Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, y) и ее полное приращение в точке M 0 (x 0 , y 0)
Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0) .
Определение . Если существуют числа P и Q такие, что полное приращение можно представить в виде
Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ ,
где и ε→ 0 при Δρ→ 0 , то выражение PΔ x + QΔ y называется полным дифференциалом функции z=f(x,y) в точке M 0 (x 0 ,y 0) .
В этом случае полное приращение функции состоит из двух частей: первая часть PΔ x + QΔ y является линейной относительно Δ x и Δ y , вторая - бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .
Полный дифференциал функции z=f(x,y) обозначается через dz , то есть
dz = PΔ x+QΔ y .
Функция, имеющая полный дифференциал в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема . Если u=f(M) дифференцируема в точке M 0 , то она в ней непрерывна.
Замечание . Из непрерывности функции двух переменных не следует ее дифференцируемость.
Пример . непрерывна в (0,0) , но не имеет частной производной - не существует. Аналогично не существует частной производной по y . Следовательно, функция не дифференцируема.
Теорема [необходимое условие дифференцируемости] . Если z=f(x,y) дифференцируема в точке M 0 , то она имеет в этой точке частные производные по x и y , причем
f′ x (x 0 ,y 0) = P , f′ y (x 0 , y 0) = Q .
Замечание . Из существования частных производных не следует дифференцируемость. Пример:
Имеем , но функция не является непрерывной, следовательно не является дифференцируемой.
Теорема [достаточное условие дифференцируемости] . Если первые частные производные функции z=f(x,y) определены в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 ,y 0) и непрерывны в самой точке M 0 , то данная функция имеет полный дифференциал в этой точке.
Замечание . Имеем
Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ ,
где ε→ 0 при Δρ→ 0 . Следовательно,
f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y
f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y .
Эта формула применяется в приближенных вычислениях.
При фиксированных Δ x и Δ y полный дифференциал является функцией переменных x и y :
Положим dx=Δ x , dy=Δ y и назовем эти величины дифференциалами независимых переменных.
Тогда получим формулу
то есть полный дифференциал функции равен сумме произведений первых частных производных на соответствующие дифференциалы аргументов.
Аналогично определяется и выражается полный дифференциал функции трех переменных. Если u=f(x, y, z) и существуют числа P , Q , R такие, что
Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 при δρ→ 0 ,
то полным дифференциалом называется выражение
du = PΔ x+QΔ y+RΔ z .
Если первые частные производные этой функции непрерывны, то
где dx=Δ x , dz=Δ z , dz=Δ z .
Определение . Полным дифференциалом второго порядка некоторой функции называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.
Если z=f(x,y) , dz=z′ x dx+z′ y dy , то
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим поверхность S , заданную уравнением
z=f(x, y) .
Пусть f(x, y) имеет частные производные в некоторой области. Рассмотрим M 0 (x 0 , y 0) .
- угловой коэффициент касательной в точке M 0 к сечению поверхности плоскостью y=y 0 , то есть к линии z=f(x,y 0) . Касательная к этой линии имеет вид:
z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0 .
Аналогично, сечение плоскостью x=x 0 дает уравнение
z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0 .
Плоскость, содержащая обе эти прямые, имеет уравнение
z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)
и называется касательной плоскостью к поверхности S в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0) .
Отметим, что уравнение касательной плоскости можно переписать в виде
z-z 0 =df .
Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала: дифференциал в точке M 0 для приращения (x-x 0 , y-y 0) есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке (x 0 , y 0) для тех же приращений.
Касательная плоскость имеет вектор нормали в точке (x 0 , y 0 , z 0) - \vec{n}=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1) . Прямая, проходящая через точку P 0 и имеющая направляющий вектор \vec{n} , называется нормалью к поверхности z=f(x,y) в данной точке. Ее уравнения:
Дифференцирование сложных функций
Пусть дана дифференцируемая функция z=F(v, w) , аргументы которой являются дифференцируемыми функциями переменных x и y :
v=v(x, y), w=w(x, y) .
Если при этом функция
z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)
имеет смысл, то она называется сложной функцией от x и y .
Теорема . Частные производные z′ x , z′ y сложной функции существуют и выражаются формулами
Если v и w - дифференцируемые функции одной переменной t , то есть
v=v(t) , w=w(t) ,
и имеет смысл функция
z=F(v(t), w(t))=f(t) ,
то ее производная выражается формулой
Эта производная называется полной производной.
Если задана дифференцируемая функция
u=F(ξ, η, ζ) ,
аргументы которой ξ=ξ(t) , η=η(t) , ζ=ζ(t) - дифференцируемые функции переменной t и функция
u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))
IV . ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 10. Основы дифференцирования функции двух переменных
Частная производная от функции по переменнойx – это предел
.
Частная производная
от функции
по переменнойy
– это предел
.
Соответствующие обозначения: и, или жеи.
Производная – это скорость изменения функции при малом изменении переменнойx , когда переменная y постоянна. Очевидно, – новая функция.
При поиске
считаем, чтоy
– это число, выраженное буквой (параметр).
Тогда получаем функцию одной переменной
,
а производную от неё находим по правилам
дифференцирования функции одной
переменной.
Так же
– это скорость изменения функции при
малом измененииy
и постоянном x
,
а при поиске
составляем функцию
и дифференцируем её как функцию одной
переменной.
Пример 1. Частные производные от функции :
Пример 2.
Найдём частные производные от функции
:
В 1-м случае вынесли
постоянный множитель
,
не зависящий отx
,
а во 2-м случае – множитель
,
не зависящий отy
.
Пример 3. Для функции найдём
Полный дифференциал
показывает, какпримерно
изменится функция, если увеличить x
на величину
и одновременно
y
– на величину
(если
или
,
то речь об уменьшенииx
или y
).
Пример 4.
Найдём полный дифференциал функции
в общем виде и в точке
:
а)
– при
получается производная степенной
функции;
б)
– при
получается
производная показательной функции.
Таким образом, в общем виде , или, если вынести общий множитель,.
Чтобы найти полный
дифференциал в точке, подставив её
координаты
и
,
тогда.
Смысл
результата
.
Пусть надо найти, например, значение
функции
в точке
,
или, что то же самое, найти величину
.
Если взять точку
,
то.
При переходе в точкуN
изменение аргументов составило
и(разность старых и новых координат).
Полный дифференциал в точке M (не в N ! )
равен приращению
функции при переходе из точки
в
.
Поэтому
.
Более точно,
.
Пример 5. Найдём для нескольких функций полные дифференциалы в общем виде и в конкретной точке M :
а)
пусть
;
,
тогда
Дифференциал в общем виде
в точке M будет
б)
пусть
даны
и
;
тогда
Дифференциал в общем виде:
в)
если даны
и
,
то
Упростим числители:
;
.
В полном дифференциале вынесем общий множитель:
подставим координаты точки:
или
.
Так, чтобы найти
,
считаем
,
затеми,
после чего
и соответственно .
Пример 6.
При помощи полного дифференциала найдём
значение функции
при
(угол выражен в радианах).
Подберём точку
как можно ближе к
,
чтобы в ней легко вычислялось значение
.
Это точка
:
.
Частные производные в общем виде:
,,
а в точке
будет,
и
.
Значит, около
точки
функция меняется примерно так же, как
меняется переменнаяx
.
В нашем случае
.
Новое значение функции .
Более точное
значение
почти совпадает с приближённым. Отличие
вызвано тем, что
,
а не 1;
Ответ: .
Пример 7.
При помощи полного дифференциала найдём
.
Представим это
число как значение функции
в точке
.
При этом
и
,
а для таких аргументов функцию
легко посчитать:
.
Итак,
,
,
,
.
Тогда
прии.
Для
частные производные
;
.
В точке M
и
,
тогда
(функция растёт в 2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).
Ответ:
(более точное значение равно
).
ЧП1. Найдите частные производные для функций
3) а)
; б)
;
в)
; г)
;
ЧП2. Найдите полные дифференциалы функций в указанной точке:
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
ЧП3. Найдите при помощи полного дифференциала приближённые значения
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а) ; б); в); г).
Экстремум функции двух переменных
Точка M
называется точкой минимума функции
,
если можно указать открытую областьD
(часть плоскости xOy
),
в которой значение
– наименьшее из всех. Более строго,M
– точка минимума, если существует D
,
что
а)
(точка входит в эту область и не принадлежит
её границе);
б) (в любой другой точке этой же области значение функции меньше, чем в интересующей нас точке).
При замене на
условие
получим определение точки максимума.
Например,
– точка минимума функции,
поскольку в ней,
а в любой другой точке
.
Схема поиска
точек экстремума для функции
1) Найдём
и,
затем – точки
,
где обе производные равны 0;
2) найдём 2-е
производные
,
т.е. соответственно
;
3) координаты точки
подставим во 2-е производные. Получим
числа
4) если
,
в точке
экстремума нет. Если
,
то смотрим, каков знакA
:
если
,
то
– точка минимума,
если же
,
то
– точка максимума;
5) если в
оказалось, что
,
необходимы другие методы решения,
выходящие за рамки пособия (разложение
в ряд Тейлора);
6) таким же образом 3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных точек.
Пример 8. Найдём экстремумы функции .
