Построение прямой перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.
Пусть a - плоскость, А – точка, из которой надо опустить перпендикуляр. В плоскости проведем некоторую прямую а . Через точку А и прямую а проведем плоскость b (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). В плоскости b из точки А опустим на прямую а перпендикуляр АВ. Из точки В в плоскости a восстановим перпендикуляр и обозначим прямую, на которой лежит этот перпендикуляр за с . Через отрезок АВ и прямую с проведем плоскость g (две пересекающиеся прямые определяют плоскость, причем только одну). В плоскости g из точки А опустим на прямую с перпендикуляр АС. Докажем, что отрезок АС – перпендикуляр к плоскости b . Доказательство. Прямая а перпендикулярна прямым с и АВ (по построению), а значит она перпендикулярна и самой плоскости g , в которой лежат эти две пересекающиеся прямые (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). А раз она перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, значит прямая а перпендикулярна АС. Прямая АС перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости α : с (по построению) и а (по доказанному), значит она перпендикулярна плоскости α (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Теорема 1 . Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b - перпендикулярные прямые, а 1 и b 1 - параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а 1 и b 1 перпендикулярны.
Если прямые а , b , а 1 и b 1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α , а прямые а 1 и b 1 - в некоторой плоскости β . По признаку параллельности плоскостей плоскости α и β параллельны. Пусть С - точка пересечения прямых а и b , а С 1 - пересечения прямых а 1 и b 1 . Проведем в плоскости параллельных прямых а и а а и а 1 в точках А и А 1 . В плоскости параллельных прямых b и b 1 прямую, параллельную прямой СС 1 . Она пересечет прямые b и b 1 в точках B и B 1 .
Четырехугольники САА 1 С 1 и СВВ 1 С 1 - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС 1 .Таким образом четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 . А она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямые АВ и А 1 В 1 .
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 . По третьему признаку равенства треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Итак, угол А 1 С 1 В 1 , равный углу АСВ, прямой, т.е. прямые а 1 и b 1 перпендикулярны. Ч.т.д.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2 . Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а 1 и а 2 - две параллельные прямые и α - плоскость, перпендикулярна прямой а 1 . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а 2 .
Проведем через точку А 2 пересечения прямой а 2 с плоскостью α произвольную прямую с 2 в плоскости α . Проведем в плоскости α через точку А 1 пересечения прямой а 1 с плоскостью α прямую с 1 , параллельную прямой с 2 . Так как прямая а 1 перпендикулярна плоскости α , то прямые а 1 и с 1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а 2 и с 2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а 2 перпендикулярна любой прямой с 2 в плоскости α . А это значит, что прямая а 2 перпендикулярна плоскости α . Теорема доказана.

Теорема 3 . Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость α и две перпендикулярные ей прямые а и b . Докажем, что а || b .
Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с . По признаку получаем а ^ c и b ^ c . Через прямые а и b проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а и b и секущую с . Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а || b .

Урок исследование

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Цель урока : Показать множественность подходов к доказательству теоремы; совершенствовать исследовательские умения и навыки учащихся.

Подготовка к уроку : ученики-консультанты дома готовят по дополнительной литературе семь доказательств признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Ход урока : I

Вступительное слово учителя:

Сегодняшний урок – урок исследования. Всем вместе предстоит в процессе решения задач и ответов на проблемные вопросы, подойти к формулировке теоремы перпендикулярности прямой и плоскости и познакомиться с семью вариантами доказательств этой теоремы с тем, чтобы выбрать наиболее оптимальный из них, обстоятельно мотивировать своё мнение.

1.Подготовка к формулировке теоремы:

Повторение определения перпендикуляра к плоскости, анализ практического применения данного понятия посредством решения задач.

Задача 1.

Даны: Плоскость, точки А и В в этой плоскости; АМ – прямая перпендикулярная этой плоскости. Определить вид треугольника АМВ.

Задачи по вариантам.

Дан плоский четырёхугольник АВСD. АМ – перпендикуляр к плоскости ABCD. Какие из треугольников ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM – прямоугольные.

ABCD – квадрат. Прямая ВК перпендикулярна плоскости квадрата. Какие из треугольников ABD, BCD, ABK, BDK, BCK – прямоугольные.

