
I
равны нулю. Не теряя общности, пусть
s
0. Тогда 
, а это и есть линейная комбинация.
Пусть
Тогда , то есть ЛЗ.
Теорема:
Любые 3 вектора на плоскости линейно зависимы.
Доказательство:
Пусть даны вектора 
, возможны случаи:
1) 
2) неколлинеарен
Выразим через и : 
, откуда 
- нетривиальная ЛК.
Теорема:
Пусть 
- ЛЗ
Тогда любая «более широкая» система - ЛЗ
Доказательство:
Так как - ЛЗ, то существует хотя бы одно i 0, причем () = 0
Тогда и () = 0
Определение:
Система линейно независимых векторов называется максимальной, если при присоединении к ней любого другого вектора она становится линейно зависимой.
Определение:
Размерностью пространства (плоскости) называется число векторов в максимальной линейно независимой системе векторов.
Определение:
Базисом называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.
Определение:
Базис называется нормированным, если входящие в него векторы имеют длину, равную единице.
Определение:
Базис называется ортогональным, если все его элементы (векторы) попарно перпендикулярны.
Теорема:
Система ортогональных векторов всегда линейно независима (если там нет нулевых векторов).
Доказательство:
Пусть - система ортогональных векторов (ненулевых), то есть 
. Предположим, , умножим эту ЛК скалярно на вектор 
:
Первая скобка отлична от нуля (квадрат длины вектора), а все остальные скобки равны нулю по условию. Тогда 1 = 0. Аналогично для 2 … s
Теорема:
Пусть М = - базис. Тогда любой вектор представим в виде:
где коэффициенты 2 … s определяются однозначно (это координаты вектора относительно базиса М).
Доказательство:
1) 
= 
- ЛЗ (по условию базиса)
тогда - нетривиальна
а) 0 = 0 что невозможно, так как получится, что М – ЛЗ
б) 0 0
разделим на 0
т.е. есть ЛК
2) Докажем от противного. Пусть - другое представление вектора (т. е.
хотя бы одна пара 
). Вычтем формулы друг из друга:
- ЛК нетривиальна.
Но по условию - базис противоречие, то есть разложение единственно.
Вывод:
Всякий базис М определяет взаимно однозначное соответствие между векторами и их координатами относительно базиса М.
Обозначения:
М = - произвольный вектор
Тогда 
Два вектора АА и ВБ, расположенные где угодно в пространстве, называются равными между собою, если один из них, например АА, можно совместить с другим, ВВ, посредством параллельного переноса («сдвига»), т. е. движения, состоящего в том, что вектор АА скользит параллельно самому себе так, что точка А скользит по отрезку АВ, а точка А - по отрезку В (рис. 4).
Если векторы АА и ВВ лежат на одной прямой, то по этой же прямой происходит и скольжение, совмещаюшее АА с ВВ, и мы получаем уже данное в первой главе определение равных векторов (на прямой).
Если же равные векторы АА и ВВ не лежат на одной прямой, то при совмещении вектора АА с вектором ВВ посредством параллельного переноса вектор АА зачертит параллелограмм ААВВ, в котором векторы АА и ВВ будут противоположными сторонами.
Поэтому определение равенства векторов может быть сформулировано и так:
Два вектора АА и ВВ, лежащие на одной и той же прямой, равны, если их отношение равно 1.
Два вектора АА и ВВ, не лежащие на одной прямой, равны, если, соединяя прямолинейными отрезками их начальные точки А и В и их концевые точки А и В, мы получим параллелограмм , в котором эти векторы будут двумя противоположными сторонами.
Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, и в большинстве тех случаев, с которыми нам придется иметь дело, это отличие несущественно; мы будем поэтому считать, что вектор ВВ, равный вектору АА, - это тот же вектор АА, но только перенесенный в другое место, а именно приложенный к точке К. Отвлекаясь, таким образом, от точки приложения вектора, мы приходим к тому, чтобы весь класс равных между собою векторов , приложенных ко всевозможным точкам М пространства, рассматривать как новый математический объект, и этот объект мы называем свободным вектором, определенным каждым из равных между собою векторов, составляющих данный класс (рис. 5).
Мы будем часто иисать . и понимать иод и как любой из равных между собою векторов АА, ВВ и т. д., так и весь образованный ими класс, т. е. свободный вектор.
Предположим теперь, что каждая точка М пространства сдвинулась вдоль приложенного к ней вектора (одного и того же для всех точек М) и переместилась в точку М. Мы получаем сдвиг, или параллельный перенос, всего пространства (в себе) на вектор .
Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между сдвигами пространства и свободными векторами, позволяющее отождествить между собою эти два понятия.
Множество всех векторов, лежащих на дайной прямой (или на данной плоскости), естественно, тоже распадается на классы равных между собою векторов, называемых свободными векторами данной прямой или плоскости; они могут быть отождествлены со сдвигами этой прямой (или плоскости) по себе самой.
Нулевой вектор определяет нулевой (или «тождественный») сдвиг, состоящий в том, что все точки пространства остаются неподвижными на своих местах.
