Определение .

Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

• Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
• Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
• Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
• Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
• Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
• Диагональ B 1 D
• Диагональ основания BD
• Диагональное сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

Свойства правильной четырехугольной призмы

• Основаниями являются два равных квадрата
• Основания параллельны друг другу
• Боковыми гранями являются прямоугольники
• Боковые грани равны между собой
• Боковые грани перпендикулярны основаниям
• Боковые ребра параллельны между собой и равны
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
• Углы перпендикулярного сечения - прямые
• Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
• Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .

Задача.

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ : 22 см

Задача

Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В школьном курсе стереометрии одной из самых простых фигур, которая имеет не нулевые размеры вдоль трех пространственных осей, является четырехугольная призма. Рассмотрим в статье, что это за фигура, из каких элементов она состоит, а также как можно рассчитать площадь ее поверхности и объем.

Понятие о призме

В геометрии призмой полагают пространственную фигуру, которая образована двумя одинаковыми основаниями и боковыми поверхностями, которые соединяют стороны этих оснований. Отметим, что оба основания переходят друг в друга с помощью операции параллельного переноса на некоторый вектор. Такое задание призмы приводит к тому, что все ее боковые стороны всегда являются параллелограммами.

Количество сторон основания может быть произвольным, начиная от трех. При стремлении этого числа к бесконечности, призма плавно переходит в цилиндр, поскольку ее основание становится кругом, а боковые параллелограммы, соединяясь, образуют цилиндрическую поверхность.

Как и любой полиэдр, призма характеризуется сторонами (плоскости, которые ограничивают фигуру), ребрами (отрезки, по которым пересекаются две любые стороны) и вершинами (точки встречи трех сторон, для призмы две из них являются боковыми, а третья - основанием). Количества названных трех элементов фигуры связаны между собой следующим выражением:

Здесь Р, С и В - это число ребер, сторон и вершин, соответственно. Это выражение является математической записью теоремы Эйлера.

Выше приведен рисунок, где показаны две призмы. В основании одной из них (A) лежит правильный шестиугольник, и стороны боковые перпендикулярны основаниям. Рисунок B демонстрирует другую призму. Ее боковые стороны уже не перпендикулярны основаниям, а основание представляет собой правильный пятиугольник.

четырехугольная?

Как понятно из описания выше, тип призмы в первую очередь определяется видом многоугольника, который образует основание (оба основания одинаковые, поэтому речь можно вести об одном из них). Если этим многоугольником является параллелограмм, то мы получаем четырехугольную призму. Таким образом, все стороны этого являются параллелограммами. Четырехугольная призма имеет собственное название - параллелепипед.

Количество сторон параллелепипеда равно шести, причем каждая сторона имеет аналогичную параллельную ей. Поскольку основания параллелепипеда - это две стороны, то оставшиеся четыре являются боковыми.

Количество вершин параллелепипеда равно восьми, в чем легко убедиться, если вспомнить, что вершины призмы образуются только на вершинах базовых многоугольников (4х2=8). Применяя теорему Эйлера, получаем число ребер:

Р = С + В - 2 = 6 + 8 - 2 = 12

Из 12-ти ребер, только 4 образованы самостоятельно боковыми сторонами. Остальные 8 лежат в плоскостях оснований фигуры.

Виды параллелепипедов

Первый тип классификации заключается в особенности параллелограмма, лежащего в основании. Он может быть следующего вида:

• обычный, у которого углы не равны 90 o ;
• прямоугольник;
• квадрат - правильный четырехугольник.

Второй тип классификации заключается в угле, при котором боковая сторона пересекает основание. Здесь возможно два разных случая:

• этот угол не является прямым, тогда призму называют косоугольной или наклонной;
• угол равен 90 o , тогда такая призма является прямоугольной или просто прямой.

Третий тип классификации связан с высотой призмы. Если призма является прямоугольной, и в основании лежит либо квадрат, либо прямоугольник, тогда ее называют прямоугольным параллелепипедом. Если же в основании находится квадрат, призма является прямоугольной, а ее высота равна длине стороны квадрата, то мы получаем всем известную фигуру куб.

Поверхность призмы и ее площадь

Совокупность всех точек, которые лежат на двух основаниях призмы (параллелограммах) и на ее боковых сторонах (четыре параллелограмма), образуют поверхность фигуры. Площадь этой поверхности может быть вычислена, если рассчитать площадь основания и эту величину для боковой поверхности. Тогда их сумма даст искомое значение. Математически это записывается так:

Здесь S o и S b - площадь основания и боковой поверхности, соответственно. Цифра 2 перед S o появляется в виду того, что оснований два.

Отметим, что записанная формула справедлива для любой призмы, а не только для площади четырехугольной призмы.

Полезно напомнить, что площадь параллелограмма S p вычисляется по формуле:

Где символы a и h обозначают длину одной из его сторон и высоту, проведенную к этой стороне, соответственно.

