Справочник. Основные сведения по планиметрии

Транскрипт

1 Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр, полупериметр, R и r радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей. S -- площадь фигуры, d 1,d 2 - диагонали четырехугольника, угол между прямыми a и b; знаки, параллельности, перпендикулярности, подобия соответственно. О определение, Т теорема. Т 1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6). О-1. А 1 В 1 С 1 ", ~ АВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7): Две прямые параллельны, если: внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5; внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7; соответственные углы равны: <1 = < 5; сумма внутренних односторонних углов равна 180: < 2 + < 5= 180 ; сумма внешних односторонних углов равна 180: < 1 + < 6 = 180. Т 2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если: дня угла одного равны двум углам другого; дне стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны; три стороны одного пропорциональны трем сторонам другого.

2 Т 3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр. Т 4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8): Т 5. Сумма углов треугольника равна 180. Т 6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2: 1, считая от вершины (см. рис. 9): Т 7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10): Т 8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: BD: СD = АВ: AС (см. рис. 11).

3 Т 9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими из одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12): Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12): Т 11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13): Т 12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14): Т 13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностью большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):

4 Т 14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, другая между их продолжениями (рис. 16): Т 15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16): АО ОB = СО OD. Т 16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17): Т 17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с гипотенуза. h высота, опущенная на гипотенузу, а c, b c проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18): 1. формула Пифагора: c 2 = a 2 + b 2 2. формулы 3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов: 4. формулы решения прямоугольного треугольника:

5 5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и Т 18 (теорема синусов). В произвольном треугольнике (рис. 19) Т-19 (теорема косинусов). В произвольном треугольнике (рис. 19): Т 20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон: Т 21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника. Т 22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Т 23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне. Т 24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180. Т 25. Площадь треугольника равна

6 T 26. В правильном треугольнике со стороной a: Т 27. В правильном n-угольнике (a n сторона n-угольника, R радиус описанной, r радиус вписанной окружности): Т 28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон. О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы. Т 29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части. Т 30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19): Т 31. Формулы площадей четырехугольников: квадрата со стороной a: S = a 2 ; прямоугольника со сторонами н. н li: S = a b; параллелограмма со сторонами а и b: ромба со стороной а и острым углом между сторонами: трапеции с основаниями a и b:

7 выпуклого четырехугольника: Т-32. Другие формулы: площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r: S = p r; площадь круга радиуса R: площадь сектора раствора (рaд): длина окружности радиуса R: длина дуги и или рад: Все формулы площади поверхности объемных тел Площадь полной поверхности куба a - сторона куба Формула площади поверхности куба, (S):

8 Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда a, b, c,- стороны параллелепипеда Формула площади поверхности параллелепипеда, (S): Расчет площади поверхности цилиндра r- радиус основания h- высота цилиндра π 3.14 Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S бок): Формула площади всей поверхности цилиндра, (S): Найти площадь поверхности шара, формула R - радиус сферы π 3.14

9 Формула площади поверхности шара (S): Площадь поверхности шарового сектора R - радиус шара r - радиус основания конуса = радиус сегмента π 3.14 Формула площади поверхности шарового сектора, (S): Площадь поверхности шарового слоя h - высота шарового слоя, отрезок KN R - радиус самого шара O - центр шара π 3.14 Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):

10 Площадь поверхности шарового сегмента Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD. R - радиус самого шара h - высота сегмента π 3.14 Формула площади поверхности шарового сегмента, (S): Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему L - апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ) P- периметр основания S осн - площадь основания Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (S бок): Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

11 Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды m - апофема пирамиды, отрезокok P - периметр нижнего основания,abcde p - периметр верхнего основания,abcde Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S): Площадь поверхности прямого, кругового конуса R - радиус основания конуса H - высота L - образующая конуса π 3.14 Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S бок): Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S бок): Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):

12 Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S): Формулы площади поверхности усеченного конуса R - радиус нижнего основания r- радиус верхнего основания L - образующая усеченного конуса π 3.14 Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S бок): Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S): Расчет объема куба Все формулы объема геометрических тел a - сторона куба Формула объема куба, (V):

13 Объем прямоугольного параллелепипеда a, b, c- стороны параллелепипеда Формула объема параллелепипеда, (V): Формула вычисления объема шара R- радиус шара π 3,14 Объем шара, (V): Объем шарового слоя h- высота шарового слоя R- радиус нижнего основания r- радиус верхнего основания π 3,14

14 Объем шарового слоя, (V): Объем шарового сектора h - высота сегмента R - радиус шара π 3,14 Объем шарового сектора, (V): Объем шарового сегмента, формула Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD. R - радиус шара h - высота сегмента π 3,14 Объем шарового сегмента, (V):

15 Как вычислить объем цилиндра? h- высота цилиндра r- радиус основания π 3,14 Объем цилиндра, (V): Как найти объем конуса? H- высота конуса R- радиус основания π 3,14 Объем конуса, (V): Формула объема усеченного конуса R- радиус нижнего основания r- радиус верхнего основания h- высота конуса π 3,14

16 Объем усеченного конуса, (V): Расчет объема пирамиды h - высота пирамиды S - площадь основания ABCDE Объем пирамиды, (V): Расчёт объёма усечённой пирамиды h - высота пирамиды S ниж - площадь нижнего основания, ABCDE S верх - площадь верхнего основания, abcde Объем усеченной пирамиды, (V): Найти объем правильной пирамиды

17 Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной. h - высота пирамиды a - сторона основания пирамиды n - количество сторон многоугольника в основании Объем правильной пирамиды, (V): Объем правильной треугольной пирамиды Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой. h - высота пирамиды a - сторона основания Объем правильной треугольной пирамиды, (V): Объем правильной четырехугольной пирамиды Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой. h - высота пирамиды a - сторона основания Объем правильной четырехугольной пирамиды, (V):

18 Объем правильного тетраэдра Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники. а -ребро тетраэдра Объем правильного тетраэдра (V):

1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Произвольный треугольник В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения: а) с длины сторон АВС лежащие против углов А В и С соответственно б) высоты медианы l l l биссектрисы в) радиус

Задание 3, 6, 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Сумма смежных углов равна 80 0. и смежные углы Теорема. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Теорема. Вертикальные

Задание 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Теорема. Если две прямые параллельности пересечены секущей, то. Накрест лежащие углы

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна (п 2) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Анализ геометрических высказываний 1. 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ 16 ГОРОДА ТЮМЕНИ МАОУ ГИМНАЗИЯ 16 ГОРОДА ТЮМЕНИ Экзаменационные билеты по геометрии по программе основного общего образования 8БЖД класс

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

1.2. Тесты 31. Отношение боковой стороны к диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 20 при условии, что центр описанной окружности лежит на большем основании, равно 1) 1; 2) 0,5; 3) 0,8; 4)

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) 1) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. 2) Существуют три

Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

Теоретическая часть экзамена по Г-8 кл. Знать и понимать (сделать чертеж и показать на рисунке) следующие определения и теоремы (без доказательства) из учебника Г-8 А.Г. Мерзляка Глава 1 1. Сумма углов

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск 003 . ТРЕУГОЛЬНИКИ.. Прямоугольный треугольник... Метрические соотношения b катеты с гипотенуза h высота AH = c BH =.... Площадь b S =. b) +

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ Задание. Укажите (обведите) номера верных утверждений. I) Начальные геометрические сведения (отрезки, прямые и углы) 1. Точка, лежащая на серединном

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) 2018-2019 уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. Первый признак равенства треугольников. 3. Второй признак

1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные. Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AC. 27235.

Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

1 ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ Множества: Æ - пустое множество N = {1, 2, 3, } - множество натуральных чисел Z = - множество целых чисел Q = - множество рациональных чисел (дробей) R множество вещественных (действительных)

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Пособие для подготовки к ГИА Задачи на выбор верных утверждений 2015 1 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ГИА по математике.

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм квадрат.

Экзаменационные билеты по геометрии 2017-18 учебный год Билет 1 1. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Основания BC и AD трапеции АBCD равны соответственно

Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Математические диктанты по геометрии для VII и VIII класса (Из опыта работы) VII класс Диктант 1 «Сумма углов треугольника» 1. Дан треугольник MKL. Запишите, чему равна сумма углов этого треугольника.

Билеты для экзамена по геометрии в 8-м классе. Билет 1. 1. Многоугольники 2. Значение Sin, Cos,tg (таблица) 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы (+ = + + Квадрат разности (- = - + Разность квадратов = (+ (Куб суммы (+ = + + + Куб разности (- = - + - Сумма кубов + = (+ (- + Разность кубов

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

Три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Квадрат L S = l= ; а в Трапеция O угол между диагоналями l средняя линия трапеции Метод координат l D) Пусть А(х; у), В(х; у), тогда координаты вектора АВх х у) Пусть А(х; у), В(х; у), тогда

Билет 1 1) Определение многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника 2) Доказать теорему о средней линии треугольника. 3) Радиус OB

Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Параллелограмм. Определение, свойства. 3. Задача по теме «Координаты и векторы». Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Прямоугольник.

Билеты по геометрии для переводного экзамена в 8 классе (учебник Геометрия 7 9 Л. С. Атанасян.) Каждый билет содержит 4 вопроса. В первом вопросе предлагается сформулировать и доказать теорему. Во втором

Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Справочный материал по геометрии. I. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых: 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2. Если при пересечении

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов 1. В треугольнике угол равен 90, sin A = 7 25. Найдите. 2. В треугольнике угол равен 90, sin A = 17 17. Найдите.

Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2015 Введение Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит около четырехсот

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 3. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 4. В треугольнике

Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM: MB =

Прототипы задания 6 1. В треугольнике ABC угол C равен 90 0, AC = 4,8, 25. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, 33 tga. 7 4 33 sin A. Найдите AB. 25 Найдите AC. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90 0,

Работа по геометрии для 8 класса. 1.Вид работы: промежуточная аттестация по геометрии в 8 классе Цель работы: оценка уровня достижения учащимися 8 класса планируемых результатов обучения геометрии 2.Перечень

Требования к уровню подготовки обучающихся В результате изучения курса геометрии 8 класса учащиеся должны: знать: - определение параллельных прямых, формулировки признака параллельных прямых и следствий

Оглавление Формулы сокращенного умножения и разложения на множители... Квадратное уравнение... Парабола... 3 Степени и корни... 3 Логарифмы... 4 Прогрессии... 4 Тригонометрия... 5 Тригонометрические уравнения...

Мастер-класс «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1. Октябрь 2017. Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

10 класс. Типовой расчет по теме «Планиметрия». Вариант 1 1. В остроугольном треугольнике проекции двух сторон на третью равны 4 и 2 см. Найти проекцию медиан на ту же сторону. 2. В равнобедренном треугольнике

Н а этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2) Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству .

3) В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.

5) Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

7) Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, , где и — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8) Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то и формула принимает вид:
и называется формулой Брахмагупты

9) Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

• Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
• Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника :

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны . Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы (медиана - линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Свойства медиан:

• Все три медианы пересекаются в одной точке.
• Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
• В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса - линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике - линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

• Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
• Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов :

Теорема синусов :

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр - линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c - гипотенуза, a и b - катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h - высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников - стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия - число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

• По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
• По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Трапеция

Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Некоторые свойства трапеций:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
• В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
• Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания - подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны - равновелики.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
• У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• У равнобедренной трапеции диагонали равны.
• В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.

Параллелограмм

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Некоторые свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
• Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

Квадрат

Квадрат - четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

Ромб и прямоугольник

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула - через две диагонали, вторая - через длину стороны и угол между сторонами):

Свойства ромба:

• Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Свойства прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны.
• Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
• Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Произвольные фигуры

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников ):

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Сумма углов n -угольника:

Центральный угол правильного n -угольника:

Площадь правильного n -угольника:

Окружность

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Длина окружности :

Длина дуги окружности:

Площадь круга :

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Планиметрия

Основные сведения из школьной геометрии

1. Признаки равенства треугольников.
1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

2. Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
3) Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
4) Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник
равнобедренный.
5) Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
6) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку).

4. Признаки и свойства параллельных прямых.
1) Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
2) Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
3) Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
4) Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
5) Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны.

5. Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.
1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180◦.
2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180◦(n−2).
4) Сумма внешних углов n-угольника равна 360◦.
5) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

6. Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке M , то ∠BMC = 90◦+ ∠A/2.

7. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90◦.

8. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

9. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
1) По двум катетам.
2) По катету и гипотенузе.
3) По гипотенузе и острому углу.
4) По катету и острому углу.

10. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, есть биссектриса угла.

11 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30◦, равен половине гипотенузы.

12. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30◦.

13. Неравенство треугольника. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

14. Следствие из неравенства треугольника. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.

15. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

16. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

17. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

18. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот

19. Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма.
1) Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треуголь-ника.
2) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3) Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5) Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
6) Если две противоположные стороны четырехугольника равны
и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
7) Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

20. Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника.
1) Диагонали прямоугольника равны.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

21. Ромб . Ромбом называется четырехугольник, все стороны которого равны.
Свойства и признаки ромба.
1) Диагонали ромба перпендикулярны.
2) Диагонали ромба делят его углы пополам.
3) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.
4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб.

22. Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

23. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой - две параллельные прямые.

24. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.

25. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

26. Свойство середин сторон четырехугольника. Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

27. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

28. а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

29. Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

30. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

31. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме оснований.

32. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.
Свойства окружности .
1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.
6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

33. Замечательное свойство окружности. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден под прямым углом (∠AMB =90◦), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.

34. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден под острым углом (∠AMB < 90◦) есть внешность круга с диаметром AB без точек прямой AB.

35. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден под тупым углом (∠AMB > 90◦), есть внутренность круга с диаметром AB без точек отрезка AB.

36. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

37. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

38. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника - середина гипотенузы.

39. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

40. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2) Если прямая l , проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l - касательная к окружности.
3) Если прямые, проходящие через точку M , касаются окружности в точках A и B, то MA = MB.
4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
5) Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник

41. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен (a + b − c)/2.

42. Если M - точка касания со стороной AC окружности, вписанной в треугольник ABC, то AM = p − BC, где p - полупериметр треугольника.

43. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.

44. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M . Если ∠BAC = α, то ∠KLM = 90◦− α/2.

45. Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние между их центрами равно a (a > R + r). Тогда отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и

46. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

47. Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания).
1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2) Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r = O1O2.
3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2.
4) Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ∠AKB = 90◦ и ∠O1CO2 = 90◦.

48. Углы, связанные с окружностью.
1) Угловая величина дуги окружности равна угловой величине центрального угла.
2) Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
3) Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
4) Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
5) Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

49. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

50. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов этих дуг).

51. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180◦.

52. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180◦, то около него можно описать окружность.

53. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

54. Если M - точка на отрезке AB, причем AM: BM = a: b, то AM: AB = a: (a + b), BM: AB = b: (a + b).

55. Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.

56. Подобие. Признаки подобия треугольников.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

57 . Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.

58. Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

59. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

60. Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.

61. Если BM и CN - высоты треугольника ABC (∠A 90◦), то треугольник AMN подобен треугольнику ABC, причем коэффициент подобия равен |cos ∠A|.

62. Произведения длин отрезков хорд AB и CD окружности, пересекающихся в точке E, равны, то есть |AE| · |EB| = |CE| · |ED|.

63. Теорема о касательной и секущей и следствие из нее.
1) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной
2) Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

64. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2) Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

65. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

66. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны тре-угольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный.

67. Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

68. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.

69. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключенному между общими внешними. Оба эти отрезка равны .

70. Метрические соотношения в треугольнике.
1) Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2) Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3) Формула для медианы треугольника. Если m - медиана треугольника, проведенная к стороне c, то , где a и b -остальные стороны треугольника.
4) Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
5) Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

71. Формулы площади треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
4) Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности.
5) Формула Герона . , где - полупериметр треугольника.

72. Элементы равностороннего треугольника со стороной a . Пусть h, S, r, R - высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a . Тогда

73. Формулы площади параллелограмма.
1) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2) Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
3) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
4) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

74. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

75. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

76. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

77. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.

78. Если M - точка на стороне BC треугольника ABC, то

79. Если P и Q - точки на сторонах AB и AC (или на их продолжениях) треугольника ABC, то

80. Длина окружности радиуса R равна 2πR.
81. Площадь круга радиуса R равна πR 2 .

Литература: Гордин Р.К., "Это должен знать каждый матшкольник"

Метки , . Смотреть .

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.