История возникновения логарифмов Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером () и математиком Иостом Бюрги (Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».
Натуральные логарифмы Таблицы и свойства натуральных логарифмов аналогичны таблицам и свойствам обычных логарифмов. Основное различие между теми и другими состоит в том, что целочисленная часть натурального логарифма не имеет существенного значения при определении положения десятичной запятой, и поэтому различие между мантиссой и характеристикой не играет особой роли.
Кологарифмы Пропорциональные логарифмы при a = 1 называются кологарифмами и применяются в вычислениях, когда приходится иметь дело с произведениями и частными. Кологарифм числа n равен логарифму обратного числа; т.е. cologn = log1/n = – logn. Если log2 = 0,3010, то colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Преимущество использования кологарифмов состоит в том, что при вычислении значения логарифма выражений вида pq/r тройная сумма положительных десятичных долей logp + logq + cologr находится легче, чем смешанная сумма и разность logp + logq – logr.
Логарифм числа. Свойства логарифмов.
ГБОУ ЦО № 173 Попова Л.А.
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию a, а>0,a≠1, называется показатель степени в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
Десятичный логарифм - это логарифм по основанию Обозначение:
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е (е - иррациональное число, приближенное значение которого: е=2,7.Обозначение:
Основное логарифмическое тождество
, где
Свойства логарифмов
Логарифм единицы
Логарифм произведения положительных чисел
Логарифм частного положительных чисел
Логарифм степени положительных чисел
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
Следствия
Вычислите:
log 464=
52 5log53=
lg1=
lg0,1 =
log381=
lоg77 =
log1/216=
log12√ 144
lg3√100=
log1/31/81=
log1/21/32=
lоg5125
log23√2=
log1/749
lg0,001 =
log2 log 381=
lg10000=
log2 log 5625=
Устный счет
Формула перехода к десятичным и натуральным логарифмам
Замените данный логарифм логарифмом по основанию 3:
1.
2.
.3
4.
5.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ «Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме, показательной форме и обратно»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯпо предмету: Элементы высшей математики (ЕН 01) по теме:«Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы...
Методические рекомендации по оказанию помощи в обеспечении жильем детей-сирот, детей, оставшихся без попечения родителей, и лиц из их числа (лицам из числа детей-сирот, социальным педагогам, педагогическим работникам, воспитателям, родителям (законным
Целью урока является повторение понятия логарифм. Научить студентов использовать свойства логарифма при вычислении значении логарифмических выражении. Ознакомитьстудентов исторической справкой изобрет...
Корень n-й степени из действительного числа и его свойства
Цели урока: Образовательная: формирование у учащихся целосного представления о корне n-ой степени....
Логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?
Логарифмы – это рифмы,
Словно в музыке слова.
С ними проще вычисленья –
Не сложней, чем дважды два.
Л. Нестерова
Заседание «Учебного совета»
- Систематизируем и расширим знания по теме «Логарифмы»;
- Рассмотрим практическое и теоретическое применение логарифмов;
- Решим логарифмы из заданий ЕГЭ;
- И просто отдохнем вместе с логарифмами.
План заседания:
Приветственная речь
председателя Ученого Совета
Введение в мир логарифмов с математической точки зрения
Черно- белое оппонирование
История развития логарифмов. Логарифм-это занимательно?!
Черно- белое оппонирование
Логарифм- это обычное математическое понятие или нечто большее?
Черно- белое оппонирование
Логарифм в заданиях ЕГЭ.
Мини-соревнования
Рефлексия
Математики - теоретики
Историки
Делимся на группы
Науковеды
Математики - практики
Группа «Математики-теоретики»
Логарифмы в математике
Определить необходимость изучения логарифмов в математике
Слово «логарифм» происходит от греческих слов - число и - отношение . Переводится как «отношения чисел», одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое –геометрической.
Словарь русского языка С. И. Ожегова
Логарифм - в математике: показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число.
Толковый словарь живого великорусского языка" В. Даль
Логарифм . Если под рядом чисел геометрической прогрессии (лествицы) выставить ряд отвечающих им чисел арифметической прогрессии, то каждое из последних будет логарифмом дружки своей, в первом порядке; сим способом умножение обращают в сложение, деление в вычитанье, что и облегчает выкладки.
«Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них».
Джон Непер, «Канон о логарифмах»
Джон Непер (1550-1617)
Генри Бригс (1561-1631)
Бригсов логарифм - то же, что десятичный логарифм.
Назван по имени Г. Бригса
Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа а обозначают lgа
Неперов логарифм - (по имени Дж. Непера), то же, что натуральный логарифм
Натуральный логарифм - логарифм, основание которого - неперово число е = 2,718 28... Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.
В мире нет ничего, кроме Красоты.
В Красоте нет ничего, кроме Формы.
В Форме нет ничего, кроме пропорций.
В пропорциях нет ничего, кроме Числа.
Пифагор
«Золотые» логарифмы – это логарифмы с основанием равным числу
Ф (1, 6180339) описываются формулой
log Ф M = P
Три основания логарифмов:
10,000 ; 3,838 ; 2,71 .
Во-первых , логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.
Во-вторых , испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.
Логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.
Группа «Историки»
История появления логарифмов
Установить картину возникновения понятия «логарифм»
Проект предполагает сбор и анализ данных, их представление в четком визуальном виде и направлен на формирование понимания содержательного смысла термина «логарифм»
Кем и когда были введены логарифмы?
Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.
П. С. Лаплас
Архиме́д (III в. до н.э.) - древнегреческий физик, механик и инженер из Сиракуз.
Продолжил работу в XVI веке шотландский барон Непер
Непер Джон (1550-1617) - шотландский математик, изобретатель логарифмов. Учился в Эдинбургском университете. Основными идеями учения о логарифмах Непер овладел не позднее 1594, однако его «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором изложено это учение, было издано в 1614.
В этом труде содержались определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.
Непер вошёл в историю как изобретатель замечательного вычислительного инструмента - таблицы логарифмов. Это открытие вызвало гигантское облегчение труда вычислителя.
В честь Джона Непера названы:
- В честь Джона Непера названы:
- кратер на Луне;
- астероид 7096 Непер;
- логарифмическая безразмерная единица, измеряющая отношение двух величин;
- университет в Эдинбурге
Логарифмическая линейка - инструмент вычислений
В 1623 г. английский математик Д. Гунтер изобрёл первую логарифмическую линейку, ставшую рабочим инструментом для многих поколений.
Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов.
При помощи таких логарифмических линеек советские инженеры выполняли расчеты при проектировании зданий, сооружений, крупных промышленных объектов, возводимых в СССР, новых самолетов, машин, кораблей. Ее использовали бухгалтеры и специалисты, которых сейчас назвали бы менеджерами. Когда-то логарифмические линейки значительно облегчали жизнь и студентам.
Ныне неумолимый прогресс предал логарифмические линейки забвению и оставил им место только на музейной полке.
Знаменитости и спираль
Впервые о логарифмической спирали говорится в письме французского математика Рене Декарта в 1638 г.
Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал логарифмическую спираль математическим символом жизни.
Логарифмическая спираль так поразила математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее изображение на своем надгробном камне вместе с надписью на латинском «Измененная, возрождаюсь прежней».
3» Комедия начинается с неравенства бесспорно правильного. Затем следует преобразование тоже не внушающее сомнение. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, После сокращения на lg получаем: 23. В чем ошибка этого рассуждения? Ошибка в том, что lg" width="640"
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ «КОМЕДИЯ 2 3»
Комедия начинается с неравенства бесспорно правильного.
Затем следует преобразование тоже не внушающее сомнение.
Большему числу соответствует больший логарифм, значит,
После сокращения на lg получаем: 23.
В чем ошибка этого рассуждения?
Ошибка в том, что lg
Группа «Науковеды»
Логарифмы - это обычные математические понятия или нечто большее?!
В каких науках применяются логарифмы
Как многие реальные объекты астрономии, биологии, физики, химии и других естественных наук связаны с логарифмами?
«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».
Во II веке до н.э. Гиппарх разделил звезды на 6 групп. Самые яркие – звезды 1-ой величины, самые слабые – 6-ой величины.
Установлено, что звезда 1-ой вел. ярче звезды 6-ой вел. ровно в 6 раз.
- звезда 1 вел. ярче зв. 2 вел. в 2,512;
- звезда 1 вел. ярче зв. 3 вел. В 2,512 2 ;
Область применения логарифмов весьма разнообразна: математика, литература, биология, психология, сельское хозяйство, музыка, астрономия, физика
Так что астрологи, оценивая видимую яркость звезд, оперируют с таблицей логарифмов, составленный
при основании 2,512.
«Величина» звезды есть не что иное, как логарифм ее физической яркости.
- Водородный показатель pH - это мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность, вычисляется как отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр:
- pH = -lg
Логарифмическая спираль в технике
И эту спираль мы повсюду встречаем: К примеру, ножи в механизме вращая. В изгибе трубы мы ее обнаружим - Турбины тогда максимально послужат!
Величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения
Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков.
- Один из наиболее распространенных пауков ЭПЕЙРА, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали
- По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит Солнечная Система
Спиральная галактика Водоворот
Любопытная задача, взятая из книги “Господа Головлевы” Салтыкова-Щедрина:
“ Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей?
Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько % платил в то время ломбард.
Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах . Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата.
Поистине безграничны приложения логарифмической функции и логарифмов в самых различных областях науки и техники.
Многообразное применение функции вдохновило английского поэта Э. Брилла на написание оды о логарифмах.
Были поэты, которые не посвящали логарифмам целых од, но упоминали их в своих стихах. Известный поэт Борис Слуцкий в своём нашумевшем стихотворении «Физики и лирики» писал:
«Потому-то, словно пена,
Опадают наши рифмы
И величие степенно
Отступает в логарифмы».
Выполняя данную работу, мы сделали для себя открытие, что логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений. Быть может человечество стоит на пороге новых революционных открытий, и поможет нам в этом «царица наук»- математика!
Группа «Математики-практики»
Цель нашей работы:
показать решение примеров, взятых из заданий ЕГЭ.
Мы поставили перед собой задачу:
показать, что знания о логарифмах необходимы и на ЕГЭ по математике.
Только зная все свойства логарифма, можно научиться решать примеры
log
a
=
log
+
b
с
log
с
b
log
=
a
a
a
a
log
b
b
b
b
a
=
log
–
b
a
a
с
log
a
=
log
с
a
a
a
b
log
b
log
log
c
b
log
b
=
=
b
a
a
a
a
log
log
b
c
log
b
log
a
=
r
b
a
log
b
r
log
b
=
a
a
b
log
log
b
=
r
r
a
r
a
Вывод:
логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.
Мини – соревнования
Конкурс №1
Назовите фамилию математика, который продолжил работу Непера по созданию таблиц логарифмов?
Ключ к ответу:
Ответ: Бригс
Конкурс №2
Укажите географические координаты острова Ян - Майен, где проживал Непер – создатель логарифмов.
Географические координаты:
х °00′ северной широты, у °00′ западной долготы.
Чтобы найти х и у, решите уравнения:
71°00′ северной широты, 8°00′ западной долготы
Черный ящик
Здесь лежит результат деятельности многих ученых. То, что здесь находится использовалось в учебных заведениях и инженерных расчетах до конца прошлого века.
Здесь лежит, то что еще в 20 годах 17 века придумал английский математик Уильям Отред.
о с н в а н и е
ч а с т н о о
п о к з а т е л ь
д е с я т ч н ы й
л о г а р и м и р о в а н и е
Любимая цифра
А теперь возьмите, пожалуйста, ручки и запишите свою любимую цифру.
Умножьте эту цифру на 9. Полученное число умножьте на 12345679.
Если Вы сделали правильно, то у Вас получится букет из Ваших любимых цифр. А теперь припишите справа к полученному числу 9 нулей. Пусть в Вашей жизни будет столько счастливых дней.
Презентация «Понятие логарифма» помогает учителю объяснить ученикам суть понятия логарифма. Пособие содержит наглядный материал для введения данного понятия, представления его определения. С помощью презентации учителю легче научить учеников вычислять логарифмы, дать необходимые знания для выполнения вычислений. В форме презентации есть возможность понятно и наглядно демонстрировать построение графиков функций, отмечать особенности построения. Выделением цвета можно облегчить запоминание понятий, свойств, особенностей решения математических задач. Применение наглядности дает возможность повысить эффективность урока, быстрее достичь учебных целей.
Демонстрация начинается с напоминание особенностей показательной функции. Рассматривается пример показательного уравнения 3 х =8. Определяются координаты точек, принадлежащих графику этой функции. Эти координаты заносятся в таблицу. По координатам строится график функции. Также отмечается, что решением уравнения будет пересечение графиков функций у=3 х и у=8.На рисунке построены данные графики.
На втором слайде вводится понятие логарифма log a - логарифма по основанию а. Понятие обведено рамкой и отмечено как важное и требующее запоминания. На следующем слайде демонстрируется показательное уравнение, рассмотренное в начале презентации, и раскрывается связь между показательным уравнением 3 х =8 и понятием логарифма, так как в данном уравнении х - это логарифм от 8 по основанию 3. После введения понятия и объясняющего примера ученикам представляется определение логарифма. На слайде 4 представляется определение, в котором указано, что логарифмом положительного bпо положительному основанию, не равному 1, называется показатель степени, в которую возводится а для получения числа b. Определение заключено в рамку, выделено цветом и рекомендовано для запоминания.
На слайде 5 рассматриваются примеры вычисления логарифмов чисел. Определяются значения логарифмов log 3 27=3, log 2 (1/64)=-6, log 1/9 81=-2, log 16 4=1/2. Рядом с каждым примером демонстрируется, как при возведении основания логарифма в его значение получается число, от которого вычислялся логарифм. В результате такого рассмотрения сути логарифма становится понятным, как формируется значение логарифма.
На слайде 6 рассматриваются простейшие случаи вычисления логарифма, отражающие некоторые его свойства. В первом определяется логарифм log а а=1, log а 1=0, log а m=m. Каждый пример проверяется возведением основания логарифма в нужную степень. На слайде 7 отмечается, что число log 3 8 является иррациональным. Доказательство этого утверждения проверяется на слайде 8. Выполняется доказательство от противного.
Предполагается, что log 3 8 является рациональным числом. Это значит, что решение логарифма можно представить в виде обыкновенной дроби m/n.
То есть 3 m / n =8. При возведении обеих частей уравнения получаем уравнение (3 m / n) n =8 n . Следовательно, получаем противоречие 3 m =8 n . Утверждение доказано.
На слайде 9 представлено важное свойство логарифма а log а B =b. Для подтверждения данного правила на слайде 10 приводятся примеры 4^ log 4 5=5, 0,2^ log 0,2 7=7, 13^ log 13 56=56. Чтобы лучше понять процесс логарифмирования, представляется таблица, в левой части которой выполняется возведение в степень, а в правой части выполняется операция, обратная возведению в степень - логарифмирование. Представлены три примеры логарифмирования log 6 36=2, log 10 10000=4, log 0,2 0,00032=5.
Далее рассматривается пример вычисления выражения, в котором содержится логарифм log 1/15 (225 3 √15). Чтобы найти значение выражения, оно принимается за х. В соответствием с определением логарифма, (1/15) х =225 3 √15. Приводим обе части к виду, чтобы основание степени в правой и левой части уравнения были одинаковыми 15 -х =15 2 ·15 1/3 . Применив знания о свойствах степени, упрощаем выражение 15 -х =15 2+1/3 . Вычисление логарифма свелось к решению уравнения -х=7/3. Из него находим решение х=-7/3.
В примере 2 требуется вычислить значение логарифма log 0,5 1/4√2. Аналогично предыдущему примеру, сначала применяем знание о логарифме. Вводим переменную у= log 0,5 1/4√2. Из данного уравнения получаем (0,5) у =1/4√2. Приводим обе части уравнения к виду степени с одинаковым основанием (1/2) у =(1/2) 5/2 . Из данного уравнения извлекаем решение у=2,5.
Далее вводится понятие десятичного логарифма. В рамке выделено, что логарифм с основанием 10 является десятичным логарифмом и в математике обозначается log 10 х= lgх. На последнем слайде приводится пример записи десятичного логарифма log 10 1000= lg1000.
Презентация «Понятие логарифма» рекомендуется для применения на школьном уроке алгебры для повышения его эффективности. Также данное наглядное пособие может быть полезно учителю, осуществляющему дистанционное обучение. Материал может быть рекомендован для самостоятельного рассмотрения учениками, которые недостаточно хорошо усвоили тему на уроке или требуют дополнительных занятий.
Радиоактивный распад Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле N= N0 2-t/T,где N0- масса вещества в момент времени t, T- некоторая константа, смысл которой мы сейчас выясним. Вычислим значение N, при t=T. Так, N(T)=N0*2^-1=N0/2.Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полурараспада радия равен 1600 лет, урана,5 миллиардов лет, цезия год, йода суток. Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде N= No L- t \ T.Связь константы Т с периодом полураспада нетрудно найти: L-t\T=2 –t\ T= -t\T ln2=T\ ln2~ 1.45 Т.
Барометрическая формула Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону. P=Po L- h\H, где р-давление на уровне h, Н- некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20, величина Н~7.7 километров. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле: D=A log Po\P, где Po- давление звука до поглощения,Р- давление звука, прошедшего через стену, А- некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 ДБ. Если коэффициент звукоизоляции Д равен, например,20 ДБ, то это означает, что Log Po\ P=1 и Po=10p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).
Формула Циолковского. Эта формула,связывающая скорость ракеты V с её массой m, таковы: V=Vr ln m o \m, где Vr- скорость вылетающих газов,m o -стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива V r- невелика (в настоящее время) она меньше или равна 2 км\с. Логарифмический расчет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение m o \m т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