1)
решаем систему
(уравнения решены независимо, и подходят все сочетания координат);
2) находим 2-е производные
;
;
Проверяем точку
,
подставив
и
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремума в
нет.
Проверяем точку
,
подставив
и
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремум в
есть.
Поскольку
,
то данный экстремум – это минимум. Можно
найти его значение.
Ответ:
минимум при
и
,
равный –50.
Пример 9. Исследуем на экстремум функцию .
1) Находим
решаем систему
У 2-го уравнения 3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:
если
,
то
,
если
,
то
,
если
,
то
.
Получаем 3 точки: ;
2) берём 2-е производные
;
;
;
проверяем точку
:
3)
;
;
;
4)
,
в
есть экстремум, а поскольку
,
то этот экстремум – минимум. Его значение;
проверяем точку
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремума в
нет.
Легко видеть, что
для точки
результаты те же, что и для
.
Ответ:
минимум, равный –2, при
и
,
а также при
и
.
Замечание 1.
Если в записи функции поменять все
знаки, точки минимума станут точками
максимума, и наоборот. При этом координаты
точек не изменятся. Так, из примера 9
следует, что для
получим максимум, равный 2, при
и
,
а также при
и
.
Если же к функции
добавить (или отнять) любое число,
изменится лишь значение экстремума, но
не его тип. Так, у функции
окажется максимум при
и
,
а также при
и
,
равный 2+50=52.
ЧП4. a , b . Найдите значение функции в этой точке и определите тип экстремума:
а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;
д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.
ЧП5. Найдите точку экстремума функции при указанных параметрахa , b . Найдите значение функции, определите тип экстремума:
а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;
д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.
Замечание 2. Функции двух переменных ведут себя сложнее, чем функции одной переменной. Так, при решении задач на экстремум:
а) даже у непрерывных функций могут быть несколько точек максимума и ни одной точки минимума (или наоборот);
б) все стационарные точки могут оказаться седловыми точками , из которых функция растёт при изменении x и убывает при изменении y (или наоборот). Тем самым у функции не окажется ни максимума, ни минимума.
Замечание 3.
Приведённая схема исследования на
экстремум предполагает, что функция
дифференцируема в точках экстремума.
Однако это не обязательно. Так, функция
в точке
имеет максимум, но её производные в
данной точке обращаются в бесконечность.
Подобные случаи выходят за рамки пособия.
ЧП6. Исследуйте функции на экстремум и укажите значение экстремума.
Неформальное описание
f (x + Δx ) = f (x ) + d x f (Δx ) + o (Δx ).Определения
Для функций
Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f определённой на M (M - область в или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается d f и определяется соотношением
где обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M .
Для отображений
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями , , такое что для любой гладкой функции имеем
где X f обозначает производную f по направлению X . (В левой части равенства берётся производная в N функции g по d F (X ) в правой - в M функции по X ).
Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.
Связанные определения
Свойства
Примеры
История
Термин Дифференциал (от лат. differentia - разность, различие) введён Лейбницем . Изначально, d x применялось для обозначения «бесконечно малой » - величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Полный Пэ (студия)
- Полный дуплекс
Смотреть что такое "Полный дифференциал" в других словарях:
полный дифференциал - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ordinary differentialtotal differential … Справочник технического переводчика
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ - функции п переменных в точке то же самое, что дифференциал функции в этой точке. Термин П. д. употребляется с целью противопоставления его термину частный дифференциал. Понятие П. д. функции n переменных обобщается на случай отображения открытых … Математическая энциклопедия
Полный дифференциал - функции f (x, у, z,...) нескольких независимых переменных выражение в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение) Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) f (x, y, z, …) на… … Большая советская энциклопедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛ - (лат., от differe различать). Предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного (мат. терм.). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка
Дифференциал (механика) - У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Устройство дифференциала (центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, котор … Википедия
Дифференциал (автомобиль) - Устройство дифференциала(центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, которое передает вращение с одного источника на два независимых потребителя таким образом, что угловые скорости вращения источника и обоих потребителей могут… … Википедия
Полный привод - У этого термина существуют и другие значения, см. Полный привод (значения). Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛ - главная линейная часть приращения функции. 1) Действительная функция y = f{x)действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение (при… … Математическая энциклопедия
Постоянный полный привод - Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4x4, 4WD, AWD) конструкция трансмиссии автомобиля, когда крутящий момент, создаваемый двигателем, передаётся на все колеса. До… … Википедия
Теплота - 1) Т. мы называем причину, вызывающую в нас специфические, всем известные тепловые ощущения. Источником этих ощущений являются всегда какие либо тела внешнего мира, и, объективируя наши впечатления, мы приписываем этим телам содержание некоторого … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона