В геометрии ключевыми понятиями являются плоскость, точка, прямая и угол. Используя эти термины, можно описать любую геометрическую фигуру. Многогранники обычно описывают через более простые фигуры, которые лежат в одной плоскости, такие как круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. В данной статье мы рассмотрим, что такое параллелепипед, опишем типы параллелепипедов, его свойства, из каких элементов он состоит, а также дадим основные формулы для вычисления площади и объема для каждой разновидности параллелепипеда.
Определение
Параллелепипед в трехмерном пространстве - это призма, все стороны которой являются параллелограммами. Соответственно, она может иметь только три пары параллельных параллелограммов или шесть граней.
Чтобы визуализировать параллелепипед, представьте себе обычный стандартный кирпич. Кирпич - хороший пример прямоугольного параллелепипеда, который может представить себе даже ребенок. Другими примерами могут послужить многоэтажные панельные дома, шкафы, контейнеры для хранения пищевых продуктов соответствующей формы и т.д.
Разновидности фигуры
Существует всего две разновидности параллелепипедов:
- Прямоугольные, все боковые грани которых находятся под углом 90 о к основанию и являются прямоугольниками.
- Наклонные, боковые грани которых расположены под определенным углом к основанию.
На какие элементы можно разделить эту фигуру?
- Как и в любой другой геометрической фигуре, в параллелепипеде любые 2 грани с общим ребром зовутся смежными, а те, что его не имеют, являются параллельными (исходя из свойства параллелограмма, имеющего попарно параллельные противоположные стороны).
- Вершины параллелепипеда, не лежащие на одной грани, зовутся противоположными.
- Отрезок, соединяющий такие вершины, является диагональю.
- Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, соединяющихся в одной вершине, являются его измерениями (а именно, его длиной, шириной и высотой).
Свойства фигуры
- Он всегда построен симметрично по отношению к середине диагонали.
- Точка пересечения всех диагоналей делит каждую диагональ на два равных отрезка.
- Противолежащие грани равные по длине и лежат на параллельных прямых.
- Если сложить квадраты всех измерений параллелепипеда, полученное значение будет равно квадрату длины диагонали.
Расчетные формулы
Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.
Для произвольного параллелепипеда верно утверждение, что его объем равен абсолютной величине тройного скалярного произведения векторов трех сторон, исходящих из одной вершины. Однако формулы для вычисления объема произвольного параллелепипеда не существует.
Для прямоугольного параллелепипеда действуют следующие формулы:
- V=a*b*c;
- Sб=2*c*(a+b);
- Sп=2*(a*b+b*c+a*c).
- V - объем фигуры;
- Sб - площадь боковой поверхности;
- Sп - площадь полной поверхности;
- a - длина;
- b - ширина;
- c - высота.
Еще одним частным случаем параллелепипеда, в котором все стороны - квадраты, является куб. Если любую из сторон квадрата обозначить буквой a, то для площади поверхности и объема данной фигуры можно будет использовать следующие формулы:
- S=6*a*2;
- V=3*а.
- S - площадь фигуры,
- V - объем фигуры,
- a - длина грани фигуры.
Последняя рассматриваемая нами разновидность параллелепипеда - прямой параллелепипед. В чем разница между прямым параллелепипедом и прямоугольным параллелепипедом, спросите вы. Дело в том, что основанием прямоугольного параллелепипеда может быть любой параллелограмм, а основанием прямого - только прямоугольник. Если обозначить периметр основания, равный сумме длин всех сторон, как Po, а высоту обозначить буквой h, мы имеем право воспользоваться следующими формулами для вычисления объема и площадей полной и боковой поверхностей.
Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.
При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.
Основные нюансы, которые стоит запомнить
- Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны - ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
- Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
- Так как параллелепипед - это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
- Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с .
Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.
Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. При этом все грани будут параллелограммами
.
Каждый параллелепипед можно рассматривать как призму тремя различными способами, так как за основания можно
принять каждые две противоположные грани (на черт. 5 грани ABCD и A"B"C"D", или АВА"В" и CDC"D", или ВСВ"С" и ADA"D").
Рассматриваемое тело имеет двенадцать рёбер, по четыре равных и параллельных между собой.
Теорема 3
. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, совпадающей с серединой каждой из них.
Параллелепипед ABCDA"B"C"D" (черт. 5) имеет четыре диагонали AC", BD", CA", DB". Мы
должны доказать, что середины двух каких-либо
из них, например АС и BD", совпадают. Это следует из того, что фигура ABC"D", имеющая равные и параллельные стороны АВ и C"D", есть параллелограмм.
Определение 7
. Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, являющийся одновременно и прямой призмой, т. е. параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к плоскости основания.