Площадь прямоугольной призмы с квадратным основанием

В основание представляет собой квадрат. Обозначим для определенности его сторону буквой a. Чтобы рассчитать площадь правильной четырехугольной призмы, следует знать ее высоту. Согласно определению для этой величины, она равна длине перпендикуляра, опущенного из одного основания на другое, то есть равна расстоянию между ними. Обозначим ее буквой h. Поскольку все боковые грани перпендикулярны основаниям для рассматриваемого типа призмы, то высота правильной четырехугольной призмы будет равна длине ее бокового ребра.

В общей формуле для площади поверхности призмы стоит два слагаемых. Площадь основания в данном случае рассчитать просто, она равна:

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, рассуждаем следующим образом: эта поверхность образована 4-мя одинаковыми прямоугольниками. Причем стороны каждого из них равны a и h. Это означает, что площадь S b буде равна:

Заметим, что произведение 4*a - это периметр квадратного основания. Если обобщить это выражение на случай произвольного основания, тогда для прямоугольной призмы боковую поверхность можно рассчитать так:

Где P o - периметр основания.

Возвращаясь к задаче расчета площади правильной четырехугольной призмы, можно записать итоговую формулу:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Площадь косоугольного параллелепипеда

Вычислить ее несколько сложнее, чем для прямоугольного. В этом случае площадь основания четырехугольной призмы вычисляется по той же формуле, что и для параллелограмма. Изменения касаются способа определения площади боковой поверхности.

Для этого используется та же формула через периметр, что приведена в пункте выше. Только теперь в ней появятся несколько иные множители. Общая формула для S b в случае косоугольной призмы имеет вид:

Здесь с - это длина бокового ребра фигуры. Величина P sr является периметром прямоугольного среза. Строится этот сред следующим образом: необходимо плоскостью пересечь все боковые грани таким образом, чтобы она была перпендикулярна всем им. Образованный прямоугольник и будет искомым срезом.

На рисунке выше приведен пример косоугольного параллелепипеда. Заштрихованное его сечение с боковыми сторонами образует прямые углы. Периметр сечения равен P sr . Он образован четырьмя высотами боковых параллелограммов. Для этой четырехугольной призмы площадь боковой поверхности рассчитывается по указанной выше формуле.

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда

Диагональ параллелепипеда - это отрезок, который соединяет две вершины, не имеющие общих сторон, которые их образуют. В любой четырехугольной призме диагоналей всего четыре. Для прямоугольного параллелепипеда, в основании которого расположен прямоугольник, длины всех диагоналей равны друг другу.

Ниже на рисунке приведена соответствующая фигура. Красный отрезок является ее диагональю.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Здесь D - длина диагонали. Остальные символы - это длины сторон параллелепипеда.

Многие путают диагональ параллелепипеда с диагоналями его сторон. Ниже приводится рисунок, где цветными отрезками изображены диагонали сторон фигуры.

Длина каждой из них также определяется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов соответствующих длин сторон.

Объем призмы

Помимо площади правильной четырехугольной призмы или других видов призм, для решения некоторых геометрических задач следует знать и их объем. Эта величина для абсолютно любой призмы вычисляется по следующей формуле:

Если призма является прямоугольной, тогда достаточно вычислить площадь ее основания и умножить его на длину ребра боковой стороны, чтобы получить объем фигуры.

Если призма является правильной четырехугольной, тогда ее объем будет равен:

Легко видеть, что эта формула преобразуется в выражение для объема куба, если длина бокового ребра h равна стороне основания a.

Задача с прямоугольным параллелепипедом

Для закрепления изученного материала решим следующую задачу: имеется прямоугольный параллелепипед, стороны которого равны 3 см, 4 см и 5 см. Необходимо рассчитать площадь его поверхности, длину диагонали и объем.

S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 см 2

Для определения длины диагонали и объема фигуры можно непосредственно воспользоваться приведенными выше выражениями:

D = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 см;

V = 3*4*5 = 60 см 3 .

Задача с косоугольным параллелепипедом

Ниже на рисунке изображена косоугольная призма. Ее стороны равны: a=10 см, b = 8 см, с = 12 см. Необходимо найти площадь поверхности этой фигуры.

Сначала определим площадь основания. Из рисунка видно, что острый угол равен 50 o . Тогда его площадь равна:

S o = h*a = sin(50 o)*b*a

Для определения площади боковой поверхности, следует найти периметр заштрихованного прямоугольника. Стороны этого прямоугольника равны a*sin(45 o) и b*sin(60 o). Тогда периметр этого прямоугольника равен:

P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))

Полная площадь поверхности этого параллелепипеда равна:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Подставляем данные из условия задачи для длин сторон фигуры, получаем ответ:

Из решения этой задачи видно, что для определения площадей косоугольных фигур используются тригонометрические функции.

Призма является геометрической объемной фигурой, характеристики и свойства которой изучают в старших классах школ. Как правило, при ее изучении рассматривают такие величины, как объем и площадь поверхности. В данной же статье раскроем несколько иной вопрос: приведем методику определения длины диагоналей призмы на примере четырехугольной фигуры.

Какая фигура называется призмой?

В геометрии дается следующее определение призме: это объемная фигура, ограниченная двумя многоугольными одинаковыми сторонами, которые параллельны друг другу, и некоторым числом параллелограммов. Рисунок ниже показывает пример призмы, соответствующий данному определению.

Мы видим, что два красных пятиугольника равны друг другу и находятся в двух параллельных плоскостях. Пять розовых параллелограммов соединяют эти пятиугольники в цельный объект - призму. Два пятиугольника называются основаниями фигуры, а ее параллелограммы - это боковые грани.

Призмы бывают прямые и наклонные, которые также называют прямоугольными и косоугольными. Разница между ними заключается в углах между основанием и боковыми гранями. Для прямоугольной призмы все эти углы равны 90 o .

По количеству сторон или вершин многоугольника в основании говорят о призмах треугольных, пятиугольных, четырехугольных и так далее. Причем если этот многоугольник является правильным, а сама призма прямой, то такую фигуру называют правильной.

Приведенная на предыдущем рисунке призма является пятиугольной наклонной. Ниже же изображена пятиугольная прямая призма, которая является правильной.

Все вычисления, включая методику определения диагоналей призмы, удобно выполнять именно для правильных фигур.

Какие элементы характеризуют призму?

Элементами фигуры называют составные части, которые ее образуют. Конкретно для призмы можно выделить три главных типа элементов:

• вершины;
• грани или стороны;
• ребра.

Гранями считаются основания и боковые плоскости, представляющие параллелограммы в общем случае. В призме всегда каждая сторона относится к одному из двух типов: либо это многоугольник, либо параллелограмм.

Ребра призмы - это те отрезки, которые ограничивают каждую сторону фигуры. Как и грани, ребра также бывают двух типов: принадлежащие основанию и боковой поверхности или относящиеся только к боковой поверхности. Первых всегда в два раза больше, чем вторых, независимо от вида призмы.

Вершины - это точки пересечения трех ребер призмы, два из которых лежат в плоскости основания, а третье - принадлежит двум боковым граням. Все вершины призмы находятся в плоскостях оснований фигуры.

Числа описанных элементов связаны в единое равенство, имеющее следующий вид:

Р = В + С - 2.

Здесь Р - количество ребер, В - вершин, С - сторон. Это равенство называется теоремой Эйлера для полиэдра.

На рисунке показана треугольная правильная призма. Каждый может посчитать, что она имеет 6 вершин, 5 сторон и 9 ребер. Эти цифры согласуются с теоремой Эйлера.

Диагонали призмы

После таких свойств, как объем и площадь поверхности, в задачах по геометрии часто встречается информация о длине той или иной диагонали рассматриваемой фигуры, которая либо дана, либо ее нужно найти по другим известным параметрам. Рассмотрим, какие бывают диагонали у призмы.

Все диагонали можно разделить на два типа:

1. Лежащие в плоскости граней. Они соединяют несоседние вершины либо многоугольника в основании призмы, либо параллелограмма боковой поверхности. Значение длин таких диагоналей определяется, исходя из знания длин соответствующих ребер и углов между ними. Для определения диагоналей параллелограммов всегда используются свойства треугольников.
2. Лежащие внутри объема призмы. Эти диагонали соединяют неоднотипные вершины двух оснований. Эти диагонали оказываются полностью внутри фигуры. Их длины рассчитать несколько сложнее, чем для предыдущего типа. Методика расчета предполагает учет длин ребер и основания, и параллелограммов. Для прямых и правильных призм расчет является относительно простым, поскольку он осуществляется с использованием теоремы Пифагора и свойств тригонометрических функций.

Диагонали сторон четырехугольной прямой призмы

На рисунке выше изображены четыре одинаковые прямые призмы, и даны параметры их ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B и Diagonal C штриховой красной линией изображены диагонали трех разных граней. Поскольку призма является прямой с высотой 5 см, а ее основание представлено прямоугольником со сторонами 3 см и 2 см, то отыскать отмеченные диагонали не представляет никакого труда. Для этого необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Длина диагонали основания призмы (Diagonal A) равна:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 см.

Для боковой грани призмы диагональ равна (см. Diagonal B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 см.

Наконец, длина еще одной боковой диагонали равна (см. Diagonal C):

D С = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 см.

Длина внутренней диагонали

Теперь рассчитаем длину диагонали четырехугольной призмы, которая изображена на предыдущем рисунке (Diagonal D). Сделать это не так сложно, если заметить, что она является гипотенузой треугольника, в котором катетами будут высота призмы (5 см) и диагональ D A , изображенная на рисунке вверху слева (Diagonal A). Тогда получаем:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 см.

Правильная призма четырехугольная

Диагональ правильной призмы, основанием которой является квадрат, рассчитывается аналогичным образом, как и в приведенном выше примере. Соответствующая формула имеет вид:

D = √(2*a 2 +c 2).

Где a и c - длины стороны основания и бокового ребра, соответственно.

Заметим, что при вычислениях мы использовали только теорему Пифагора. Для определения длин диагоналей правильных призм с большим числом вершин (пятиугольные, шестиугольные и так далее) уже необходимо применять тригонометрические функции.

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
• площадь основания: Sосн = V / h;
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба