Эллипс

Эллипс. Фокусы. Уравнение эллипса. Фокусное расстояние.

Большая и малая оси эллипса. Эксцентриситет. Уравнение

касательной к эллипсу. Условие касания прямой и эллипса.

Эллипсом (рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F 1 и F 2 , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса (рис .1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ (рис.1) , при a < b фокусы эллипса лежат на оси О Y , а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса .

Отрезок F 1 F 2 = 2 с , где , называется фокусным расстоянием . Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса , а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса . Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом эллипса .

Пусть Р (х 1 , у 1 ) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в

Точки F 1 (–c , 0) и F 2 (c , 0), где называются фокусами эллипса , при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние .

Точки А 1 (–а , 0), А 2 (а , 0), В 1 (0, –b ), B 2 (0, b ) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А 1 А 2 = 2а образует большую ось эллипса, а В 1 В 2 – малую, – центр эллипса.

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с /a – эксцентриситет эллипса ;

– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r 1 = a + εx , r 2 = a – εx ;

– директрисы эллипса .

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие

Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, – фокусы (рис. 9.3). При этом r 1 + r 2 = 2b ,
ε = c /b , директрисы определяются уравнениями:

При условии имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a . При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством : сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).

Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox :

Если центр эллипса с полуосями находится в точке то его уравнение имеет вид:

Пример 1. Привести уравнение эллипса x 2 + 4y 2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.

Решение . Разделим уравнение x 2 + 4y 2 = 16 на 16, после чего получим:

По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:

Директрисы D 1 , D 2 описываются уравнениями:

Изображаем эллипс (рис. 9.4).

Пример 2. Определить параметры эллипса

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса со смещенным центром. Находим центр эллипса С : Большая полуось малая полуось прямые – главные оси. Половина междуфокусного расстояния а значит, фокусы Эксцентриситет Директрисы D 1 и D 2 могут быть описаны с помощью уравнений: (рис. 9.5).

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x ) + (y 2 – 2y ) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).

2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y , а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.

3) Выделяем полные квадраты:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Значит, уравнение имеет вид:

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О 1 (1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).

4) После выделения полных квадратов имеем:

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение к каноническому виду:

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке главные оси задаются уравнениями причем большая полуось малая полуось (рис. 9.8).

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x 2 + 4y 2 = 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):

Значит, и правый фокус – Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т 1 и Т 2 . По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть Тогда уравнение касательной Т 1 примет вид:

Значит, или Т 1: Оно равносильно уравнению

Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.

Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F 1 и F 2 , а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F 1 и F 2 равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F 1 и F 2 , например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).

Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F 1 и F 2 , а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.

Фиксированные точки F 1 и F 2 в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса , расстояние между ними, обозначенное через 2c, - фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, - фокальными радиусами .

Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и параметром a, а его положение на плоскости - парой точек F 1 и F 2 .

Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F 1 и F 2 , а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса . Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса , а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) - вершинами эллипса .

Число a называют большой полуосью эллипса , а b = √(a 2 - c 2) - его малой полуосью . Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).

Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F 1 и F 2 , большой осью 2a. Пусть 2c - фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 |

Выберем прямоугольную систему координат Oxy на плоскости так, чтобы ее начало совпало с центром эллипса, а фокусы находились на оси абсцисс (рис. 7.2, б). Такую систему координат называют канонической для рассматриваемого эллипса, а соответствующие переменные - каноническими .

В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F 1 (c;0), F 2 (-c;0). Используя формулу расстояния между точками, запишем условие |F 1 M| + |F 2 M| = 2a в координатах:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 , или, учитывая значение введенного параметра ε, (a 2 - c 2) x 2 /a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Так как a 2 - c 2 = b 2 > 0, то

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) - два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.

Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F 1 и F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F 1 F 2 , принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F 1 F 2 . Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению

т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система

при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:

что после преобразований приводит к уравнению

не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку . Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a 2 - c 2) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса .

Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√(1 - x 2 /a 2), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x 2 + y 2 = а 2 . Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат , то получится кривая, которая описывается уравнением x 2 + (ya/b) 2 = a 2 , т. е. эллипс.

Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b

Эксцентриситет эллипса . Отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси называют эксцентриситетом эллипса и обозначают через ε. Для эллипса, заданного

каноническим уравнением (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Если же в (7.4) параметры a и b связаны неравенством a

При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0

Уравнение (7.3) эквивалентно уравнению (7.4), поскольку эквивалентны уравнения (7.4) и (7.2) . Поэтому уравнением эллипса является и (7.3). Кроме того, соотношение (7.3) интересно тем, что дает простую, не содержащую радикалов, формулу для длины |F 2 M| одного из фокальных радиусов точки M(x; у) эллипса: |F 2 M| = a + εx.

Аналогичная формула для второго фокального радиуса может быть получена из соображений симметрии либо повторением выкладок, в которых перед возведением в квадрат уравнения (7.2) в правую часть переносится первый радикал, а не второй. Итак, для любой точки M(x; у) на эллипсе (см. рис. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

и каждое из этих уравнений является уравнением эллипса.

Пример 7.1. Найдем каноническое уравнение эллипса с большой полуосью 5 и эксцентриситетом 0,8 и построим его.

Зная большую полуось эллипса a = 5 и эксцентриситет ε = 0,8, найдем его малую полуось b. Поскольку b = √(a 2 - с 2), а с = εa = 4, то b = √(5 2 - 4 2) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с

осями эллипса в его вершинах A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F 1,2 (±4; 0) эллипса.

Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Отметим, что величина а/ε - x при а > с положительна, так как фокус F 1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F 1 M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).

У прямой d есть " двойник " - вертикальная прямая d", симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = -а/ε. Относительно d" эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d" называют директрисами эллипса . Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а 2 /с (см. рис. 7.5).

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса . Этот параметр равен

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F 1 M и F 2 M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).

Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F 1 расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F 1 , сконцентрируются во втором фокусе F 2 , и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса .

Введение

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости -- по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Эллипс и его уравнение

Определение 1. Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы эллипса обозначаются буквами и, расстояние между фокусами - через, а сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов - через. Причем 2a > 2c.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где связаны между собой равенством a 2 + b 2 = c 2 (или b 2 - a 2 = c 2).

Величина называется большой осью, а - малой осью эллипса.

Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

Обозначается буквой.

Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F1(c,0) и F2(-c,0) − c называются

a, b - полуоси эллипса.

Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис эллипса, если известно его каноническое уравнение.

Определение гиперболы. Фокусы гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси гиперболы. Построение гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Каноническое уравнение:

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Эксцентриситет гиперболы

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с –

половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Директрисы гиперболы

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Определение параболы. Фокус и директриса параболы.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Каноническое уравнение параболы. Параметр параболы. Построение параболы.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: (или , если поменять местами оси).

Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:

Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;

Через точку K перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD1;

Отрезок KF делят пополам получают вершину 0 параболы;

От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;

Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;

На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;

Полученные точки соединяют плавной кривой.