В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Обыкновенные дроби состоят из числителя - верхней части, и знаменателя - нижней части. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что они приведены к общему знаменателю. Например, дроби 11 14 , 17 14 , 9 14 имеют одинаковый знаменатель 14 . Другими словами, они приведены к общему знаменателю.
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Очевидно, что дроби 4 5 и 3 4 не приведены к общему знаменателю. Чтобы это сделать, нужно с использованием дополнительных множителей 5 и 4 привести их к знаменателю 20. Как именно сделать это? Умножим числитель и знаменатель дроби 4 5 на 4 , а числитель и знаменатель дроби 3 4 умножим на 5 . Вместо дробей 4 5 и 3 4 получим соответственно 16 20 и 15 20 .
Приведение дробей к общему знаменателю
Приведение дробей к общему знаменателю - это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Общий знаменатель
Общий знаменатель дробей - это любое положительное число, которое является общим кратным всех данных дробей.
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, пользуясь определением. Пусть есть дроби 1 6 и 3 5 . Общим знаменателем дробей будет любое положительное общее кратное для чисел 6 и 5 . Такими положительными общими кратными являются числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.
Рассмотрим пример.
Пример 1. Общий знаменатель
Можно ди дроби 1 3 , 21 6 , 5 12 привести к общему знаменателю, который равен 150 ?
Чтобы выяснить, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3 , 6 , 12 . Другими словами, число 150 должно без остатка делиться на 3 , 6 , 12 . Проверим:
150 ÷ 3 = 50 , 150 ÷ 6 = 25 , 150 ÷ 12 = 12 , 5
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель
Наименьший общий знаменатель дробей - это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.
Наименьший общий делитель данного набора чисел - это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель
Нужно найти наименьший общий знаменатель для дробей 1 10 и 127 28 .
Ищем НОК чисел 10 и 28 . Разложим их на простые множители и получим:
10 = 2 · 5 28 = 2 · 2 · 7 Н О К (15 , 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
- Найти наименьший общий знаменатель дробей.
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Чтобы найти множитель нужно наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю
Есть дроби 3 14 и 5 18 . Приведем их к наименьшему общему знаменателю.
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
14 = 2 · 7 18 = 2 · 3 · 3 Н О К (14 , 18) = 2 · 3 · 3 · 7 = 126
Вычисляем дополнительные множители для каждой дроби. Для 3 14 дополнительный множитель находится как 126 ÷ 14 = 9 , а для дроби 5 18 дополнительный множитель будет равен 126 ÷ 18 = 7 .
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
3 · 9 14 · 9 = 27 126 , 5 · 7 18 · 7 = 35 126 .
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю
Привести дроби 3 2 , 5 6 , 3 8 и 17 18 к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
Н О К (2 , 6) = 6 Н О К (6 , 8) = 24 Н О К (24 , 18) = 72 Н О К (2 , 6 , 8 , 18) = 72
Для 3 2 дополнительный множитель равен 72 ÷ 2 = 36 , для 5 6 дополнительный множитель равен 72 ÷ 6 = 12 , для 3 8 дополнительный множитель равен 72 ÷ 8 = 9 , наконец, для 17 18 дополнительный множитель равен 72 ÷ 18 = 4 .
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тема: Приведение дробей к общему знаменателю. Класс: 5 УМК: Математика. 5 класс/ Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин и др., изд-во «Просвещение» Место урока в системе уроков: первый урок в блоке, урок ознакомления с типологией задач Цель: организовать деятельность по восприятию, осмыслению и первичному запоминанию новых знаний и способов деятельности. Задачи: Образовательные: - закрепить умение находить наименьшее общее кратное чисел; - ввести понятие дополнительного множителя; - отрабатывать умения находить дополнительный множитель и приводить дроби к новому общему знаменателю; - закрепить знание основного свойства дроби и умение сокращать дроби. Развивающие: - расширение кругозора учащихся; - развитие приёмов умственной деятельности, памяти, внимания, умения сопоставлять, анализировать, делать выводы; - повышение информационной культуры учащихся, интереса к предмету; - развитие познавательной активности, положительной мотивации к предмету; - развивать потребности к самообразованию. Воспитательные: - воспитание ответственности, самостоятельности, умения работать в коллективе; - показать математику как интересную науку, превратить занятие в необычный урок, где может проявить себя каждый ученик. Планируемые результаты: Личностные: - проявлять интерес к изучению темы; - проявлять желание применить на практике свои знания; - правильно излагать свои мысли; - понимать смысл поставленной задачи; - адекватно воспринимать оценку учителя и одноклассников. Метапредметные: . Познавательные УУД: - умение преобразовывать модели с целью выявления общих законов, определяющих предметную область; - продолжить формирование умения находить наименьшее общее кратное;. . Регулятивные УУД: - самостоятельно ставить новые учебные задачи путем задавания вопросов о неизвестном; - выполнять учебные задания в соответствии с целью; - соотносить приобретенные знания с реальной жизнью; - выполнять учебное действие в соответствии с планом, планировать собственную деятельность. Коммуникативные УУД: - формулировать высказывание, мнение; - умение обосновывать, отстаивать свое мнение; - согласовывать позиции с партнером и находить общее решение; - грамотно использовать речевые средства для представления результата. Предметные: - приводить дробь к новому знаменателю; - выводить понятия дополнительного множителя - выводить правило: как привести дробь к наименьшему общему знаменателю. Структура и ход урока Этап урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учеников Время (в мин) 1 1. Организационный этап Создать благоприятный психологический настрой на работу Включаются в деловой ритм урока. 2. Актуализация знаний Актуализация опорных знаний и способов действий. Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. Организация устного счета Участвуют в работе по повторению: в беседе с учителем отвечают на поставленные вопросы. 7 3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет цель урока; акцентирует внимание учащихся на значимость темы. определяют тему и цель урока. 4 Формируемые УУД Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности Личностные: мотивация учения Познавательные: структурирование собственных знаний. Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Личностные: оценивание усваиваемого материала. Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса. 4. Первичное закрепление новых знаний Показать разнообразие заданий 5. Физкультминутка Смена деятельности. 6. Закрепление новых знаний и умений 6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. 7. Рефлексия (подведение итогов урока) 8. Информация о домашнем задании Организация и контроль за процессом решения заданий. Работают в парах, самостоятельно и вместе с учителем над поставленными задачами. 10 Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся. Отрабатывать умения Организация и контроль за процессом решения заданий. Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу. 2 Работают в парах, самостоятельно и вместе с учителем над поставленными задачами. 10 Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок. 4 Дать количественную оценку работы учащихся Обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания Подводит итоги работы класса в целом. Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач. Учащиеся сдают выданные задания. Дает комментарий к домашнему заданию Учащиеся записывают в дневники задание. 4 3 Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата. Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата. Личностные:формирование позитивной самооценки Коммуникативные: Регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы. Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке Этап урока Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учеников Вр Формируемые УУД 1.Организацион ный этап Создать благоприятный психологический настрой на работу Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку, организация внимания детей. Включаются в деловой ритм урока. 1 Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности Личностные: мотивация учения Актуализация опорных знаний и способов действий. - Прежде, чем приступить к изучению новой темы, мы с вами повторим материал, изученный на прошлых уроках. Для этого сыграем в игру «Верно/неверно». Возьмите на парте листок с заданием. Ответьте, пожалуйста, на вопрос: Игра «Верно/неверно» 7 Познавательные: структурирование собственных знаний. Коммуникативные: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками. Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Личностные: оценивание усваиваемого материала. 2. Актуализация знаний "Без знания дробей никто не может признаваться сведущим в арифметике" Т.Цицерон «+» Верно/ «-» неверн о Вопрос 3 5 1. Верно ли, что дроби и имеют разные 4 6 знаменатели? 2. Верно ли, что число 12 является наименьшим общим кратным чисел 4 и 6? 3 Выполняют задания; - устно отвечают на вопросы 5 3. Верно ли, что дроби 4 и 6 можно привести к знаменателю 12? 3 9 5 10 4. Верно ли, что дроби 4 и 12 равны? 5. Верно ли, что дроби 6 и 12 равны? - Ребята, какими основные понятия вам пришлось вспомнить, чтобы ответить на вопросы? (ОК, Основное свойство дробей) - отметьте на координатной прямой дроби: На координатной прямой отмечают указанные точки, обсуждая какой необходимо а) ; 1 5 3 9 2 1 б) 3 ; определить единичный отрезок 2 выход на проблему: как же быть? (Найти НОК). А теперь запишите дроби так, чтобы было сразу понятно, какой единичный отрезок необходимо выбрать 3.Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. 4. Изучение нового материала Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. Каким правилом пользовались? В чем оно заключается? Посмотрите на дроби и скажите что произошло? Как они изменились? Приводят дроби к общему знаменателю. Проговаривают Основное Свойство Дроби - учитель задает серию вопросов, необходимые для: 1) формулирования темы урока; 2) формулирования цели урока; 3) индивидуальных задач. - Записывают дату в тетрадь, определяют тему и цель урока. Можете ли вы предположить тему урока? Сформулируйте тему и цель урока. Какую задачу на сегодняшний урок каждый из вас поставит для себя? Нарисуйте на полях лесенку из 5 ступенек и отметьте на какой из них вы находитесь на данном этапе урока по этой теме. Формирование представлений о решении задач на части. Рассуждают, отвечают на вопросы, делают вывод Что необходимо для лучшего и более легкого усвоения этой темы? Для чего необходимо уметь приводить дроби к общем знаменателю?? Может ли кто-то из вас сейчас назвать этапы алгоритма? Попробуйте привести 7 1 3 1 ; ; дроби к общему знаменателю: ; 8 4 16 2 Итак, каковы этапы алгоритма? Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) Чтобы привести несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, надо: 4 Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.Умение высказывать свою точку зрения и аргументировать ее 10 Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата. -Выстраивают монологический рассказ в соответствии с поставленными вопросами; формулируют тему и цели урока. - Отвечают на вопросы Создать алгоритм. Отвечают на вопросы, Стараются выполнить задание. Самостоятельно, взаимоконтроль Участвуют в составлении алгоритма, Записывают алгоритм в тетрадь 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. 5.Физкультмину тка 6.Применение знаний и умений в новой ситуации Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся. Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся. Показать разнообразие заданий Итак, мы сформулировали алгоритм приведения дробей к общему основанию, проверьте, что написано в учебнике, и совпадает ли текст с нашим алгоритмом? А сейчас выполним несколько заданий из учебника. № 806 «Верно/неверно» № 807(а-е), по формулировке задания, что можно сказать об общих знаменателях? 6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. Умение самостоятельно применять свои знания в стандартной, но новой ситуации, самоконтроль, самопроверка Карточки с заданиями 1 125 28 а) , ; 2 150 63 в) 4 16 17 б) , ; 21 56 35 7 5 444 120 , . 12 18 777 720 Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу. 2 Работают в парах над поставленной задачей, делают выводы. -учащиеся выполняют задание, 10 Работа в парах Учащиеся выполняют в тетрадях, один у доски. Осуществляют взаимопроверку. Самооценивание. 5 Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; взаимодействие учащихся в парной работе. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата. Личностные: формирование позитивной самооценки Коммуникативные: Регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы. 7. Рефлексия (подведение итогов урока) Оценка (выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения); О чем мы сегодня говорили? Какую цель мы поставили сегодня? Достигли ли мы этой цели? Все ли было понятно, все ли успели? Для чего необходимо уметь приводить дроби к наименьшем общем знаменателю? А сейчас в своих тетрадях нарисуйте лесенку из пяти ступеней и отметьте, на какой ступеньке по данной теме вы сейчас оказались, поднялись ли вы по ней?. Как достичь самой верхней ступеньки? Закончить урок я хочу таким высказыванием: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такого возможно. Где есть желание, найдется путь» Д. Пойа Учащиеся отвечают на вопросы 3 Познавательные: рефлексия способов и условий действия, адекватное понимание причин успеха и неудач, контроль и оценка процесса и результатов деятельности Коммукативные: умение выражать свои мысли, аргументация Урок окончен! Вы все молодцы! Спасибо за работу! 8. Информация о домашнем задании Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения дом.задания Запишите домашнее задание: составить и решить задачу на части. № 807 (ж-к) Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке Учащиеся записывают в дневники задание. 2
У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:
\(\frac{17}{5}, \frac{1}{5}\)
Пример разных знаменателей у дробей:
\(\frac{8}{3}, \frac{2}{13}\)
Как привести к общему знаменателю дроби?
У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.
Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.
\(\frac{8}{3} = \frac{8 \times \color{red} {13}}{3 \times \color{red} {13}} = \frac{104}{39}\)
Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.
\(\frac{2}{13} = \frac{2 \times \color{red} {3}}{13 \times \color{red} {3}} = \frac{6}{39}\)
Мы привели к общему знаменателю дроби:
\(\frac{8}{3} = \frac{104}{39}, \frac{2}{13} = \frac{6}{39}\)
Наименьший общий знаменатель.
Рассмотрим еще пример:
Приведем дроби \(\frac{5}{8}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю.
Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.
Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.
\(\begin{align}&\frac{5}{8} = \frac{5 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = \frac{15}{24}\\\\&\frac{7}{12} = \frac{7 \times \color{red} {2}}{12 \times \color{red} {2}} = \frac{14}{24}\\\\ \end{align}\)
Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ
Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.
Например:
Приведите дроби \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{9}{16}\) к наименьшему общему знаменателю.
Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:
\(\begin{align}&\frac{1}{4} = \frac{1 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {4}} = \frac{4}{16}\\\\&\frac{9}{16} = \frac{9 \times \color{red} {1}}{16 \times \color{red} {1}} = \frac{9}{16}\\\\ \end{align}\)
Тема урока: Приведение дробей к общему знаменателюЦели:
образовательная: формировать умения приводить дроби к наименьшему общему знаменателю и находить дополнительный множитель в более сложных случаях; формировать умения переводить обыкновенные дроби в десятичные;
развивающая: развивать логическое мышление, память, вычислительные навыки учащихся
Воспитательная: воспитывать познавательный интерес к предмету
Ход урока
II. Устный счет
1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 10 и 12; 12 и 8; 15 и 9; 6 и 4; 6 и 8; 12 и 15; 12 и 10; 16 и 20; 11 и 7.
2. Из одного пункта одновременно в разных направлениях вышли два туриста. Скорость первого туриста 6 км/ч, скорость второго - 7 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 часа?
3. Насос наполняет бассейн за 48 мин. Какую часть бассейна насос наполнит за 1 мин?
4. В семье пять сыновей, у каждого из них одна сестра. Сколько детей в семье? (6 детей.)
III . Сообщение темы урока
- На прошлом уроке мы приводили дроби к новому знаменателю. Сегодня мы будем находить общий знаменатель для нескольких дробей и выясним, что такое наименьший общий знаменатель дробей.
IV. Изучение нового материала
1. Любые 2 дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.
- Найдите несколько общих знаменателей дробей. Назовите их наименьший общий знаменатель.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей .
При этом, как правило, стараются подобрать наименьший общий знаменатель (НОЗ) - тогда вычисления с дробями оказываются проще. Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
2. Рассмотрим на примерах, как можно находить НОЗ дробей.
1) Приведем к общему знаменателю дроби 7/21 и 2/7.
- В чем особенность чисел 21 и 7? (21 делится нацело на 7.)
(Рассуждения приводит учитель.)
- Больший знаменатель - число 21 - делится на меньший знаменатель 7, следовательно, его можно взять в качестве общего знаменателя данных дробей. Этот общий знаменатель - наименьший из всех возможных.
Значит, нужно только дробь 2/7 привести к знаменателю 21. Для этого найдем дополнительный множитель: 21: 7 = 3.
- Какой вывод можно сделать? (Если один знаменатель дроби делится на другой, то НОЗ будет больший знаменатель.)
2) Приведем к общему знаменателю дроби 3/4 и 2/5.
- Что можете сказать о числах 4 и 5? (Числа взаимно простые.) Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 4, и на 5, т.е. быть их общим кратным. Общих кратных 4 и 5 бесконечно много: 20, 40, 60, 80 и т. д. Наименьшее кратное число 20 - произведение 4 и 5.
Значит, нужно привести каждую из дробей к знаменателю 20:
- Какой вывод можно сделать? (Если знаменатели дробей взаимно простые числа, то наименьшим общим знаменателем будет их произведение.)
V. Физкультминутка
VI. Работа над задачей
VII. Закрепление изученного материала
1. № 279 стр. 45 (устно). Работа в парах.
Отвечает учителю кто-то один от пары.
- Почему дробь 3/5 нельзя привести к знаменателю 36? (36 не кратно 5.)
2. № 283 (а-е) стр. 46 (с подробным комментарием у доски и в тетрадях, а) б) записать решение подробно, затем это все проговаривать устно, записывать только дроби с новым знаменателем).
Решение:
Дополнительные множители: 24: 6 = 4, 24: 8 = 3.
Дополнительные множители: 45: 9 = 5, 45: 15 = 3.
3. Назовите числа, которые:
а) больше 4/7, но меньше 5/7; б) больше 1/6, но меньше 2/6; в) больше 5/8, но меньше 3/4.
- Что нужно сделать, чтобы выполнить задание? (Привести дроби к новому знаменателю.)
4. № 281 стр. 46 (в) (один ученик на обратной стороне доски, остальные в тетрадях, самопроверка).
Решение:
VIII. Самостоятельная работа
Вариант I
1. Приведите дроби к новому знаменателю 24:
2. Приведите дробь 3/5 к новому знаменателю: 15; 25; 40; 55; 250; 300.
Вариант II
1. Приведите дроби к новому знаменателю 48:
2. Приведите дробь 4/7 к новому знаменателю: 14; 28; 49; 70; 210; 350.
3. Выразите в сотых долях дроби:
Вариант III (для более подготовленных учащихся)
1. Приведите дроби к новому знаменателю 84:
2. Приведите дробь 5/8 к новому знаменателю: 16; 24; 56; 80; 240; 3200.
3. Выразите в сотых долях дроби:
IX. Закрепление изученного материала
1. № 290 стр. 47 (устно). Работа в парах.
- Что использовали при решении? (Основное свойство дроби.)
- Сформулируйте основное свойство дроби.
(Ответ: а) х = 3, б) х = 5, в) х = 5, г) х = 7.)
2. № 289 (в, г) стр. 47 (самостоятельно, взаимопроверка).
- Какое число называют наибольшим общим делителем числителя и знаменателя?
X. Подведение итогов урока
- Какое число может служить общим знаменателем двух дробей?
- Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?
- На каком свойстве основано правило приведения дробей к общему знаменателю?
Домашнее задание:
На этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, вспомним о взаимно простых числах. Дадим определение понятию наименьший общий знаменатель (НОЗ) и решим ряд задач на его нахождение.
Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Урок: Приведение дробей к общему знаменателю
Повторение. Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получим дробь . Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.
Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
1. Приведите дробь к знаменателю 35.
Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.
2. Приведите дробь к знаменателю 18.
Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.
3. Приведите дробь к знаменателю 60.
Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.
4. Приведите дробь к знаменателю 24
В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.
Дробь можно привести к знаменателю 15 и дробь можно привести к знаменателю 15. У дробей и общий знаменатель 15.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три - это дополнительный множитель для первой дроби, а два - для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.
Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо
Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
а) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 3. Приводим дроби к знаменателю 24.
б) Привести к общему знаменателю дроби и .
Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.
в) Привести к общему знаменателю дроби и .
Общий знаменатель - 24. Дополнительные множители, соответственно, - 2 и 3.
Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Привести к общему знаменателю дроби и .
Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби - это 14. Дополнительный множитель для второй дроби - 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.
Можно скачать книги, указанные в п.1.2. данного урока.
Домашнее задание
Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
Домашнее задание: №297, №298, №300.
Другие задания: №270, №290