Определение 8
. Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник. При этом все его грани будут прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед представляет собой прямую призму, какую бы из его граней мы ни приняли за основание, так как каждое его ребро перпендикулярно к рёбрам, выходящим с ним из одной вершины, и будет, следовательно, перпендикулярно и к плоскостям граней, определяемых этими рёбрами.
В противоположность этому прямой, но не прямоугольный, параллелепипед можно рассматривать как прямую призму только одним способом.
Определение 9
. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, из которых никакие два не параллельны между собой (например трёх рёбер, выходящих из одной вершины), называются его измерениями. Два |прямоугольных параллелепипеда, имеющих соответственно равные изме- рения, очевидно, равны между собой.
Определение 10
.Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны между собой, так что все его грани - квадраты.
Два куба, рёбра которых равны между собой, равны.
Определение 11
. Наклонный параллелепипед, у которого все рёбра равны между собой и углы всех граней равны или пополнительны, называется ромбоэдром.
Все грани ромбоэдра - равные ромбы. (Форму ромбоэдра имеют некоторые кристаллы, имеющие большое значение, например кристаллы исландского шпата.) В ромбоэдре можно найти такую вершину (и даже две противололожные вершины), что все прилежащие к ней углы равны между собой.
Теорема 4
. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA"B"C"D" (черт. 6) диагонали АС" и BD" равны, так как четырёхугольник ABC"D" - прямоугольник (прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСВ"С", в которой лежит ВС").
Кроме того, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 на основании теоремы о квадрате гипотенузы. Но на основании той же теоремы AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ; отсюда имеем:
АС" 2 = АВ 2 + АА" 2 +A"D" 2 =АВ 2 + AA" 2 + AD 2 .
Различается несколько типов параллелепипедов:
· Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники ;
· Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани - параллелограммы;
· Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Основные элементы
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства
· Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
· Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
· Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
· Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений
Основные формулы
Прямой параллелепипед
· Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания, h - высота
· Площадь полной поверхности S п =S б +2S о, где S о - площадь основания
· Объём V=S о *h
Прямоугольный параллелепипед
· Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
· Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)
· Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.
· Площадь боковой поверхности S=6*h 2 , где h – высота ребра куба
34. Тетраэдр - правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4 , к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6 . Также тетраэдр является пирамидой.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB) , их стороны --- ребрами (AO, OC, OB) , а вершины ---вершинами (A, B, C, O) тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными ... Иногда выделяют одну одну из граней тетраэдра и называют ее основанием , а три другие --- боковыми гранями .
Тетраэдр называется правильным , если все его грани - равносторонние треугольники. При этом правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это не одно и то же.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
35. Правильная призма
Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой. Грани, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Прямой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник. У такой призмы все грани – равные прямоугольники.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы есть расстояние H между плоскостями оснований.
Площадью боковой поверхности S б призмы называется сумма площадей ее боковых граней. Площадью полной поверхности S п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S п = S б + 2S ,где S – площадь основания призмы, S б – площадь боковой поверхности.
36. Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием
, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой
.
Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды
называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.
Свойства правильных пирамид
- Боковые ребра правильной пирамиды - равны.
- Боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники.
Если все боковые ребра равны, то
·высота проектируется в центр описанной окружности;
·боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то
·высота проектируется в центр вписанной окружности;
·высоты боковых граней равны;
·площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани
37. Функцию y=f(x), где x принадлежит множеству натуральных чисел, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. Обозначают ее y=f(n), или (y n)
Последовательности можно задавать различными способами, словесно, так задается последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11 и т.д
Считают, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена:
1, 4, 9, 16, …, n 2 , …
2) y n = C. Такую последовательность называют постоянной или стационарной. Например:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n =2 n . Например,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2 n , …
Последовательность называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Иными словами, последовательность можно назвать ограниченной, если есть такое число М, что выполняется неравенство y n меньше или равно M. Число М называют верхней границей последовательности. Например последовательность: -1, -4, -9, -16, …, - n 2 ; ограничена сверху.
Аналогично, последовательность можно назвать ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа. Если последовательность ограничена и сверху и снизу она называется ограниченной.
Последовательность называют возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего.
Последовательность называют убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего. Возрастающие и убывающие последовательности определяют одним термином – монотонные последовательности.
Рассмотрим две последовательности:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …
Если мы изобразим члены этой последовательности на числовой прямой, то заметим что, во втором случае члены последовательности сгущаются вокруг одной точки, а в первом случае такого нет. В подобных случаях говорят, что последовательность y n расходится, а последовательность x n сходится.
Число b называют пределом последовательности y n , если в любой заранее выбранной окрестности точки b, содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
В данном случае мы можем написать:
Если частное прогрессии по модулю меньше единицы, то предел этой последовательности, при х, стремящимся к бесконечности равен нулю.
Если последовательность сходится, то только к одному пределу
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонно сходится, то она ограничена.
Предел стационарной последовательности равен любому члену последовательности.
Свойства:
1) Предел суммы равен сумме пределов
2) Предел произведения равен произведению пределов
3) Предел частного равен частному пределов
4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела
Вопрос 38
сумма бесконечной геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел b 1 , b 2 , b 3 ,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b 1 ≠0 , q≠0.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.
Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.
Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.
Цели урока:
1. Образовательные:
Ввести понятие параллелепипеда и его видов;
- сформулировать (используя аналогию с параллелограммом и прямоугольником) и доказать свойства параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда;
- повторить вопросы, связанные с параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.
2. Развивающие:
Продолжить развитие у учащихся таких познавательных процессов, как восприятие, осмысление, мышление, внимание, память;
- способствовать развитию у учащихся элементов творческой деятельности как качеств мышления (интуиция, пространственное мышление);
- формировать у учащихся умение делать выводы, в том числе – по аналогии, что помогает осознать внутрипредметные связи в геометрии.
3. Воспитательные:
Способствовать воспитанию организованности, привычки к систематическому труду;
- способствовать формированию эстетических навыков при оформлении записей, выполнения чертежей.
Тип урока: урок-изучение нового материала (2 часа).
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
Оборудование: плакаты (слайды) с доказательствами, модели различных геометрических тел, в том числе – все виды параллелепипедов, графопроектор.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
Сообщение темы урока, формулировка вместе с учащимися цели и задач, показ практической значимости изучения темы, повторение ранее изученных вопросов, связанных с данной темой.
3. Изучение нового материала.
3.1. Параллелепипед и его виды.
Демонстрируются модели параллелепипедов с выявлением их особенностей, помогающих сформулировать определение параллелепипеда, используя понятие призмы.
Определение:
Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм.
Выполняется чертёж параллелепипеда (рисунок 1), перечисляются элементы параллелепипеда как частного случая призмы. Демонстрируется слайд 1.
Схематическая запись определения:
Формулируются выводы из определения:
1) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм, то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед .
2) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм.
3) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не
призма или ABCD – не параллелограмм, то
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед
.
4) . Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма или ABCD – не параллелограмм.
Далее рассматриваются частные случаи параллелепипеда с построением схемы классификации (см. рис.3), демонстрируются модели и выделяются характеристические свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, формулируются их определения.
Определение:
Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию.
Определение:
Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основанием является прямоугольник (см. рисунок 2).
После записи определений в схематичном виде формулируются выводы из них.
3.2. Свойства параллелепипедов.
Поиск планиметрических фигур, пространственными аналогами которых являются параллелепипед и прямоугольный параллелепипед (параллелограмм и прямоугольник). В данном случае имеем дело с визуальным сходством фигур. Используя правило вывода по аналогии, заполняются таблицы.
Правило вывода по аналогии:
1. Выбрать среди ранее изученных фигур фигуру, аналогичную данной.
2. Сформулировать свойство выбранной фигуры.
3. Сформулировать аналогичное свойство исходной фигуры.
4. Доказать или опровергнуть сформулированное утверждение.
После формулировки свойств проводится доказательство каждого из них по следующей схеме:
- обсуждение плана доказательства;
- демонстрация слайда с доказательством (слайды 2 – 6);
- оформление учащимися доказательства в тетрадях.
3.3 Куб и его свойства.
Определение: Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.
По аналогии с параллелепипедом учащиеся самостоятельно делают схематическую запись определения, выводят следствия из него и формулируют свойства куба.
4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
Домашнее задание:
- Используя конспект урока, по учебнику геометрии для 10-11 классов, Л.С. Атанасян и др., изучить гл.1, §4, п.13, гл.2, §3, п.24.
- Доказать или опровергнуть свойство параллелепипеда, п.2 таблицы.
- Ответить на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы.
1. Известно, что только две боковые грани параллелепипеда перпендикулярны основанию. Какого вида параллелепипед?
2. Сколько боковых граней прямоугольной формы может иметь параллелепипед?
3. Возможен ли параллелепипед, у которого только одна боковая грань:
1) перпендикулярна основанию;
2) имеет форму прямоугольника.
4. В прямом параллелепипеде все диагонали равны. Является ли он прямоугольным?
5. Верно ли, что в прямом параллелепипеде диагональные сечения перпендикулярны плоскостям основания?
6. Сформулируйте теорему, обратную теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.
7. Какие дополнительные признаки отличают куб от прямоугольного параллелепипеда?
8. Будет ли кубом параллелепипед, в котором равны все рёбра при одной из вершин?
9. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда для случая куба.