Тео р ема 1: Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости (рис. 43).
Тео р ема 2 : Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, лежащей в данной плоскости (рис. 44).
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Основные методы проецирования. Сущность операции проецирования
Министерство образования и науки Российской Федерации казанский государственный университет..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Казань 2010
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом КГАСУ
Принятые обозначения и символика
1. Точки - прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4…
2. Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d….
3. Поверхности
Центральное проецирование
В методе центрального проецирования все проецирующие лучи проходят через общую точку S. На рис.2 представлена кривая ℓ точками А, В, С и ее центральная проекци
Общие свойства проецирования
1. Проекцией точки является точка.
2. Проекцией прямой линии – прямая (частный случай: проекция прямой – точка, если прямая проходит через центр проекций).
Ортогональные проекции (прямоугольные проекции или метод Монжа)
Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция точки А (рис.
Построение дополнительной профильной плоскости проекций
Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерн
Октанты
Плоскости проекций при взаимном пересечении делят пространство на 8 трехгранных углов, или октантов (от лат. Octans – восьмая часть).
Расчет их веде
Изображение линии на эпюре монжа
Простейшим геометрическим образом является линия. В начертательной геометрии приняты два способа образования линии:
1. Кинематический - линия рассматриваетс
Определитель линии
Определитель – это совокупность условий, задающих геометрический образ.
Определитель линии – это точка и направлен
Прямые частного положения
Прямые частного положения – это прямые, параллельные или перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Существуют 6 прямых частного положения,
Принадлежность точки линии
Тео р ема: Точка принадлежит линии, если одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях линии (рис. 21).
&nbs
Следом прямой
Горизонтальный след М – точка пересечения прямой с
горизонтальной плоскостью проекций П1.
Фронтальный след N – точка пересечения прямой с
Взаимное расположение прямых линий
Две прямые в пространстве могут: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться.
1. Параллельными называются две прямые, которые лежат
Определение видимости геометрических элементов
При изображении непрозрачных предметов, в целях придания чертежу большей наглядности, проекции видимых элементов принято вычерчивать сплошными линиями, а невидимых –
Теорема о прямом угле
Тео р ема: Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а другая сторона не перпендикулярна ей, то на эт
Определители плоскости
Раздел 3
Плоскость - простейшая поверхность I порядка, задается определителем:
∑ (Г, А), где: ∑ - обозначение п
Следы плоскости
Следами плоскости называются линии пересечения
Плоскость общего положения
Плоскость общего положения – это плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (рис. 35).
Все чертежи
Плоскости частного положения
Кроме рассмотренного общего случая плоскость, по отношению к плоскостям проекций, может занимать следующие частные положения:
1.
Главные линии плоскости
Из всех прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии, к которым относятся:
1 Горизонталь плоскости
Преобразование чертежа
Раздел 4
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений, при этом,
Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении заданного геометрического объекта в пространстве про
Проекций
Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:
1. Замена плоскости проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой ур
Определение истинной длины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника
Как известно, проекция прямой общего положения имеет искаженную величину. Для определения натуральной величины прямой, помимо вышеизложенного метода, используется
Способ вращения вокруг проецирующих осей
При решении задач на преобразование чертежа способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг проецирующей оси.
Вращение вокруг линии уровня
Данный способ применяется для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня и для определения натуральной величины плоской фигуры.
Задача реш
Определитель поверхности
Раздел 5
Поверхности рассматриваются как непрерывное движение линии в пространстве по определенному закону, при этом линия, которая дв
Линейчатые поверхности
Линейчатые поверхности образуются непрерывным движением прямой образующей по некоторой направляющей, которая может быть прямой, ломаной или крив
Винтовые поверхности
Винтовые поверхности образуются винтовым движением прямой образующей. Это совокупность двух движений образующей: поступательного перемещения вдо
Поверхности вращения (ротационные) Определитель поверхностей вращения
Поверхности вращения получили широкое применение в архитектуре и строительстве. Они наиболее ярко выражают центричность архитектурной композиции и, кроме того, отлич
Поверхности, образованные вращением плоской кривой
Поверхности данной группы называются поверхностями общего положения.
Алгоритм построения поверхностей (рис. 70):
1.
Поверхности, образованные вращением прямой
Определитель поверхности: Σ (i, ℓ),
где i - ось вращения, ℓ - прямая.
Окружности
Определитель поверхности: Σ (i, ℓ),
где i - ось вращения, ℓ - окружность.
а) сфера (шар)
Пересечение поверхности геометрического тела с плоскостью
Построение линии пересечения поверхности с плоскостью применяется при образовании форм различных деталей строительных конструкций, при вычерчивании разрезов и планов
Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел
Архитектурные сооружения и здания, различные фрагменты и детали являются сочетанием геометрических форм – призм, параллелепипедов, поверхностей вращения и более слож
Частные случаи пересечения поверхностей
Существуют два случая частного пересечения поверхностей:
1. Обе пересекающиеся поверхности – проецирующие.
Общий случай пересечения поверхностей
В этом случае обе пересекающиеся поверхности занимают общее положение в пространстве относительно плоскостей проекций. Задачи решаются с помощью посредников, в качес
Построение линии пересечения поверхностей второго порядка способом концентрических сфер
При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка, которая может распадаться на две
Теорема Монжа
Тео р ема: Если две поверхности вращения (второго порядка) описаны вокруг третьей или вписаны в нее, то линия пересечения их распадае
Пересечение прямой с поверхностью или плоскостью
Задачи на определение точек пересечения прямой с поверхностью (плоскостью) являются основными позиционными задачами начертательной геометрии, а также при построении
Развертки поверхностей
Раздел 7
Построение разверток – это инженерная задача, встречающаяся при выполнении технических деталей из тонкого листового материала, например, кожух вен
Развертка пирамиды
Задача. Построить развертку пирамиды SАВС. Определить на развертке положение точки М (рис. 98).
Решение:
Итак, для построения развертки поверхности, не
Развертка призмы
Рис.98
При построении развертки боковой поверхности призмы
используют 2 способа:
1. способ нормального сечения;
2.
Развертки кривых поверхностей
В общем случае развертки кривых поверхностей выполняются способом триангуляции,т.е. заменой кривой поверхности на вписанную в нее гранную пов
Развертка прямого кругового конуса
Задача. Построить развертку прямого кругового конуса (рис. 101).
Решение:
Для построения развертки, в поверхность конуса вписывается n-гранная п
Развертка наклонного (эллиптического) конуса
Задача. Построить развертку наклонного конуса. Нанести на развертку линию пересечения конуса фронтально проецирующей
плоскостью ∑ (рис. 102).
Решение:
Развертка прямого кругового цилиндра
Задача. Построить развертку прямого кругового цилиндра (рис.103).
Решение:
Как и в рассмотренной выше задаче, в поверхность цилиндра вписывается n
Развертка поверхностей сферы и тора
Поверхность сферы и тора развертываются приближенно.
Суть построения состоит в том, что
развертку поверхности строят, разделив ее на равные доли (рис. 104) по меридианам, и каждую
Сущность метода проекций с числовыми отметками
Способы изображения, рассмотренные ранее, оказываются неприемлемыми при проектировании таких инженерных сооружений,
как полотно железной или шоссейной дорог, дамбы, аэродромы, различного р
Изображение прямой
Прямая линия может быть задана проекциями двух любых ее точек. Итак, в пространстве расположена точка А, высота ее 3 единицы (рис. 107).
Заложение, превышение, интервал и уклон прямой
На рис. 109 изображена прямая АВ и ее проекция А1В3на нулевую пл
Градуирование прямой
Градуирование прямой– нахождение на проекции прямой точек, имеющих целые числовые отметки.
Градуирование основано на способе пропорцион
Взаимное расположение прямых
Положение двух прямых в пространстве может быть определено по их проекциям на плоскость нулевого уровня (П0), если соблюдаются следующие условия:
1. Д
Изображение плоскости
Плоскость в проекциях с числовыми отметками изображается и задается теми же определителями, что и в ортогональных проекциях, а именно:
Взаимное расположение плоскостей
Две плоскости в пространстве могут либо быть параллельными между собой, либо пересекаться под прямым или острым-тупым углами.
1.
Пересекающиеся плоскости
(рис.123):
Плоскости, масштабы уклонов которых не удовлетворяют хотя бы одному из указанных выше условий, пересекаются.
Рис. 122
Пересечение прямой с плоскостью
Задача. Построить точку пересечения прямой А4В7с плоскостью, заданной масштабом уклонов ∑i.
Решение:
Изображение поверхностей
В рассматриваемом методе все поверхности независимо от способа их образования изображают проекциями их горизонталей с указанием отметок, фикс
Поверхность одинакового ската (равного уклона)
Поверхностью одинакового ската называется линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с некоторой плоскостью одинако
Топографическая поверхность
Существует большой класс поверхностей, строение которых не подчинено строгому математическому описанию. Такие поверхности называют топографическими.
Построение линии наибольшего ската топографической поверхности
Линии ската и одинакового уклона имеют широкое применение в инженерной практике. Знать направление линии ската нужно, в частности, для того, чтобы принять необходимы
Определение границ земляных работ
При проектировании железнодорожных трасс, шоссейных дорог, при возведении строительных площадок, необходимо определять объемы земляных работ, проводимых при сооружен
Заключение
Данное учебное пособие, как уже отмечалось, может быть использовано студентами специальностей 270106 «Производство строительных материалов, изделии и конструкций», 2
Ортогональные проекции (прямоугольные
проекции или метод Монжа)…………………………......... 9
1.5. Частные случаи расположения точек в пространстве………………………………………………11
1.6. Построение дополнительной профильной
Пересечение поверхности геометрического тела
с плоскостью………………………………………………47
6.2. Взаимное пересечение поверхностей
геометрических тел……………………………………….52
6.3. Свойство проецирующей поверхности………………..52
6.4
Начертательная геометрия (краткий курс)
Учебное пособие
Редакционно-издательский отдел
Подписано в п
5.1 Задание плоскости
Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадлежащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:
· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);
· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );
· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );
· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );
· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).
Рисунок 5.1
Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости определяется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.
Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).
Рисунок 5.2
5.2 Следы плоскости.
Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фронтальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .
5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).
Рисунок 5.3
Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 перпендикулярен к оси x.
Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонтальный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.
Рисунок 5.4
Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).
Рисунок 5.5
Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.
Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).
Рисунок 5.6
Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):
· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);
· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и параллельна П 2 (рисунок 5.7, б);
· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).
Рисунок 5.7
Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.
5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости
Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:
· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;
· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.
Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.
Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.
Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.
Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).
Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).
Рисунок 5.8
Рисунок 5.9
К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П 3 .
К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.
5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций
Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .
Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).
Рис. 3.2 Взаимное расположение прямых
Прямые в пространстве могут занимать относительно друг друга одно из трех положений:
1) быть параллельными;
2) пересекаться;
3) скрещиваться.
Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Если прямые параллельны друг другу, то на КЧ их одноименные проекции тоже параллельны (см. п. 1.2).
.
Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А . Причем фронтальная () и горизонтальная ()проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.
.
Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.
Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.
На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b , а точка D - прямой а . Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций. Аналогично точки E и F принадлежат разным прямым, но находятся на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций. Поэтому на КЧ их фронтальные проекции совпадают.
Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.5).
Признак принадлежности точки и прямой плоскости:
Точка принадлежит плоскости , если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости , если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.
На рис. 3.5 изображена плоскость и точки D и Е . Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой l , имеющей с этой плоскостью две общие точки - 1 и А . Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости.
Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.
Задача: Плоскость S задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М 2) принадлежит плоскости.
Найти М 1.
Краткая запись условия задачи: S(а Ç b), М(М 2)Î S; М 1 = ?
Решение: Через точку М 2 (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую
kÌ S: k 2 Ç a 2 =1 2 ; k 2 Ç b 2 =2 2 ;
затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 1 1 и 2 1 проводим прямую k 1 и на ней, с помощью линии связи, находим точку М 1 . И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.
Прямая принадлежит плоскости, если она:
1. Проходит через две точки плоскости;
Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.
Задача: Плоскость Г задана DАВС (рис. 2-5).
Точка М(М 1) принадлежит Г . Найти М 2 .
М(М 1)Î Г(АВС). М 2 = ?
Решение:
Через точку М 1 (рис.2-6) проведём прямую k , параллельную стороне треугольника АВ . Она пересечёт сторону АС в точке 1 : k 1 || A 1 B 1 ; k 1 A 1 Ç C 1 =1 1 ; с помощью линии связи найдём 1 2 , проведём k 2 параллельно А 2 В 2 ней найдём точку М 2 :
Алгоритмическая запись решения:
1 1 Î A 1 C 1 Þ 1 2 Î A 2 C 2 ; 1 2 Î k 2 , k 2 || A 2 B 2 ; M 2 Î k 2 .
Как вы думаете?
Сколько решений имеет эта задача?
Плоскости частного положения
Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.
Имеется две группы таких плоскостей:
- Проецирующие плоскости
- Плоскости уровня
Проецирующие плоскости
Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей.
Одна из её проекций вырождается в прямую линию, называемую главной проекцией и обладающую собирательными свойствами.
Горизонтально проецирующая плоскость
Это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций: Г^^ П 1
(рис. 2-7а, 2-7б).
Графический признак:
Горизонтальная проекция Г 1 горизонтально проецирующей плоскости прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция.
Например:
Г ^^ П 1 - горизонтально проецирующая плоскость.
Г^ П 1 Þ Г 1 - прямая линия, главная проекция.
Ðb - угол наклона плоскости Г к П 2 .
Пространственный чертеж
Чтобы прямая лежала в данной плоскости, необходимо, чтобы эта прямая имела с плоскостью две общие точки, которые и определят эту прямую.
Возьмем на данных прямых две произвольно расположенные точки Е
и F
(Е 1 Е 2
и F 1 F 2
) и проведем через них прямую k
(k 1
и k 2
). Эта прямая будет расположена в данной плоскости, так как она имеет с ней две общие точки (фиг.232,б).
Изображение на комплексном чертеже прямой, расположенной в плоскости, заданной следами:
а)
Возьмем на следах k
и L
произвольно точки М
(М 1 М 2
) и N
(N 1 N 2
) как следы прямой (фиг.233,а).
б)
Проведем через одноименные фронтальные (М 2
и N 2
) и горизонтальные (М 1
и N 1
) проекции точек М
и N
прямые (фиг.233,б).
Прямая MN
будет расположена в плоскости а как имеющая с ней две общие точки.
Отсюда следует: для того чтобы прямая принадлежала плоскости, надо, чтобы следы прямой лежали на одноименных следах этой плоскости.
Прямая лежит в плоскости, если имеет с ней одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в плоскости. Пусть задана плоскость (фиг.234,а) прямой АВ
(А 1 В 1
и A 2 В 2
) и точкой С
(C 1 C 2
).
Требуется в заданной плоскости провести прямую через заданную точку С
.
Проведем через точку С
(С 1 С 2
) прямую параллельно прямой АВ
(А 1 В 1
и А 2 В 2
); эта прямая будет расположена в данной плоскости, так как она имеет с плоскостью общую точку и параллельна прямой, лежащей в данной плоскости (фиг.234,б).
Изображение на комплексном чертеже прямой
, расположенной в плоскости и параллельной одному из следов плоскости. Для проведения прямой в заданной следами плоскости а общего положения (прямая должна быть параллельна горизонтальному следу k
данной плоскости), возьмем на следе L
произвольную точку N (N 1 N 2
) как точку, лежащую в данной плоскости а (фиг.235,а).
След k
принимаем за прямую, лежащую в плоскости П 1
Проведем прямую через точку N 1
параллельно прямой k 1
получим горизонтальную проекцию h 1
прямой h
. Фронтальная проекция h 2
прямой h
пройдет через точку N 2
и расположится параллельно оси х 12
как прямая, параллельная плоскости П 1
(фиг.235,б).
Прямая h
будет принадлежать плоскости а
, как имеющая с ней общую точку (след N
) и параллельная прямой (следу к
), лежащей в данной плоскости.
Аналогичное построение будет справедливо и для случая, когда требуется провести прямую в заданной следами плоскости общего положения параллельно фронтальному следу L
(фиг.235,в и г).
Прямая h
, лежащая в плоскости а
, параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1
, называется горизонталью данной плоскости (фиг.235,а и б).
Прямая f
, лежащая в плоскости а
, параллельная фронтальной плоскости проекций П 2
, называется фронталью данной плоскости (фиг.235,в и г).
Отсюда следует, что через всякую точку, лежащую в данной плоскости, можно провести одну горизонталь и одну фронталь. Разобрав различные изображения прямой в плоскости, можно на комплексном чертеже решить обратную задачу, т. е., имея проекции прямой, провести через нее соответствующую плоскость.
Пример 1.
Через данный отрезок АВ
(А 1 В 1 А 2 В 2
) провести плоскость общего положения и показать проекции следов этой плоскости (фиг. 236,а).
Зная, что следы прямой должны лежать на одноименных следах плоскости, сначала находим следы прямой, затем выбираем в произвольном месте на оси х 12
точку F 12
схода следов (фиг. 236,б) и, наконец, проводим следы плоскости общего положения (фиг. 236,в).
Пример 2.
Через данный отрезок АВ
(А 1 В 1 , А 2 В 2
) провести горизонтально - проектирующую плоскость и показать ее проекцию.
Так как в этом случае горизонтальная проекция прямой должна сливаться с горизонтальной проекцией плоскости, проводим горизонтальную проекцию σ 1
плоскости через горизонтальную проекцию прямой (фиг. 237).
Точка в плоскости. В случае изображения на комплексном чертеже проекций точки, лежащей в данной плоскости, сначала проводят в плоскости вспомогательную прямую, а затем на ней изображают точку.
а)
Построить проекции произвольной точки A
, принадлежащей плоскости а
, заданной следами (фиг.238,а).
Воспользуемся фронталью данной плоскости а
как прямой, лежащей в плоскости. Спроектируем одну из фронталей плоскости а
, например f
(f 1 , f 2
) (фиг.238,б).
Затем на фронтали проектируем произвольную точку, которую принимаем за заданную точку А
(А 1 A 2
) (фиг.238,в).
Так как обе проекции А 1
и А 2
точки А
лежат на проекциях фронтали f
плоскости а
, то, следовательно, точка А
лежит в заданной плоскости а
.
Таким же способом можно выполнить построение, воспользовавшись горизонталью h
(фиг.238,г)
б)
Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ
(A 1 B 1 , A 2 A 2
) и ВС (B 1 C 1 , В 2 С 2
), требуется найти проекции D 1
и D 2
точки D
лежащей в заданной плоскости вне этих прямых (фиг.239,а). Зная, что проекции точки должны лежать на проекциях прямой, принадлежащей данной плоскости, проводим вспомогательную прямую EF
(E 1 F 1 , E 2 F 2
) так, чтобы она лежала в данной плоскости (фиг.239,б). Затем на прямой EF
(фиг.239,в) проектируем точку D
(D 1 D 2
).
Так как точка D
(D 1 D 2
) лежит на прямой EF
(E 1 F 1 , E 2 F 2
), находящейся в заданной плоскости, следовательно, она принадлежит заданной плоскости.
в)
Пусть плоскость σ
задана фронтальной проекцией σ 2
. Требуется построить проекции произвольной точки А
, принадлежащей данной плоскости.
Так как плоскость σ
- фронтально - проектирующая, то по свойству проектирующих плоскостей фронтальная проекция точки, лежащей в этой плоскости, должна сливаться с фронтальной проекцией данной плоскости.
Спроектируем произвольную точку А
так, чтобы фронтальная проекция A 2 точки лежала на проекции σ 2
, это и определит, что точка A
(A 1 A 2
) лежит в заданной плоскости (фиг.240).
Такое построение будет справедливо и для остальных проектирующих плоскостей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример I
. Дан треугольник AВС
(А 1 В 1 С 1 , A 2 B 2 C 2
) и произвольно расположенная точка D
(фиг.241,а); требуется определить, лежит ли точка D
(D 1 D 2
) в плоскости данного треугольника? Порядок проверки указан цифрами на (фиг.241,б).
1
- проводим через точки С 2
и D 2
прямую, получаем точку K 2
;
2
- проводим вертикальную линию связи, получаем точку К 1
;
3
- проводим через точки С 1
и К 1
прямую; в данном случае она прошла через точку Ьъ следовательно, точка D
(D 1 D 2
) лежит на прямой СК
(С 1 К 1 , С 2 K 2
), так как ее проекции лежат на проекциях этой прямой и на одной линии связи; прямая СК
принадлежит плоскости треугольника ABC
(A 1 B 1 C 1
, А 2 В 2 С 2
), так как имеет с ней две общие точки; следовательно, точка D
принадлежит плоскости треугольника.
Пример II
. Дан треугольник ABC
и расположенная произвольно прямая EF
(Е 1 F 1
E 2 F 2
), требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника (фиг.242,а)?
Порядок проверки указан цифрами на (фиг.242,б):
1
- продолжаем отрезок E 2 F 2
; в пересечении с прямыми В 2 А 2
и А 2 С 2
получаем точки Р 2
и Т 2
;
2
- проводим через точки Р 2
и Т 2
вертикальные линии связи до пересечения с прямыми В 1 А 1
и А 1 С 1
получаем точки Р 1
и Т 1
;
3
- проведем через точки Р 1
и T 1
прямую; в данном случае прямая сливается с отрезком E 1 F 1
следовательно, прямая РТ
принадлежит плоскости треугольника, так как одноименные проекции точек Р
и Т
лежат на одноименных проекциях прямых ВА
и АС
, принадлежащих треугольнику, и на одной линии связи; следовательно, прямая EF
принадлежит плоскости данного треугольника.