Консультанты собирают листочки и проверяют решения, а учитель подводит учащихся к выводу:

1.Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная к плоскости,

перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости?

2.Когда же прямая перпендикулярна плоскости?

3.Сколько прямых лежат на плоскости? Можно ли их посчитать?

Ученик – консультант на модели из спиц показывает различные варианты: в плоскости две прямые в плоскости, прямая перпендикулярна одной из них. Вывод: прямая не перпендикулярна плоскости. Следующий вариант модели: прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, и, оказывается, перпендикулярна плоскости. Далее для закрепления, можно взять модель из трёх прямых и т. д.

По завершению работы с моделями перед учащимися ставится очередной проблемный вопрос: сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

Исследовав ситуацию перпендикулярности прямой и плоскости, мы в плотную подошли к теореме, которая даст возможность выяснить на чертежах, на моделях и в практика перпендикулярность к прямой и плоскости. Попробуем сформулировать теорему.

Ребята предлагают свои варианты формулировки теоремы. Учитель выделяет наиболее рациональнее и предлагает прослушать различные варианты формулировки и доказательства рассматриваемой теоремы, которые ученик разыскали дома в рекомендованной литературе.

2. Доказательство теоремы:

Теорема: Если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна каким - нибудь двум прямым, проведённым на этой плоскости через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой проведённой в этой плоскости через ту же точку пересечения.

Доказательство: Отложим на прямой AA 1 произвольной длины, но равные отрезки OA и OA 1 и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекла бы три прямые исходящие из точки О в точках C, D, и B .Эти точки соединим с точками A и A 1 ; мы получим несколько треугольников.∆ACB= ∆A 1 CB, так как у них BC - общая, AC=A 1 C - как наклонные к прямой AA 1 , одинаково удаленые от основания О перпендикуляра ОС. По той же причине AB=A 1 B .Из равенства этих треугольников следует, что ∟ABC=∟A 1 BC.

∆ABD=∆A 1 BD по первому признаку равенства треугольников: BD - общая, AB=A 1 B по доказанному, ∟ABC= ∟A 1 BC .Из равенства этих треугольников следует, что AD=A 1 D.

∆АОD=∆A1OD по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует, что AOD= A1OD; и так как эти углы смежные, то AA1 перпендикулярна OD.

Теорема: Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, перпендикулярна плоскости.

Первый случай, когда все прямые a, b, c проходят через точку О – точку пересечения прямой с плоскостью α. Отметим на прямой р вектор OP, на прямой с вектор OC и докажем, что произведение векторов OP и OC равно 0.

Разложим вектор OC по векторам OA и OB, расположенные соответственно на прямых a и b; тогда (речь идет о векторах) OC=OA+OB. Значит:

OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB

Но OP ┴ OA, OP ┴ OB; поэтому OP∙OA=0, OP∙OB=0. Отсюда OP∙OC=0; значит OP ┴ OC и р ┴ с. Но с – любая прямая плоскости; значит, р ┴ α

Второй случай , когда прямые a, b, c не проходят через точку О. Проведем через точку О прямые a1||a; b1||b; c1||c. По условию p ┴ а, p ┴ b, значит p ┴ а1, p ┴ b1, и, по доказанному выше, p ┴ с1, а поэтому p ┴ с. Прямая с – любая прямая плоскости α; значит прямая р перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости α, а поэтому p ┴ α.

Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство можно взять из учебника А.В. Погорелов «Геометрия 7-11»

А 1

α A X B

А 2

IV вариант Э.Е. Лежандр

Теорема: Прямая перпендикулярная двум прямым, лежащим на плоскости, перпендикулярна самой плоскости. O

Дано: SO  OA, SO  OB, OA C  .,OB C 

Доказать: SO  

Доказательство:

1. Медиану треугольника можно выразить через стороны

4AM 2 =2(AB 2 +AC 2 )-BC 2

2 Через точку С проведём прямую так, чтобы отрезок АВ, заключённый между сторонами угла АОВ, разделился бы в этой точке пополам, то есть АС=ВС. SC – медиана треугольника АSВ: 4SС 2 =2(SА 2 +SВ 2 )-АВ 2 . ОС – медиана треугольника АОВ: 4ОВ 2 =2(АО 2 +ОВ 2 )-АВ 2 . Почленно вычитая эти равенства, получим: 4(SС 2 -ОС 2 )=2((SА 2 -АО 2 )+(SВ 2 -ОВ 2 )). Выражение в скобках в правой части равенства можно заменить по т. Пифагора. Для треугольника АОS: SО 2 =SА 2 -ОА 2 . Для треугольника ВОS: SО 2 =SВ 2 -ОВ 2 .

Отсюда: 4(SС 2 -ОС 2 )=2(SО 2 +SО 2 ), 4(SС 2 -ОС 2 )=4SО 2 , SС 2 -ОС 2 =SО 2 , откуда SС 2 =SО 2 +ОС 2 . Согласно обратной теоремы Пифагора, SО  ОС. ОС – произвольная прямая, принадлежащая плоскости  , значит SО  .

Теорема: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости .

Докажем, что прямая l перпендикулярна любой третьей прямой в плоскости 

1. Построение: Прямые m, n, g перенесем параллельно в точку О; ОА=ОС=ОD=ОВ, отсюда ABCD – прямоугольник, соединим A, B, C, D с некоторой точкой М.
2. Треугольник АМD равен ВМС по трем сторонам, отсюда угол1 равен углу2. Треугольник МDL равен треугольнику МКВ по двум сторонам и углу между ними. МD=МВ, LD=BK – центрально симметричны; следовательно MK=LM.
3. Треугольник MLK – равнобедренный, ОМ – медиана, значит, и высота. Получили ОМ  g, отсюда l  g, следовательно l  

Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярно самой плоскости .

Р 1

Доказательство основано на симметрии относительно оси плоскости.

1. Построение: l  l 1, m. O  l 1, m  n = O, OP=OP’ .
2. Точки Р и Р’ – симметричны относительно оси m, также Р и Р’ – симметричны относительно оси n. Тогда  ((m  n)  ) – плоскость симметрии точек Р и Р’, следовательно, l 

3.Обсуждение различных вариантов доказательства теоремы. Учащиеся высказываю свои мнения о том, какое из доказательств, на их взгляд, является оптимальным и почему. Учитель разрешает выбрать для себя любой вариант и увязывает теорему с примерами из жизни: В технике часто встречается направление, перпендикулярное плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они перпендикулярны плоскости доски; в цилиндре паровой машины шток перпендикулярен плоскости поршня и т.д. Особенно важно вертикальное направление, то есть направление силы тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости.

Задача: ABCD – ромб, прямая ОК перпендикулярна диагоналям ромба.

Доказать: ОК перпендикулярна плоскости ромба.

Итог урока.

Задание на дом: п17, №120, №129

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ^ р, а ^q,р? a, q ? a, р?q=0. Доказать: а ^ a.

Геометрия 10 класс

«Геометрия «Параллельность прямой и плоскости»» - Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Свойства. Лемма – вспомогательная теорема. Расположение прямой и плоскости. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Определение. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Параллельные прямые. Теорема. Прямая и плоскость имеют одну общую точку, то есть пересекаются. Одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости.

«Декартова система» - Определение декартовой системы. Рене Декарт. Прямоугольная система координат. Введение декартовых координат в пространстве. Понятие системы координат. Координаты точки. Декартова система координат. Координаты любой точки. Вопросы для заполнения. Координаты вектора.

«Равносторонние многоугольники» - Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Тетраэдр гексаэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр.

«Площадь поверхности конуса» - Длина дуги. Радиус основания конуса. Учебник. Как вычислить длину окружности. Тело вращения. Дано. Площадь развёртки. Как выразить величину угла. Измерьте центральный угол развёртки. Вычислите площадь. Конус. Модель конуса. Формула площади полной поверхности конуса. Вычисление площади боковой поверхности модели. Как вычислить длину дуги. Положительные числа. Решение. Задача. Площадь развёртки боковой поверхности конуса.

«Предмет стереометрии» - Сегодня на уроке. Философская школа. Наглядные представления. Планиметрия. Из истории. Евклид. Понятие науки стереометрии. Вселенная. Аксиомы стереометрии. Неопределяемые понятия. Теорема Пифагора. Пифагор. Пентаграмма. Указания. Основные понятия стереометрии. Точки. Египетские пирамиды. Стереометрия. Геометрия. Пространственные представления. Помните ли вы теорему Пифагора. Правильные многогранники.

««Правильные многогранники» 10 класс» - Грани многогранника. Ось симметрии. Цель изучения. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником. Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Элементы симметрии правильных многогранников. Прогнозируемый результат. Центр О, ось а и плоскость.

Тема: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Урок геометрии в 10 классе

Информационная карта урока

Предмет : Геометрия

Класс: 10 .

Тема: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»

Цели урока :

Познакомиться с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и научиться применять его при решении задач стереометрии

Развитие пространственного воображения и логического мышления обучающихся

Воспитание уважительного отношения к мнению окружающих

Форма урока: комбинированный

Структура урока

Организационный момент

Актуализация знаний обучающихся по теме «Перпендикулярность прямых в пространстве. Определение перпендикулярности прямой и плоскости».

Знакомство с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, доказательство теоремы.

Отработка навыков применения признака перпендикулярности прямой и плоскости при решении устных и письменных задач.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

Описание хода урока

Организационный момент урока : приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей).

Актуализация знаний , полученных учащимися на предыдущем уроке:

• понятие перпендикулярности прямых в пространстве;

  перпендикулярность прямой и плоскости;

  свойств параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

2.1. С целью актуализации знаний один ученик выходит к доске и записывает решение задачи, вызвавшей наибольшие трудности в домашней работе.

2.2. Пока он готовится, фронтальный опрос класса:

Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

Как определяется угол между прямыми в пространстве?

Какие прямые в пространстве называют перпендикулярными?

Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой.

Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

После выполнения оперативная проверка правильности ответов. Разобрать вопросы, вызвавшие затруднения.

Дополнительные вопросы к №4 и №5:

дайте словесную формулировку свойств параллельных прямых;

дайте словесную формулировку свойств прямых, перпендикулярных плоскости.

2.4. Предложить учащимся устно решить задачу

В более подготовленном классе дополнительно предложить для решения вторую часть задачи с числовыми данными.

2.5. Проверка правильности решения домашней задачи.

3. Изучение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

3.1. Перед изучением непосредственно признака обратить внимание обучающихся на то, что на практике невозможно пользоваться определением перпендикулярности прямой и плоскости, т. к. нельзя проверить перпендикулярность прямой к любой прямой данной плоскости. Облегчить задачу помогает признак.

Объявляется тема урока и основная цель

Записывается тема урока в тетради, домашнее задание.

3.2. Доказательство теоремы (и чертеж) производится поэтапно (слайд 4), записи ученики выполняют в тетради. В более подготовленном классе дается весь план доказательства, каждый пункт доказательства ученики обосновывают самостоятельно, если необходимо, можно пользоваться учебником. В менее подготовленном классе каждый пункт доказательства обсуждается и после этого ученики делают соответствующие записи.

3.3. Тем ученикам, кто быстро справляется с доказательством теоремы, можно дать дополнительное задание на карточках:

«Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости с помощью векторов»

В случае быстрого и успешного решения ученик доказывает теорему у доски. Если на уроке второе доказательство не найдено, предложить желающим выполнить его дома

4. Отработка навыков применения теоретических знаний к решению задач.

4.1. С целью первичного закрепления умения применять признак перпендикулярности прямой и плоскости предложить для устного решения задачи 1, 2 и 3 (слайды 6, 7 и 8 соответственно).

В мене подготовленном классе целесообразнее задачу 3 выполнить после письменного решения №127 из учебника.

Слайд 11

5. Подвести итоги урока . В качестве дополнительных вопросов предложить следующие:

кто знает, как можно проверить на практике перпендикулярность прямой и плоскости, какие инструменты для этого существуют (с помощью двух треугольников, с помощью двух уровней);

на сколько существенно, что в признаке перпендикулярности прямой и плоскости, взяты две пересекающиеся прямые?

6. Записать задание на дом (слайд 3, по желанию карточка с дополнительной задачей).